110 關務特考三等 關稅統計 統計學 考古題詳解

110 年・關務特考・三等・關稅統計
試題代碼 統計學

第 一 題25 分

令 X1X_1 表示自北北基隨機調查 n1n_1 人，回答支持 A 案公投的人數；p1p_1 表示 A 案公投在北北基的母體支持率。令 X2X_2 表示自高屏區隨機調查 n2n_2 人，回答支持 A 案公投的人數；p2p_2 表示 A 案公投在高屏區的母體支持率。

(一) pi, i=1,2p_i,\ i=1,2 未知時，其最佳估計量 p^i\hat{p}_i 為何？（5 分）

(二) 試推導出 p^1−p^2\hat{p}_1-\hat{p}_2 的期望值和變異數，並說明 p^1−p^2\hat{p}_1-\hat{p}_2 的分配。（10 分）

(三) 若 n1=1200n_1=1200、X1=500X_1=500、n2=900n_2=900、X2=300X_2=300，在顯著水準為 0.10.1 之下，試檢定兩區的 A 案支持率是否相等？（寫出虛無假設和對立假設，並說明檢定統計量之分配及檢定之結果。）（10 分）

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核心觀念

本題考兩獨立母體比例的估計與檢定。令 Xi∼Binomial⁡(ni,pi)X_i\sim\operatorname{Binomial}(n_i,p_i)，則樣本比例為 p^i=Xi/ni\hat p_i=X_i/n_i。兩區各自獨立隨機抽樣，因此 p^1\hat p_1 與 p^2\hat p_2 相互獨立。

（一）母體支持率的最佳估計量

由二項分配的概似函數

L(pi)=(niXi)piXi(1−pi)ni−XiL(p_i)=\binom{n_i}{X_i}p_i^{X_i}(1-p_i)^{n_i-X_i}

取最大概似估計，可得

p^i=Xini,i=1,2.\boxed{\hat p_i=\frac{X_i}{n_i}},\qquad i=1,2.

因此，母體支持率 pip_i 的估計量是樣本支持率。

（二）p^1−p^2\hat p_1-\hat p_2 的期望、變異數與分配

由 Xi∼Binomial⁡(ni,pi)X_i\sim\operatorname{Binomial}(n_i,p_i)，

E(Xi)=nipi,Var⁡(Xi)=nipi(1−pi).E(X_i)=n_ip_i,\qquad \operatorname{Var}(X_i)=n_ip_i(1-p_i).

故

E(p^i)=E(Xini)=pi,Var⁡(p^i)=Var⁡(Xi)ni2=pi(1−pi)ni.E(\hat p_i)=E\left(\frac{X_i}{n_i}\right)=p_i, \qquad \operatorname{Var}(\hat p_i)=\frac{\operatorname{Var}(X_i)}{n_i^2} =\frac{p_i(1-p_i)}{n_i}.

利用期望的線性性，以及兩區獨立抽樣，

E(p^1−p^2)=p1−p2,E(\hat p_1-\hat p_2)=p_1-p_2, Var⁡(p^1−p^2)=Var⁡(p^1)+Var⁡(p^2)=p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2.\operatorname{Var}(\hat p_1-\hat p_2) =\operatorname{Var}(\hat p_1)+\operatorname{Var}(\hat p_2) =\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}.

有限樣本下，p^1−p^2\hat p_1-\hat p_2 是兩個縮放二項隨機變數之差，通常不會是常態分配。當兩組樣本數足夠大，且各組的成功與失敗期望次數均足夠時，由中央極限定理可近似為

p^1−p^2 ∼˙ N(p1−p2, p1(1−p1)n1+p2(1−p2)n2).\hat p_1-\hat p_2 \ \dot\sim\ N\left( p_1-p_2,\, \frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2} \right).

（三）檢定兩區支持率是否相等

假設與方法

題目問「是否相等」，採雙尾檢定：

H0:p1=p2,H1:p1≠p2.H_0:p_1=p_2,\qquad H_1:p_1\ne p_2.
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第 二 題30 分

一種金屬重量（單位：g）假設為常態分配，平均值和變異數分別為 (μ,σ2)(\mu,\sigma^2)，即 X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)。μ\mu 值未知，但 σ2\sigma^2 值已知。

隨機抽取一樣本，樣本大小為 nn。在顯著水準為 0.050.05 下，檢定

H0:μ=10,H1:μ>10。H_0:\mu=10,\qquad H_1:\mu>10。

(一) 檢定統計量為何？其分配為何？（5 分）

(二) 假設樣本平均值 xˉ=12\bar{x}=12、σ=9\sigma=9，欲使檢定結果拒絕 H0H_0，nn 最少應該為多少？（5 分）

(三) 續題（二），在 n=144n=144 之下，請分別計算在 μ=12、14\mu=12、14 之型 II 誤差機率 β\beta，並畫出檢定力曲線（power curve）（請標示清楚橫軸及縱軸，和 μ=10、12、14\mu=10、12、14 的對應檢定力值）。（20 分）

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核心觀念

母體為常態分配，且母體變異數 σ2\sigma^2 已知，因此以樣本平均數建立單一母平均數的右尾 ZZ 檢定。檢定水準為 α=0.05\alpha=0.05，備擇假設為 H1:μ>10H_1:\mu>10，故拒絕域位於標準常態分配的右尾。

（一）檢定統計量與分配

檢定統計量為

Z=Xˉ−μ0σ/n=Xˉ−10σ/n.Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} =\frac{\bar X-10}{\sigma/\sqrt n}.

