111 關務特考三等 關稅統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題以園區為「集體」（cluster），以園區總營業額 $y_i$ 為抽樣單位的觀察值，估計全體 $30$ 個園區之總營業額：

$$Y=\sum_{i=1}^{30}y_i$$

已知全體園區公司總數為 $M=600$，抽出園區數為 $n=3$。兩小題的差異在於園區的抽樣機率不同：

• 結合簡單隨機抽樣（SRS）：每一園區被抽中的機率相同。
• 結合與園區大小成比例抽樣（PPS）：園區被抽中的機率與公司數 $M_i$ 成正比。

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（一）一段集體抽樣結合簡單隨機抽樣

解題方法

將 $30$ 個園區視為母體單位，從中以不放回簡單隨機抽樣抽出 $n=3$ 個園區。

各園區總營業額的樣本平均數為：

$$\bar y=\frac{90+110+280}{3} =\frac{480}{3}=160$$

全體園區數為 $N=30$，因此母體總營業額的不偏估計量為：

$$\hat Y_{\mathrm{SRS}}=N\bar y$$

代入數值：

$$\hat Y_{\mathrm{SRS}} =30(160) =4,800$$

因此，整體新創產業總營業額估計為：

$$\boxed{\hat Y_{\mathrm{SRS}}=4,800\text{ 百萬元}}$$

標準誤估計

樣本變異數為：

$$s_y^2 =\frac{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}{n-1}$$

其中：

$$\begin{aligned} \sum (y_i-\bar y)^2 &=(90-160)^2+(110-160)^2+(280-160)^2\\ &=(-70)^2+(-50)^2+(120)^2\\ &=4,900+2,500+14,400\\ &=21,800 \end{aligned}$$

所以：

$$s_y^2=\frac{21,800}{2}=10,900$$

SRS 下總和估計量的變異數估計為：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat Y_{\mathrm{SRS}}) =N^2\left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{s_y^2}{n}$$

抽樣率為：

$$\frac{n}{N}=\frac{3}{30}=0.1$$

因此：

$$\begin{aligned} \widehat{\operatorname{Var}}(\hat Y_{\mathrm{SRS}}) &=30^2(1-0.1)\frac{10,900}{3}\\ &=900(0.9)\frac{10,900}{3}\\ &=2,943,000 \end{aligned}$$

標準誤為：

$$\operatorname{SE}(\hat Y_{\mathrm{SRS}}) =\sqrt{2,943,000} \approx 1,715.52$$

故：

$$\boxed{\operatorname{SE}(\hat Y_{\mathrm{SRS}}) \approx1,715.5\text{ 百萬元}}$$

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（二）一段集體抽樣結合與園區大小成比例抽樣

抽樣設計說明

PPS 抽樣的不偏總和估計，採用 Hansen–Hurwitz 估計量。依題目資料，採「每次抽取機率與公司數成正比，且各次抽樣獨立」的 PPS 放回抽樣設計。

各園區的抽樣機率為：

$$p_i=\frac{M_i}{M} =\frac{M_i}{600}$$

因此：

$p_1=\frac{15}{600}=0.025$

$p_2=\frac{25}{600}=\frac{1}{24}\approx0.041667$

$p_3=\frac{40}{600}=\frac{1}{15}\approx0.066667$

Hansen–Hurwitz 不偏估計量

每一次抽中園區 $i$ 時，先計算：

$$z_i=\frac{y_i}{p_i} =\frac{600y_i}{M_i}$$

各園區的 $z_i$ 為：

$z_1=\frac{90}{15/600}=3,600$

核心觀念

本題考查簡單隨機抽樣（simple random sampling without replacement, SRSWOR）下，利用輔助變數 $x$ 估計總數 $Y$ 的三種估計量：

