110 年關務特考三等關稅統計考古題與詳解

Question 1

利用簡單隨機抽樣法（simple random sampling），自母體 $\{6,7,8,9,10\}$ 中抽出 $3$ 個數為一組樣本，樣本中的最大值以 $X$ 表示，最小值以 $Y$ 表示。

(一) 請列出 $X、Y$ 的聯合機率分配（joint probability distribution） $f(x,y)。（10分）$

(二) 請求算機率 $P(X=10,Y\leq 7)。（5分）$

(三) 請求算期望值 $E(X\mid Y=6)。（5分）$

(四) 今 $Z=X+Y$ ，請計算期望值 $E(Z)。（5分）$

Accepted Answer

核心觀念

本題考簡單隨機不放回抽樣，以及次序統計量的聯合分配。由 $\{6,7,8,9,10\}$ 中抽出 $3$ 個數，每一個大小為 $3$ 的樣本等可能，共有

\binom{5}{3}=10

種。令 $X$ 為樣本最大值、 $Y$ 為樣本最小值，則必有 $X>Y$ 。

解題方法

逐一列出所有可能樣本，並記錄其最大值與最小值：

樣本	$(X,Y)$
$\{6,7,8\}$	$(8,6)$
$\{6,7,9\}$	$(9,6)$
$\{6,7,10\}$	$(10,6)$
$\{6,8,9\}$	$(9,6)$
$\{6,8,10\}$	$(10,6)$
$\{6,9,10\}$	$(10,6)$
$\{7,8,9\}$	$(9,7)$
$\{7,8,10\}$	$(10,7)$
$\{7,9,10\}$	$(10,7)$
$\{8,9,10\}$	$(10,8)$

（一） $X、Y$ 的聯合機率分配

每個樣本的機率都是 $1/10$ 。若固定最小值 $y$ 、最大值 $x$ ，樣本中剩下的 $1$ 個數必須介於 $y$ 與 $x$ 之間，因此符合條件的樣本數為 $x-y-1$ 。故

f(x,y)=P(X=x,Y=y) = \begin{cases} \dfrac{x-y-1}{10}, & 6\leq y<x\leq 10,\\[4pt] 0, & \text{其他情形}. \end{cases}

列成表如下，列為 $y$ 、欄為 $x$ ：

$y\backslash x$	$8$	$9$	$10$
$6$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$	$\frac{3}{10}$
$7$	$0$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{10}$
$8$	$0$	$0$	$\frac{1}{10}$

表中其餘組合的機率皆為 $0$ 。各格機率總和為 $(1+2+3+1+2+1)/10=1$ 。

（二）計算 $P(X=10,Y\leq 7)$

由聯合分配，符合條件的組合為 $(X,Y)=(10,6)$ 或 $(10,7)$ ，所以

P(X=10,Y\leq 7) =P(X=10,Y=6)+P(X=10,Y=7) =\frac{3}{10}+\frac{2}{10} =\boxed{\frac{1}{2}}.

（三）計算 $E(X\mid Y=6)$

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Question 2

公司在全國 $250$ 個銷售據點販賣新產品 A。為了解 A 產品的市場接受度，行銷部門依全國地理位置分為甲、乙、丙、丁四個區域，其中甲區有 $85$ 個銷售據點，乙區有 $70$ 個銷售據點，丙區有 $60$ 個銷售據點，丁區有 $35$ 個銷售據點。

現將每個區域視為一個層別，以分層隨機抽樣（stratified random sampling）法，自甲、乙、丙、丁各區中分別抽出 $15、12、8、5$ 個銷售據點，調查每個銷售據點 A 產品一週的銷售數量。由於各區幅員及交通狀況不同，調查費用也隨之不同，已知甲、乙、丙、丁各區，調查每個銷售據點的成本分別為 $6.25、4、9、9$ （單位：萬元）。

調查結果得 A 產品在每個銷售據點一週銷售數量的平均數及標準差資料如下：

區域	甲	乙	丙	丁
平均數	$80.6$	$165$	$304$	$482$
標準差	$32.5$	$95.2$	$129.6$	$269.1$

(一) 估計 A 產品一週的總銷售量並計算其 $95\%$ 信賴區間。（10分）

(二) 現公司的管理高層欲估計 A 產品一週的總銷售量，及要求估計的 $95\%$ 誤差界限為 $5000$ ，則各區須調查多少個銷售據點，才能使調查總費用最低？同時計算需花費多少的調查費用？（14分）

(三) 若調查總費用的預算為 $350$ 萬元，請問各區銷售據點最佳的調查數量為何，方能達到(二)的要求？（6分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考分層隨機抽樣的總量估計、估計變異數，以及在不同成本與精度條件下配置樣本數。

令第 $h$ 層母體數為 $N_h$ 、樣本數為 $n_h$ 、樣本平均數為 $\bar y_h$ 、樣本標準差為 $s_h$ ，每個調查單位的成本為 $c_h$ 。總銷售量的估計量及其估計變異數為

\hat T_{\mathrm{st}}=\sum_{h=1}^L N_h\bar y_h, \qquad \widehat V(\hat T_{\mathrm{st}}) =\sum_{h=1}^L N_h^2\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\frac{s_h^2}{n_h}.