在虛無假設 H0:μ=10H_0:\mu=10 成立時，

Z∼N(0,1).Z\sim N(0,1).

顯著水準 α=0.05\alpha=0.05 的右尾臨界值為 z0.95=1.645z_{0.95}=1.645，因此拒絕域為

Z>1.645.Z>1.645.

（二）使檢定結果拒絕 H0H_0 的最小樣本數

已知 xˉ=12\bar x=12、σ=9\sigma=9。代入拒絕條件：

12−109/n>1.645.\frac{12-10}{9/\sqrt n}>1.645.

整理得

2n9>1.645⟹n>1.645(9)2=7.4025,\frac{2\sqrt n}{9}>1.645 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt n>\frac{1.645(9)}{2}=7.4025,

所以

n>7.40252≈54.80.n>7.4025^2\approx54.80.

樣本數須為整數，故最小樣本數為 n=55n=55。驗算：n=55n=55 時統計量約為 1.647>1.6451.647>1.645，可拒絕 H0H_0；n=54n=54 時統計量約為 1.632<1.6451.632<1.645，不能拒絕。

（三）n=144n=144 時的型 II 誤差與檢定力曲線

1. 建立拒絕域

當 n=144n=144 時，標準誤為

σn=912=0.75.\frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{9}{12}=0.75.

拒絕 H0H_0 的條件為

Xˉ−100.75>1.645,\frac{\bar X-10}{0.75}>1.645,

等價於

Xˉ>10+1.645(0.75)=11.23375.\bar X>10+1.645(0.75)=11.23375.

令臨界值 c=11.23375c=11.23375。當真實平均數為 μ\mu 時，Xˉ∼N(μ,0.752)\bar X\sim N(\mu,0.75^2)。因此型 II 誤差機率為未拒絕 H0H_0 的機率：

β(μ)=Pμ(Xˉ≤c)=Φ(c−μ0.75),\beta(\mu)=P_\mu(\bar X\le c) =\Phi\left(\frac{c-\mu}{0.75}\right),

其中 Φ\Phi 為標準常態分配的累積分配函數。檢定力為

π(μ)=1−β(μ)=1−Φ(c−μ0.75).\pi(\mu)=1-\beta(\mu) =1-\Phi\left(\frac{c-\mu}{0.75}\right).

2. μ=12\mu=12 時

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第 三 題25 分

工程師研究電壓大小和溫度高低對手機壽命的影響。在指定的 2 種不同電壓（100 V100\ \mathrm{V}、200 V200\ \mathrm{V}）和 2 種不同溫度（25∘C25^\circ\mathrm{C}、35∘C35^\circ\mathrm{C}）的組合下，分別量測手機壽命（單位：千小時）；不同電壓和不同溫度組合下的實驗各反覆做 2 次，且所有實驗順序是隨機的。電壓大小和溫度高低組合下的手機壽命如表 1 所示。

表 1　手機壽命

溫度（∘C^\circ\mathrm{C}）電壓 100 V100\ \mathrm{V}電壓 200 V200\ \mathrm{V}總和
252512, 1612,\ 1610, 1210,\ 125050
35358, 108,\ 106, 86,\ 83232
總和464636368282

(一) 這是哪種實驗設計（即實驗設計的名稱為何）？（5 分）

(二) 寫出變異數分析的固定效應模式（fixed effects model）及假設。（10 分）

(三) 列出變異數分析表並檢定電壓、溫度和交互作用是否是影響手機壽命的顯著因子，顯著水準 α=0.05\alpha=0.05。（10 分）

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考二因子變異數分析。電壓有 22 個水準，溫度有 22 個水準，每一種組合重複觀測 22 次，因此是有重複觀測的 2×22\times2 因子實驗，可分別檢定電壓主效果、溫度主效果及電壓與溫度的交互作用。

（一）實驗設計名稱

這是二因子完全隨機因子設計（2×22\times2 factorial design with replication）。兩個因子是電壓與溫度，每一因子各有兩個指定水準；每一種因子組合重複兩次，且實驗順序隨機。

（二）固定效應模式及假設

令 YijkY_{ijk} 表示第 ii 種電壓、第 jj 種溫度下第 kk 次測得的手機壽命，其中 i,j=1,2i,j=1,2，k=1,2k=1,2。固定效應模式為

Yijk=μ+αi+βj+(αβ)ij+εijk,Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk},

其中：

  • μ\mu 為總平均數；
  • αi\alpha_i 為第 ii 種電壓的效果；
  • βj\beta_j 為第 jj 種溫度的效果；
  • (αβ)ij(\alpha\beta)_{ij} 為電壓與溫度的交互作用；
  • 誤差項 εijk\varepsilon_{ijk} 相互獨立，且 εijk∼N(0,σ2)\varepsilon_{ijk}\sim N(0,\sigma^2)。

為使參數可辨識，採用限制條件：

∑iαi=0,∑jβj=0,∑i(αβ)ij=0,∑j(αβ)ij=0.\sum_i\alpha_i=0,\qquad \sum_j\beta_j=0,\qquad \sum_i(\alpha\beta)_{ij}=0,\qquad \sum_j(\alpha\beta)_{ij}=0.

