109 關務特考三等 關稅統計 抽樣方法 考古題詳解

109 年・關務特考・三等・關稅統計
試題代碼 抽樣方法

第 一 題16 分

快樂 3C 產品連鎖集團，全國共有 80 家營業門市，包含 30 家直營門市及 50 家加盟門市。該集團主管想了解自家集團每天的營業總額，遂自直營門市中隨機抽 5 家、加盟門市中隨機抽 7 家進行營業額調查。請問：

（一）此次調查是採用那種抽樣方法？

（二）此次調查的變數（variable）為何？

（三）此次調查的抽樣單位（sampling unit）為何？

（四）此次調查的樣本大小（sample size）為何？

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核心觀念

本題考查抽樣方法及基本抽樣名詞的辨認。

  • 分層抽樣：先依母體特徵將調查對象分成數個互不重疊的層，再從各層分別抽取樣本。
  • 變數：研究對象上所觀察或測量的特徵。
  • 抽樣單位：實際被抽中、納入樣本的單位。
  • 樣本大小：樣本所包含的抽樣單位總數。

解題方法

題目先將 80 家門市分為「直營門市」與「加盟門市」兩層，再從直營門市抽 5 家、加盟門市抽 7 家。因此，此調查採用分層抽樣。

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第 二 題25 分

人口學家想要了解居住在甲城市的幼兒（5 歲以下）人數。首先，他將甲城市劃分為 200 個區集，並隨機抽出 5 個區集，再從這 5 個區集中各抽出 3 戶，調查每戶的 5 歲以下幼兒人數，調查結果如下：

區集戶數每戶的 5 歲以下幼兒人數
113(3,0,0)(3,0,0)
214(0,0,3)(0,0,3)
318(1,0,2)(1,0,2)
412(1,1,0)(1,1,0)
59(2,1,1)(2,1,1)

（一）估計甲城市的幼兒總數，並求算此幼兒總數的 95% 誤差界限。（10 分）

（二）估計每戶的平均幼兒數，並求算此平均幼兒數的 95% 誤差界限。（8 分）

（三）估計每個區集的平均幼兒數，並求算此平均幼兒數的 95% 誤差界限。（7 分）

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核心觀念

本題採二階段集群抽樣：第一階段從 N=200N=200 個區集隨機抽出 n=5n=5 個；第二階段在每個抽中的區集內，從 MiM_i 戶中隨機抽出 mi=3m_i=3 戶。

先以區集內樣本平均幼兒數推估該區集的幼兒總數，再把抽中區集的估計總數外推至全市。兩階段的變異數都要納入，並使用題目提供的 z0.025=1.96z_{0.025}=1.96 計算 95% 誤差界限。

解題方法

令 yijy_{ij} 表示第 ii 區集第 jj 戶的 5 歲以下幼兒數。各抽中區集的樣本總數、樣本平均，以及估計區集幼兒總數如下：

區集戶數 MiM_i樣本幼兒數樣本平均 yˉi\bar y_i估計區集總數 t^i=Miyˉi\hat t_i=M_i\bar y_i
1133113
2143114
3183118
41222/32/38
5944/34/312

因此，5 個抽中區集的估計總數合計為 6565，戶數合計為 6666。

（一）估計全市幼兒總數及 95% 誤差界限

全市幼兒總數估計量為：

T^=Nn∑i∈st^i=2005(13+14+18+8+12)=2,600\hat T=\frac{N}{n}\sum_{i\in s}\hat t_i =\frac{200}{5}(13+14+18+8+12) =2,600

估計區集總數的樣本平均為 1313，樣本變異數為：

st^ 2=(13−13)2+(14−13)2+(18−13)2+(8−13)2+(12−13)25−1=13s_{\hat t}^{\,2} =\frac{(13-13)^2+(14-13)^2+(18-13)^2+(8-13)^2+(12-13)^2}{5-1} =13

各區集內 3 戶的幼兒數樣本變異數依序為：

si2=3, 3, 1, 13, 13s_i^2=3,\ 3,\ 1,\ \frac13,\ \frac13

二階段抽樣的總數估計變異數為：

Var⁡^(T^)=N2(1−n/N)nst^ 2+Nn∑i∈sMi2(1−mi/Mi)misi2\widehat{\operatorname{Var}}(\hat T) = \frac{N^2(1-n/N)}{n}s_{\hat t}^{\,2} + \frac{N}{n}\sum_{i\in s} \frac{M_i^2(1-m_i/M_i)}{m_i}s_i^2

第一階段變異數部分為：

2002(1−5/200)5×13=101,400\frac{200^2(1-5/200)}{5}\times 13=101,400

第二階段各區集貢獻合計為：

∑i∈sMi2(1−3/Mi)3si2=130+154+90+12+6=392\sum_{i\in s} \frac{M_i^2(1-3/M_i)}{3}s_i^2 =130+154+90+12+6=392