$95\%$ 信賴區間以題目給定的 $z_{0.025}=1.96$ 計算：

\hat T_{\mathrm{st}}\pm1.96\sqrt{\widehat V(\hat T_{\mathrm{st}})}.

在給定精度下使成本最低，或在給定成本下使變異數最低，均使用依層別標準差與調查成本調整的配置比例：

n_h\propto\frac{N_hs_h}{\sqrt{c_h}}.

此比例適用於連續配置；實際樣本數須取整數，並確認總變異數符合精度要求或總成本符合預算。

解題方法

四區資料為

區域	$N_h$	$n_h$ （第一小題）	$\bar y_h$	$s_h$	$c_h$
甲	85	15	80.6	32.5	6.25
乙	70	12	165	95.2	4
丙	60	8	304	129.6	9
丁	35	5	482	269.1	9

（一）估計一週總銷售量及 $95\%$ 信賴區間

先加總各層估計銷售量：

\hat T_{\mathrm{st}} =85(80.6)+70(165)+60(304)+35(482) =53{,}511.

估計變異數為

\begin{aligned} \widehat V(\hat T_{\mathrm{st}}) &=\sum_h N_h^2\left(1-\frac{n_h}{N_h}\right)\frac{s_h^2}{n_h}\\ &\approx25{,}242{,}920.2. \end{aligned}

因此標準誤約為 $5{,}024.2$ ，誤差界限為

1.96(5{,}024.2)\approx9{,}847.5.

信賴區間為

53{,}511\pm9{,}847.5 =(43{,}663.5,\ 63{,}358.5).

（二）誤差界限為 $5{,}000$ 時，使總費用最低

要求

1.96\sqrt{\widehat V(\hat T_{\mathrm{st}})}\leq5{,}000,

等價於

Question 3

某貿易商進口了一批 $5000$ 箱的機能飲料，每箱飲料依序編號且每一箱內含有 $20$ 瓶飲料。現貿易商的主管想了解每瓶飲料的平均咖啡因含量，遂依每箱飲料編號順序，以每隔 $500$ 箱抽出一箱方式，自此批飲料中抽出 $10$ 箱，檢測每箱飲料的咖啡因含量，分別為 $y_1,y_2,\ldots,y_{10}$ 。

(一) 請問貿易商的主管採用何種抽樣方法？母體大小為何？

(二) 參數為何？請寫出該參數的估計量。（每小題10分，共20分）

Accepted Answer

核心觀念 本題考查系統抽樣與抽樣母體的界定。系統抽樣是依抽樣單位的排列順序，每隔固定間距抽取一個單位；題目按箱號每隔 $500$ 箱抽一箱，因此抽樣單位是「箱」，不是「瓶」。 每箱雖含 $20$ 瓶，但題目實際抽出並檢測的是 $10$ 箱，且提供的 $y1,\ldots,y{10}$ 是各箱的檢測結果。因此母體大小應依被抽樣的單位計算。 解題方法 （一）題目依箱號排列，採每隔 $500$ 箱抽一箱，共抽出 $10$ 箱，故採用系統抽樣。本批共有 $5000$ 箱，所以以箱為抽樣單位時，母體大小為 $N=5000$。 （二）主管要了解的是每瓶飲料的平均咖啡因含量。令第 $i$ 箱第 $j$ 瓶的咖啡因含量為 $x{ij}$，其中 $i=1,\ldots,5000$、$j=1,\ldots,20$。全批飲料共有 $5000	imes20=100000$ 瓶，目標參數是全體瓶裝飲料的平均咖啡因含量： $$ \bar{X} =\frac{1}{100000}\sum{i=1}^{5000}\sum{j=1}^{20}x{ij}. $$

Question 4

報名參加減肥中心春季班的班員共有 $200$ 人，經減肥中心量測得平均體重為 $72.5$ 公斤。每位班員均採用減肥中心提供之飲食餐 $3$ 個月後，減肥中心主管想了解班員體重情況，於是從班員中隨機選了 $10$ 位班員，並且測量其體重。得這 $10$ 位班員減肥前及減肥後體重資料如下：