檢定假設如下：

  • 電壓主效果：H0:α1=α2=0H_0:\alpha_1=\alpha_2=0。
  • 溫度主效果：H0:β1=β2=0H_0:\beta_1=\beta_2=0。
  • 交互作用：H0:(αβ)ij=0H_0:(\alpha\beta)_{ij}=0，對所有 i,ji,j 均成立。

（三）變異數分析表與檢定

計算各組平均數與總平均數

四個組合的平均數為：

溫度電壓 100 V100\ \mathrm{V}電壓 200 V200\ \mathrm{V}
25∘C25^\circ\mathrm{C}14141111
35∘C35^\circ\mathrm{C}9977

總平均數為

Yˉ...=828=10.25.\bar{Y}_{...}=\frac{82}{8}=10.25.

電壓邊際平均數為 Yˉ1..=46/4=11.5\bar{Y}_{1..}=46/4=11.5、Yˉ2..=36/4=9\bar{Y}_{2..}=36/4=9；溫度邊際平均數為 Yˉ.1.=50/4=12.5\bar{Y}_{.1.}=50/4=12.5、Yˉ.2.=32/4=8\bar{Y}_{.2.}=32/4=8。

平方和計算

電壓平方和：

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第 四 題20 分

假設隨機變數 XX 服從指數分配，已知其期望值 μ\mu 為 0.50.5 且變異數 σ2\sigma^2 為 0.250.25。

令

L0=μ,L1=X 的中位數,L2=μ+3σ。L_0=\mu,\qquad L_1=X\text{ 的中位數},\qquad L_2=\mu+3\sigma。

(一) 計算 P(X<L1)P(X<L_1) 之機率值，並求 L1L_1 的值。（5 分）

(二) 計算 P(X<L1, X>L0)P(X<L_1,\ X>L_0) 之機率值。（5 分）

(三) 自母體中連續抽取 5 個數值，計算最多有 1 個數值落在 L1L_1 和 L0L_0 區間或 L0L_0 和 L2L_2 區間之機率。（10 分）

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核心觀念

指數分配的機率由累積分配函數計算；指數分配的中位數可由 F(x)=0.5F(x)=0.5 求得。第三小題則先計算單次抽樣落入指定區間的機率，再以二項分配計算 5 次獨立抽樣中「最多 1 次」發生的機率。

令 X∼Exp⁡(λ)X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)，其機率密度函數與累積分配函數為

f(x)=λe−λx,x≥0,F(x)=P(X<x)=1−e−λx,x≥0.f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0, \qquad F(x)=P(X<x)=1-e^{-\lambda x},\quad x\ge 0.

指數分配的期望值與變異數為

E(X)=1λ,Var⁡(X)=1λ2.E(X)=\frac{1}{\lambda},\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}.

由題目給定 μ=0.5\mu=0.5，得 λ=1/μ=2\lambda=1/\mu=2；且 σ=0.25=0.5\sigma=\sqrt{0.25}=0.5。題目給定的期望值與變異數符合指數分配的關係。

解題方法

（一）求 P(X<L1)P(X<L_1) 與中位數 L1L_1

中位數 L1L_1 的定義為 P(X<L1)=0.5P(X<L_1)=0.5。代入指數分配的累積分配函數：

1−e−2L1=0.5⟹e−2L1=0.5⟹L1=ln⁡22≈0.3466.1-e^{-2L_1}=0.5 \quad\Longrightarrow\quad e^{-2L_1}=0.5 \quad\Longrightarrow\quad L_1=\frac{\ln 2}{2}\approx 0.3466.

因此，

P(X<L1)=0.5,L1=ln⁡22≈0.3466.P(X<L_1)=0.5,\qquad L_1=\frac{\ln 2}{2}\approx 0.3466.

（二）計算 P(X<L1, X>L0)P(X<L_1,\ X>L_0)

由 L0=μ=0.5L_0=\mu=0.5，而 L1≈0.3466<0.5=L0L_1\approx0.3466<0.5=L_0。因此事件 X<L1X<L_1 與 X>L0X>L_0 不可能同時成立，兩事件的交集為空集合：

P(X<L1, X>L0)=0.P(X<L_1,\ X>L_0)=0.

（三）計算 5 個數值中，最多 1 個落入兩指定區間的機率

先求 L2L_2：

L2=μ+3σ=0.5+3(0.5)=2.L_2=\mu+3\sigma=0.5+3(0.5)=2.
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