111 關務特考三等 關稅統計 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考查指數分配的下列性質：

1. 指數分配 $X\sim \operatorname{Exp}(\lambda)$ 的平均數與變異數： $E(X)=\frac{1}{\lambda},\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}.$

2. 因此標準差為： $\sigma=\frac{1}{\lambda}.$

3. 累積分配函數與尾端機率： $F(x)=P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x>0,$ $P(X>x)=e^{-\lambda x}.$

4. 中位數 $Md$ 滿足： $P(X\leq Md)=\frac12.$

5. 隨機樣本若彼此獨立，則可利用獨立事件的乘法法則及補事件計算「至少有一個」的機率。

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解題方法

（一）計算 $P(X>\mu+\sigma)$

指數分配的平均數與標準差分別為：

$$\mu=\frac1\lambda,\qquad \sigma=\frac1\lambda.$$

因此：

$$\mu+\sigma=\frac2\lambda.$$

利用尾端機率公式：

$$P(X>\mu+\sigma) =P\left(X>\frac2\lambda\right) =e^{-\lambda(2/\lambda)} =e^{-2}.$$

所以：

$$\boxed{P(X>\mu+\sigma)=e^{-2}\approx 0.1353}$$

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（二）計算中位數 $Md$

中位數定義為使累積機率等於 $\frac12$ 的數值，因此：

$$P(X\leq Md)=\frac12.$$

由指數分配的累積分配函數：

$$1-e^{-\lambda Md}=\frac12.$$

移項得：

$$e^{-\lambda Md}=\frac12.$$

兩邊取自然對數：

$$-\lambda Md=\ln\left(\frac12\right)=-\ln 2.$$

故：

$$\boxed{Md=\frac{\ln 2}{\lambda}}$$

由於 $\ln 2<1$，可知：

$$Md=\frac{\ln2}{\lambda}<\frac1\lambda=\mu.$$

也就是說，指數分配具有右偏特性，中位數小於平均數。

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（三）計算 $X$ 介於中位數和平均數之間的機率

因為 $Md<\mu$，所求機率為：

$$P(Md<X<\mu).$$

利用累積分配函數：

$$P(Md<X<\mu)=F(\mu)-F(Md).$$

分別計算：

$$F(\mu) =1-e^{-\lambda(1/\lambda)} =1-e^{-1},$$

以及：

$$F(Md) =1-e^{-\lambda(\ln2/\lambda)} =1-e^{-\ln2} =1-\frac12 =\frac12.$$

因此：

$$P(Md<X<\mu) =(1-e^{-1})-\frac12 =\frac12-e^{-1}.$$

所以：

核心觀念

本題檢定母體電池壽命的中位數是否為 $30$ 單位，分別使用：

1. 符號檢定（sign test）：只利用觀測值高於或低於 $30$ 的方向，不使用差距大小。
2. 單一母體平均數的 $t$ 檢定：因常態分配的中位數等於平均數，因此可將中位數問題轉化為平均數問題，並使用樣本平均數與樣本標準差。

由於題目為雙尾檢定，顯著水準為 $\alpha=0.05$。

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（一）符號檢定

1. 假設設定

令 $\eta$ 表示電池壽命的母體中位數，則

$$H_0:\eta=30$$ $$H_1:\eta\ne 30$$

這是雙尾檢定。

2. 資料分類

將每個觀測值與 $30$ 比較：

電池壽命	與 30 比較	符號
25	小於	$-$
50	大於	$+$
45	大於	$+$
55	大於	$+$
45	大於	$+$
28	小於	$-$
35	大於	$+$
42	大於	$+$
25	小於	$-$
30	等於	排除
32	大於	$+$
38	大於	$+$

等於 $30$ 的觀測值在符號檢定中予以刪除，因此有效樣本數為

$$n=11.$$

大於 $30$ 的個數為 $8$，小於 $30$ 的個數為 $3$。

令

$$X=\text{有效觀測值中大於 30 的個數},$$

則觀察值為

$$x=8.$$

3. 檢定統計量的分配

在 $H_0$ 為真且母體分配為連續分配時，每一個有效觀測值大於 $30$ 或小於 $30$ 的機率皆為 $1/2$，因此

$$X\sim \operatorname{Binomial}(11,0.5).$$

其機率質量函數為

$$P(X=x)=\binom{11}{x}(0.5)^{11}.$$

4. $p$ 值與檢定結果

觀察到 $X=8$。由於是雙尾檢定，應計算與 $8$ 同樣或更極端的結果：

$$p\text{-value} =2P(X\ge 8).$$

因此

$$\begin{aligned} p\text{-value} &=2\left[ \frac{\binom{11}{8}+\binom{11}{9}+\binom{11}{10}+\binom{11}{11}}{2^{11}} \right]\\ &=2\left[ \frac{165+55+11+1}{2048} \right]\\ &=\frac{464}{2048}\\ &=0.2266. \end{aligned}$$