所以：

Var⁡^(T^)=101,400+2005(392)=117,080\widehat{\operatorname{Var}}(\hat T) =101,400+\frac{200}{5}(392) =117,080

95% 誤差界限為：

BT=1.96117,080=670.65B_T=1.96\sqrt{117,080}=670.65

因此總數估計為 2,6002,600 人，95% 誤差界限約為 671671 人。

（二）估計每戶平均幼兒數及 95% 誤差界限

以估計幼兒總數除以估計全市戶數。估計戶數為：

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第 三 題34 分

甲公司有 1000 位員工，其中 400 位為門市員工，600 位為工廠員工。現欲評估員工對公司的福利政策是否滿意，分別從門市及工廠各選取 100 位員工進行調查。資料蒐集後，依性別（男、女）及意見（滿意、不滿意、沒意見）加以區分，得各項人數資料如下：

門市員工：

性別滿意不滿意沒意見
男10713
女50155

工廠員工：

性別滿意不滿意沒意見
男293115
女1582

（一）請估計員工滿意福利政策的比例，並求算此滿意比例的 95% 信賴區間。由於公司宣稱員工滿意福利政策的比例大於 0.5，依據上述信賴區間，您是否同意公司的說法？（10 分）

（二）若每位員工的調查費用是相同的，在希望估計員工滿意比例的信賴度為 95% 且誤差界限 0.05 下，請問目前的調查計畫須修正嗎？若需修正該如何修正？（8 分）

（三）針對工廠員工，在 95% 信賴水準下，評估「滿意福利政策的比例」是否不同於「不滿意福利政策的比例」。（8 分）

（四）針對門市員工，計算「男性員工滿意的比例」與「女性員工滿意的比例」的差異，且求算此差異的 95% 誤差界限。（8 分）

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核心觀念

本題是分層抽樣下的比例估計、信賴區間與樣本數配置。門市與工廠各抽 100 人，但兩層的員工總數不同，因此估計全公司比例時，須按各層員工占比加權，不能直接把 200 人合併計算。

設第 hh 層的母體數為 NhN_h、樣本數為 nhn_h、母體權數為 Wh=Nh/NW_h=N_h/N，樣本滿意比例為 p^h\hat p_h。分層估計比例及其估計變異數為：

p^st=∑hWhp^h,Var⁡^(p^st)=∑hWh2(1−fh)sh2nh,fh=nhNh.\hat p_{st}=\sum_h W_h\hat p_h,\qquad \widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_{st}) =\sum_h W_h^2(1-f_h)\frac{s_h^2}{n_h}, \quad f_h=\frac{n_h}{N_h}.

二元資料的樣本變異數為 sh2=nhnh−1p^h(1−p^h)s_h^2=\frac{n_h}{n_h-1}\hat p_h(1-\hat p_h)。95% 信賴區間採用 p^st±1.96 SE(p^st)\hat p_{st}\pm1.96\,SE(\hat p_{st})。

（一）全公司滿意比例與 95% 信賴區間

門市樣本滿意人數為 10+50=6010+50=60，所以 p^1=0.60\hat p_1=0.60；工廠樣本滿意人數為 29+15=4429+15=44，所以 p^2=0.44\hat p_2=0.44。兩層權數分別是 400/1000=0.4400/1000=0.4 與 600/1000=0.6600/1000=0.6。

p^st=0.4(0.60)+0.6(0.44)=0.504.\hat p_{st}=0.4(0.60)+0.6(0.44)=0.504.

因此，全公司員工滿意比例估計為 50.4%。

抽樣率分別為 f1=100/400=0.25f_1=100/400=0.25、f2=100/600=1/6f_2=100/600=1/6。代入分層變異數公式：

Var⁡^(p^st)=0.42(1−0.25)100990.6(0.4)100+0.62(1−16)100990.44(0.56)100≈0.001038.\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_{st}) =0.4^2(1-0.25)\frac{100}{99}\frac{0.6(0.4)}{100} +0.6^2\left(1-\frac16\right)\frac{100}{99}\frac{0.44(0.56)}{100} \approx0.001038. SE≈0.001038=0.0322,95% 信賴區間=0.504±1.96(0.0322)≈(0.441, 0.567).SE\approx\sqrt{0.001038}=0.0322,\qquad 95\%\text{ 信賴區間}=0.504\pm1.96(0.0322) \approx(0.441,\ 0.567).

信賴區間包含 0.50.5，因此依據本次調查，不能認定員工滿意比例大於 0.5；公司宣稱「大於 0.5」未獲得足夠統計支持。

（二）誤差界限 0.05 下的樣本數與配置

每位員工調查費用相同時，分層抽樣的最佳配置採 Neyman 配置，即樣本數按 NhShN_hS_h 分配，其中 Sh=p^h(1−p^h)S_h=\sqrt{\hat p_h(1-\hat p_h)}。

令總樣本數為 nn，Neyman 配置下的估計變異數為：

Var⁡^(p^st)=A2n−B,\widehat{\operatorname{Var}}(\hat p_{st}) =\frac{A^2}{n}-B, A=∑hWhSh,B=∑hWh2Sh2Nh.A=\sum_h W_hS_h,\qquad B=\sum_h\frac{W_h^2S_h^2}{N_h}.