1. 均數估計量；
2. 比率估計量；
3. 迴歸估計量。

已知母體大小 $N=300$、樣本數 $n=30$，抽樣率為

$$f=\frac{n}{N}=\frac{30}{300}=0.1, \qquad 1-f=0.9.$$

題目所給的 $S_x^2,S_y^2,S_{xy}$ 均以 $N-1$ 為分母，正好配合下列 SRSWOR 變異數公式。

總體均數估計量 $\hat{\bar Y}$ 的變異數為

$$\operatorname{Var}(\hat{\bar Y}) = \frac{1-f}{n}S_y^2.$$

若估計的是總數 $Y=N\bar Y$，則總數估計量 $\hat Y=N\hat{\bar Y}$，因此

$$\operatorname{Var}(\hat Y) = N^2\frac{1-f}{n}S_y^2.$$

本題三種估計量皆為總所得估計量，故均需乘上 $N^2$。

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解題方法

先計算共同係數：

$$N^2\frac{1-f}{n} = 300^2\cdot\frac{0.9}{30} = 90000\cdot 0.03 = 2700.$$

因此，各估計量的變異數均可寫成

$$2700\times\text{相對應的變異數成分}.$$

（一）迴歸估計量、比率估計量及均數估計量的變異數

1. 迴歸估計量

迴歸估計量為

$$\hat Y_{lr} = N\left[\bar y+b(\bar X-\bar x)\right],$$

其中迴歸係數

$$b=\frac{S_{xy}}{S_x^2}.$$

代入題目資料：

$$b=\frac{3600}{2500}=1.44.$$

迴歸估計量的一階近似變異數為

$$\operatorname{Var}(\hat Y_{lr}) = N^2\frac{1-f}{n} \left( S_y^2-\frac{S_{xy}^2}{S_x^2} \right).$$

先計算括號內的殘差變異數：

$$\frac{S_{xy}^2}{S_x^2} = \frac{3600^2}{2500} = 5184,$$

所以

$$S_y^2-\frac{S_{xy}^2}{S_x^2} = 6400-5184 = 1216.$$

因此

$$\boxed{ \operatorname{Var}(\hat Y_{lr}) = 2700(1216) = 3,283,200 }.$$

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2. 比率估計量

比率估計量為

$$\hat Y_R=N\frac{\bar y}{\bar x}\bar X$$

或寫成

$$\hat Y_R=R\cdot N\bar X,$$

其中 $R$ 為 $y$ 對 $x$ 的比率。本題已給定

$$R=1.3.$$

比率估計量的一階近似變異數為

$$\operatorname{Var}(\hat Y_R) = N^2\frac{1-f}{n} \left( S_y^2+R^2S_x^2-2RS_{xy} \right).$$

逐項計算：

$$R^2S_x^2 = 1.3^2(2500) = 1.69(2500) = 4225,$$ $$2RS_{xy} = 2(1.3)(3600) = 9360.$$

故括號內為

$$6400+4225-9360 = 1265.$$

因此

$$\boxed{ \operatorname{Var}(\hat Y_R) = 2700(1265) = 3,415,500 }.$$

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3. 均數估計量

均數估計量估計總數時為

$$\hat Y=N\bar y.$$

其變異數為

$$\operatorname{Var}(\hat Y) = N^2\frac{1-f}{n}S_y^2.$$

代入資料：

核心觀念

本題考查簡單隨機抽樣下，母體比例與母體平均數之樣本數設計，並須同時滿足兩項精確度要求，因此分別計算所需樣本數後，取較大者。

母體家戶數為 $N=2000$。有限母體下，估計比例與平均數的誤差上限分別為：

$$E_P=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1-n/N}{n}P(1-P)}$$ $$E_{\bar Y}=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{1-n/N}{n}S^2}$$