因為

$$p\text{-value}=0.2266>0.05,$$

所以不拒絕 $H_0$。

結論

在顯著水準 $0.05$ 下，沒有充分證據認為電池壽命的母體中位數不等於 $30$ 單位。

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（二）常態分配下的檢定

1. 假設設定

若電池壽命服從常態分配，

$$X\sim N(\mu,\sigma^2),$$

則常態分配具有對稱性，其中位數等於平均數。因此，中位數是否為 $30$ 可轉化為檢定平均數是否為 $30$：

$$H_0:\mu=30$$ $$H_1:\mu\ne 30.$$

2. 計算樣本平均數與樣本標準差

資料總和為

$$\sum_{i=1}^{12}x_i=450,$$

所以樣本平均數為

$$\bar X=\frac{450}{12}=37.5.$$

平方離差和為

$$\sum_{i=1}^{12}(x_i-\bar X)^2=1091.$$

樣本變異數為

$$S^2=\frac{1091}{12-1} =\frac{1091}{11} =99.1818,$$

樣本標準差為

$$S=\sqrt{99.1818}=9.959.$$

3. 檢定統計量及其分配

核心觀念

本題考查單因子變異數分析（one-way ANOVA）中的共同母體變異數估計、其不偏性、共同變異數的信賴區間，以及母體平均數比較。

三個獨立常態母體之樣本資料為：

$$(n_1,\bar{x}_1,s_1^2)=(16,62,55),$$ $$(n_2,\bar{x}_2,s_2^2)=(16,66,53),$$ $$(n_3,\bar{x}_3,s_3^2)=(8,44,62).$$

若三個母體變異數相等，設共同母體變異數為 $\sigma^2$，則應使用合併樣本變異數：

$$S_p^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(n_i-1)s_i^2} {\displaystyle\sum_{i=1}^{k}(n_i-1)}.$$

其中 $k=3$，總樣本數為

$$N=n_1+n_2+n_3=40.$$

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（一）共同母體變異數的不偏估計量

解題方法

三個母體變異數相等，因此將各組樣本變異數按照其自由度加權合併。各組樣本變異數的自由度分別為：

$$n_1-1=15,\qquad n_2-1=15,\qquad n_3-1=7.$$

所以共同母體變異數的不偏估計量為：

$$S_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2+(n_3-1)s_3^2} {(n_1-1)+(n_2-1)+(n_3-1)}.$$

代入資料：

$$S_p^2 = \frac{15(55)+15(53)+7(62)} {15+15+7}.$$ $$S_p^2 = \frac{825+795+434}{37} = \frac{2054}{37} \approx 55.514.$$

因此，

$$\boxed{S_p^2=\frac{2054}{37}\approx 55.514}$$

為共同母體變異數 $\sigma^2$ 的不偏估計量。

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（二）證明不偏性

解題方法

假設三個母體皆具有相同變異數：

$$\operatorname{Var}(X_{ij})=\sigma^2.$$

對於每一組樣本，樣本變異數 $s_i^2$ 本身就是母體變異數 $\sigma^2$ 的不偏估計量，因此：

$$E(s_i^2)=\sigma^2.$$

考慮合併估計量：

$$S_p^2 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}(n_i-1)s_i^2} {\displaystyle\sum_{i=1}^{3}(n_i-1)}.$$

取期望值：

$$E(S_p^2) = E\left[ \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{3}(n_i-1)s_i^2}{37} \right].$$

由期望值的線性性：

$$E(S_p^2) = \frac{1}{37} \sum_{i=1}^{3}(n_i-1)E(s_i^2).$$

因為 $E(s_i^2)=\sigma^2$，故：

$$E(S_p^2) = \frac{1}{37} \left[ 15\sigma^2+15\sigma^2+7\sigma^2 \right].$$ $$E(S_p^2) = \frac{37\sigma^2}{37} = \sigma^2.$$

因此：

$$\boxed{E(S_p^2)=\sigma^2}$$

所以 $S_p^2$ 確實是共同母體變異數 $\sigma^2$ 的不偏估計量。

另一種說明

由於各組樣本變異數滿足：

$$\frac{(n_i-1)s_i^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n_i-1},$$

且各組樣本彼此獨立，因此：

$$\frac{\sum_{i=1}^{3}(n_i-1)s_i^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{(n_1-1)+(n_2-1)+(n_3-1)} = \chi^2_{37}.$$