班員	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
減肥前體重	$58$	$82$	$64$	$76$	$64$	$76$	$54$	$50$	$88$	$94$
減肥後體重	$52$	$70$	$64$	$64$	$58$	$70$	$52$	$46$	$76$	$82$

(一) 分別以比率估計量（ratio estimator）、迴歸估計量（regression estimator）及差數估計量（difference estimator），估計班員減肥後的平均體重，並計算其變異數。（21分）

(二) 根據(一)的結果，您會建議採用那一個估計量？（4分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像；題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

Accepted Answer

核心觀念

減肥前體重 $x$ 的全體平均數已知為 $\bar X=72.5$ 公斤，可作為輔助變數；減肥後體重 $y$ 是欲估計的變數。樣本是從 $N=200$ 位班員中隨機抽出 $n=10$ 位，依不放回簡單隨機抽樣計算，抽樣比為

f=\frac{n}{N}=\frac{10}{200}=0.05.

樣本資料的平均數及離均差平方和、乘積和為

\bar x=70.6,\qquad \bar y=63.4,

S_{xx}=\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2=1984.4,\quad S_{xy}=\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=1491.6,

S_{yy}=\sum_{i=1}^{10}(y_i-\bar y)^2=1184.4.

以下變異數均為抽樣變異數的估計值，並納入有限母體修正因子 $1-f=0.95$ 。

解題方法與計算

1. 比率估計量

比率估計量以樣本比率 $r=\bar y/\bar x$ 調整已知的全體減肥前平均體重：

r=\frac{63.4}{70.6}=0.898017, \qquad \hat{\bar Y}_R=r\bar X =0.898017(72.5)=65.106.

估計變異數以比率殘差 $e_i=y_i-rx_i$ 計算：

\widehat{V}(\hat{\bar Y}_R) =\left(1-\frac nN\right)\frac{s_e^2}{n}, \qquad s_e^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(e_i-\bar e)^2}{n-1}.

本題 $\bar e=0$ ，且 $\sum(e_i-\bar e)^2=105.7244$ ，所以

\widehat{V}(\hat{\bar Y}_R) =0.95\left(\frac{105.7244}{9}\right)\frac{1}{10} =\boxed{1.116\text{ 公斤}^2}.

2. 迴歸估計量

樣本迴歸斜率為

b=\frac{S_{xy}}{S_{xx}} =\frac{1491.6}{1984.4} =0.751663.

利用已知的 $\bar X$ 調整樣本減肥後平均體重：

\hat{\bar Y}_{\mathrm{reg}} =\bar y+b(\bar X-\bar x) =63.4+0.751663(72.5-70.6) =\boxed{64.828\text{ 公斤}}.

110 關務特考三等關稅統計抽樣方法考古題詳解

第一題25 分

核心觀念

解題方法

（一） $X、Y$ 的聯合機率分配

（二）計算 $P(X=10,Y\leq 7)$

（三）計算 $E(X\mid Y=6)$

第二題30 分

核心觀念

解題方法

（一）估計一週總銷售量及 $95\%$ 信賴區間

（二）誤差界限為 $5{,}000$ 時，使總費用最低

第三題20 分

第四題25 分

核心觀念

解題方法與計算

1. 比率估計量

2. 迴歸估計量

其他考古題

110 年關稅統計的其他科目

關稅統計《抽樣方法》其他年度

110 關務特考三等 關稅統計 抽樣方法 考古題詳解

第 一 題25 分

核心觀念

解題方法

（一）X、YX、YX、Y 的聯合機率分配

（二）計算 P(X=10,Y≤7)P(X=10,Y\leq 7)P(X=10,Y≤7)

（三）計算 E(X∣Y=6)E(X\mid Y=6)E(X∣Y=6)

第 二 題30 分

核心觀念

解題方法

（一）估計一週總銷售量及 95%95\%95% 信賴區間

（二）誤差界限為 5,0005{,}0005,000 時，使總費用最低

第 三 題20 分

第 四 題25 分

核心觀念

解題方法與計算

1. 比率估計量

2. 迴歸估計量

其他考古題

110 年關稅統計的其他科目

關稅統計《抽樣方法》其他年度

110 關務特考三等關稅統計抽樣方法考古題詳解

第一題25 分

（一） $X、Y$ 的聯合機率分配

（二）計算 $P(X=10,Y\leq 7)$

（三）計算 $E(X\mid Y=6)$

第二題30 分

（一）估計一週總銷售量及 $95\%$ 信賴區間

（二）誤差界限為 $5{,}000$ 時，使總費用最低

第三題20 分

第四題25 分