95% 信心水準採用常見的近似值 $z_{\alpha/2}=2$。

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一、比例估計所需樣本數

題目要求比例估計誤差低於 3%，故

$$E_P=0.03$$

有老人家戶比例 $P$ 落在 $0.20$ 至 $0.40$ 之間。因為

$$P(1-P)$$

在此區間內隨 $P$ 增加而增加，最大值發生於 $P=0.40$：

$$P(1-P)=0.4(0.6)=0.24$$

含有限母體修正的樣本數公式為：

$$n_P=\frac{Nz^2P(1-P)} {(N-1)E_P^2+z^2P(1-P)}$$

代入數值：

$$n_P= \frac{2000(2)^2(0.24)} {1999(0.03)^2+(2)^2(0.24)}$$ $$= \frac{1920} {1999(0.0009)+0.96} = \frac{1920}{2.7591} \approx 695.88$$

樣本數必須向上取整，因此：

$$n_P=696$$

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二、平均家戶年所得估計所需樣本數

實際平均家戶年所得為：

$$\bar Y=1000\text{（千元）}$$

要求估計誤差低於實際平均數的 4%，因此允許的絕對誤差為：

核心觀念

本題考查「二階段抽樣中的分層抽樣」，又稱「雙重抽樣分層法」（double sampling for stratification）。

抽樣程序如下：

1. 第一階段由 $N=300$ 家餐廳中，簡單隨機抽出 $n'=200$ 家，調查其餐廳大小，以建立小型與大型兩層。
2. 第二階段在第一階段各層中再抽樣調查營業額 $y$：

• 小型餐廳：由 $n'_1=120$ 家抽出 $n_1=10$ 家。
• 大型餐廳：由 $n'_2=80$ 家抽出 $n_2=5$ 家。

因此，本題不是單純的分層隨機抽樣，因為母體中各層的家數 $N_h$ 一開始未知，而是先以第一階段樣本估計各層比例，再於各層進行第二階段抽樣。

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（一）抽樣方式

這是「二階段抽樣」與「雙重抽樣分層法」。

第一階段以簡單隨機抽樣取得餐廳大小資訊，將餐廳分為小型及大型兩層；第二階段再在各層內進行簡單隨機抽樣，以調查營業額。

由於第一階段樣本中的層別比例用來估計全市餐廳的層別比例，因此屬於：

$$\boxed{\text{二階段抽樣中的雙重抽樣分層法}}$$

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（二）估計全市餐廳平均每家營業額

1. 估計各層權數

第一階段樣本中：

$$\hat W_1=\frac{n'_1}{n'}=\frac{120}{200}=0.6$$ $$\hat W_2=\frac{n'_2}{n'}=\frac{80}{200}=0.4$$

這兩個比例分別估計全市小型及大型餐廳所占比例。

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2. 估計全市平均營業額

雙重抽樣分層平均數估計量為：

$$\hat{\bar Y} = \sum_{h=1}^{2}\hat W_h\bar y_h$$

代入資料：

$$\hat{\bar Y} = \frac{120}{200}(20) + \frac{80}{200}(80)$$ $$=0.6(20)+0.4(80)$$ $$=12+32=44$$

因此，該城市餐廳平均每家營業額估計為：

$$\boxed{\hat{\bar Y}=44\text{ 百萬元}}$$

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估計量之標準誤

二階段抽樣的變異數包含兩個部分：

1. 第一階段估計各層比例所造成的變異。
2. 第二階段在各層內抽樣調查營業額所造成的變異。

故採用：

$$\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\bar Y}) = \frac{1-f'}{n'}s_B^2 + \sum_{h=1}^{2} \hat W_h^2 \left(1-f_h\right) \frac{s_h^2}{n_h}$$

其中：

$$f'=\frac{n'}{N}$$

為第一階段抽樣率，且

$$f_h=\frac{n_h}{n'_h}$$

為第 $h$ 層第二階段抽樣率。

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1. 第一階段變異數

先計算以兩層平均數所形成的層間樣本變異數。

全體第一階段樣本的加權平均數為：

$$\bar y'= \frac{120(20)+80(80)}{200}=44$$

層間變異數估計為：

$$s_B^2 = \frac{ 120(20-44)^2+80(80-44)^2 }{200-1}$$