而卡方分配的期望值為自由度，因此：

$$E\left[ \sum_{i=1}^{3}(n_i-1)s_i^2 \right] = 37\sigma^2.$$

除以 $37$ 後即得：

$$E(S_p^2)=\sigma^2.$$

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（三）共同母體變異數的 95% 信賴區間

核心觀念

在三個母體皆為常態且變異數相等的條件下：

$$\frac{(N-k)S_p^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_{N-k}.$$

本題中：

$$N-k=40-3=37.$$

因此：

$$\frac{37S_p^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{37}.$$

95% 信賴區間滿足：

$$P\left( \chi^2_{0.025,37} \le \frac{37S_p^2}{\sigma^2} \le \chi^2_{0.975,37} \right)=0.95.$$

整理 $\sigma^2$：

$$\left( \frac{37S_p^2}{\chi^2_{0.975,37}}, \frac{37S_p^2}{\chi^2_{0.025,37}} \right).$$

由於：

$$37S_p^2=2054,$$

查表得：

$$\chi^2_{0.975,37}\approx20.707, \qquad \chi^2_{0.025,37}\approx58.124.$$

所以：

$$\text{下限} = \frac{2054}{58.124} \approx35.35,$$ $$\text{上限} = \frac{2054}{20.707} \approx99.20.$$

因此共同母體變異數的 95% 信賴區間為：

$$\boxed{35.35<\sigma^2<99.20}$$

解題技巧

卡方信賴區間的分母上下限容易放反。由於 $\chi^2_{0.025,37}$ 較大，會產生較小的信賴區間下限；$\chi^2_{0.975,37}$ 較小，會產生較大的上限。

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（四）檢定三個母體平均數是否全部相等

1. 假設

欲檢定：

$$H_0:\mu_1=\mu_2=\mu_3,$$ $$H_1:\text{至少有一個母體平均數不相等}.$$

顯著水準為：

$$\alpha=0.05.$$

使用單因子變異數分析。

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2. 計算總平均數

總樣本平均數為：

$$\bar{x}_{..} = \frac{\sum n_i\bar{x}_i}{N}.$$

核心觀念

本題考查一元線性迴歸分析，重點包括：

1. 以散布圖判斷價格與銷售量的線性關係。
2. 建立一元線性迴歸模型： $Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$
3. 以最小平方法估計迴歸係數。
4. 以殘差平方和估計誤差變異數。
5. 利用 $t$ 檢定判斷斜率 $\beta_1$ 是否為零。

其中：

• $X_i$：第 $i$ 筆硬碟價格。
• $Y_i$：第 $i$ 筆硬碟銷售量。
• $\beta_0$：截距。
• $\beta_1$：斜率。
• $\varepsilon_i$：誤差項。

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（一）散布圖

散布圖的橫軸為價格 $X$，縱軸為銷售量 $Y$，應標示下列 10 個座標點：

$(30,9),(32,6),(34,3),(35,5),(36,4),$ $(37,3),(38,2),(39,2),(40,2),(42,1)$

可用下列示意圖表示：

銷售量 Y
 9 | ●
 8 |
 7 |
 6 | ●
 5 | ●
 4 | ●
 3 | ● ●
 2 | ● ● ●
 1 | ●
 +------------------------------------
 30 32 34 35 36 37 38 39 40 42
 價格 X

由圖形可看出，價格愈高，銷售量大致愈低，呈現明顯的負向線性關係。

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（二）迴歸方程式與誤差項假設

迴歸模型

依據散布圖呈現的負向線性趨勢，採用一元線性迴歸模型：

$Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i,\qquad i=1,\ldots,10$

其條件平均數為：

$E(Y_i\mid X_i)=\beta_0+\beta_1X_i$

因為價格與銷售量呈負向關係，預期斜率：

$\beta_1<0$

誤差項假設

進行迴歸估計與斜率檢定時，通常假設：

1. 誤差項彼此獨立。
2. 誤差項平均數為零： $E(\varepsilon_i)=0$
3. 誤差項具有相同變異數： $\operatorname{Var}(\varepsilon_i)=\sigma^2$
4. 為進行小樣本 $t$ 檢定，再假設誤差項服從常態分配： $\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$

因此可寫為：

$\varepsilon_i\overset{\text{ind}}{\sim}N(0,\sigma^2)$

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（三）以最小平方誤差法估計斜率

1. 計算樣本平均數

價格平均數：

$\bar X=\frac{363}{10}=36.3$

銷售量平均數：

$\bar Y=\frac{37}{10}=3.7$

2. 計算離均差平方和與乘積和

斜率的最小平方法估計式為：

$$\hat\beta_1= \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)} {\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}$$

本題計算得：

$S_{xx}=\sum(X_i-\bar X)^2=122.10$

$S_{xy}=\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)=-73.10$

故：

$$\hat\beta_1=\frac{-73.10}{122.10} =-0.5987$$

因此，估計斜率為：

$\boxed{\hat\beta_1=-0.5987}$

若一併求得截距：

$\hat\beta_0=\bar Y-\hat\beta_1\bar X$

$$\hat\beta_0 =3.7-(-0.5987)(36.3) \approx25.432$$

故估計迴歸方程式為：