本題：

A=0.40.6(0.4)+0.60.44(0.56)≈0.4938,A=0.4\sqrt{0.6(0.4)}+0.6\sqrt{0.44(0.56)} \approx0.4938, B=0.42(0.6)(0.4)400+0.62(0.44)(0.56)600=0.00024384.B=\frac{0.4^2(0.6)(0.4)}{400} +\frac{0.6^2(0.44)(0.56)}{600} =0.00024384.

95% 信賴水準且誤差界限 E=0.05E=0.05，要求 1.96SE≤0.051.96SE\leq0.05，故：

A2n−B≤(0.051.96)2,\frac{A^2}{n}-B\leq\left(\frac{0.05}{1.96}\right)^2, n≥A2(0.05/1.96)2+B≈272.6.n\geq \frac{A^2}{(0.05/1.96)^2+B} \approx272.6.
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第 四 題25 分

衛生當局想了解甲城市居民感染 A 型流行病的狀況。現以系統抽樣法抽得 1979 年至 2019 年間甲城市居民感染 A 型流行病的人數（單位：萬人）及年份資料如下：

年197919841989199419992004200920142019
感染人數10.111.09.75.44.40.61.91.82.7

（一）試估計 1979 年至 2019 年間，甲城市居民每年感染 A 型流行病的平均人數，並求算此平均感染人數的 95% 信賴區間。若衛生當局利用 1979 年至 2019 年間的平均感染人數來預測 2020 年甲城市居民感染 A 型流行病的人數，是否合適？請說明理由。（15 分）

（二）何種類型的資料，適合採用連續差異（successive differences）方法估計平均人數估計量的變異數？利用連續差異方法，計算甲城市居民感染 A 型流行病平均人數估計量的估計變異數。並請依據估計的準確度，說明（一）及（二）這兩種變異數估計方法，何種方法較適合？（10 分）

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核心觀念

本題考系統抽樣下的母體平均數估計，以及平均數估計量變異數的兩種估計方式。

1979 年至 2019 年共有 N=41N=41 個年度；每隔 5 年抽取一次，共 n=9n=9 筆。抽樣率為

f=nN=941.f=\frac{n}{N}=\frac{9}{41}.

系統抽樣的平均數估計量為樣本平均數：

yˉsys=1n∑i=1nyi.\bar y_{\mathrm{sys}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i.

以樣本變異數代入簡單隨機抽樣的變異數公式，可作為系統抽樣平均數變異數的近似估計：

V^1(yˉsys)=(1−nN)s2n,s2=∑i=1n(yi−yˉ)2n−1.\widehat V_1(\bar y_{\mathrm{sys}}) =\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{s^2}{n}, \qquad s^2=\frac{\sum_{i=1}^n(y_i-\bar y)^2}{n-1}.

解題方法

（一）平均感染人數、信賴區間與預測適切性

樣本感染人數總和為

∑yi=47.6,\sum y_i=47.6,

因此每年平均感染人數估計為

yˉ=47.69=5.2889 萬人.\bar y=\frac{47.6}{9}=5.2889\text{ 萬人}.

由平方和計算樣本變異數：

∑yi2=380.12,\sum y_i^2=380.12, s2=∑yi2−(∑yi)2/nn−1=380.12−47.62/98=16.0461.s^2 =\frac{\sum y_i^2-(\sum y_i)^2/n}{n-1} =\frac{380.12-47.6^2/9}{8} =16.0461.

平均數估計量的變異數估計為

V^1(yˉ)=(1−941)16.04619=1.3915,\widehat V_1(\bar y) =\left(1-\frac{9}{41}\right)\frac{16.0461}{9} =1.3915,

標準誤為 1.3915=1.1796\sqrt{1.3915}=1.1796 萬人。樣本數不大，使用自由度 88 的 tt 分配，t0.975,8=2.306t_{0.975,8}=2.306，故 95% 信賴區間為

yˉ±t0.975,8V^1(yˉ)=5.2889±2.306(1.1796)=(2.5687, 8.0091) 萬人.\bar y\pm t_{0.975,8}\sqrt{\widehat V_1(\bar y)} =5.2889\pm2.306(1.1796) =(2.5687,\ 8.0091)\text{ 萬人}.

以 1979 至 2019 年的長期平均預測 2020 年感染人數並不合適。資料呈現長期下降後近期略為回升的變化，顯示感染人數會隨時間改變；長期平均不能反映 2020 年的時間趨勢，也沒有提供足夠資訊描述逐年波動。

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