109 關務特考三等 關稅統計 統計學 考古題詳解

核心觀念

本題考指數分配的平均數、分位數，以及母體平均數的信賴區間。

若 $X\sim\operatorname{Exp}(\lambda)$，其機率密度函數為 $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$（$x\geq 0$），則：

• 平均數為 $E(X)=1/\lambda$。
• 累積分配函數為 $F(x)=P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x}$。
• 變異數為 $\operatorname{Var}(X)=1/\lambda^2$，標準差為 $1/\lambda$。

第三小題以題目已給定的指數分配參數計算母體標準差，並使用常態近似建立母體平均數的 $95\%$ 信賴區間。

解題方法

（一）平均壽命

指數分配的平均數為 $1/\lambda$。代入 $\lambda=1/2000$：

（二）壽命低於 $T$ 的比例為 $5\%$

題意表示 $P(X<T)=0.05$。由指數分配的累積分配函數：

因此

代入 $\lambda=1/2000$：

（三）母體平均壽命的 $95\%$ 信賴區間

核心觀念

本題考兩個獨立母體比例的單尾檢定。每位使用者的點擊結果只有「點擊」或「未點擊」兩種，因此可用伯努利分配描述；在虛無假設下兩組點擊率相同，檢定兩比例差異時使用合併比例估計標準誤。

解題方法

（一）$X_i$ 的機率分配

令 $X_i=1$ 表示第 $i$ 位造訪新頁面 A 的使用者點擊，$X_i=0$ 表示未點擊，則

其中 $P(X_i=1)=\pi_A$、$P(X_i=0)=1-\pi_A$。若把 A 頁面 $125$ 位使用者的點擊數加總，則該總數服從 $\operatorname{Binomial}(125,\pi_A)$。

（二）顯著水準 $0.01$ 的檢定

令 $\pi_A$、$\pi_B$ 分別為新頁面 A、舊頁面 B 的點擊率。檢定假設為

在虛無假設邊界 $\pi_A=\pi_B$ 下，合併樣本點擊率為

兩組樣本點擊率為

因此檢定統計量為

核心觀念

本題比較同一批職員訓練前後的英聽成績，依序使用：

1. 兩母體變異數相等的 $F$ 檢定：比較兩組樣本變異數。
2. 合併變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定：比較訓練前後平均數；此法假設兩組觀測值獨立且母體變異數相等。
3. 隨機區集變異數分析：以職員作為區集，控制職員間原有英聽能力差異，再檢定訓練效果。

題目中是同一批職員接受前後測，因此觀測值具有配對關係。第（二）依題目所安排的兩樣本 $t$ 檢定比較；第（三）則把職員納入區集，控制個體差異。

（一）檢定訓練前後母體變異數是否相等

令訓練前、後的母體變異數分別為 $\sigma_1^2$、$\sigma_2^2$。

兩組樣本平均數為：

樣本變異數為：

取較大的樣本變異數作為分子：

雙尾檢定、顯著水準 $\alpha=0.05$ 的臨界值約為 $0.248$ 與 $4.026$。因為 $1.1422$ 落在不拒絕域內，不拒絕 $H_0$；在 $0.05$ 顯著水準下，沒有足夠證據認為訓練前後的母體變異數不同。

（二）以兩獨立樣本 $t$ 檢定比較平均數

承接（一），採用合併變異數的兩獨立樣本 $t$ 檢定：

合併變異數為：

檢定統計量為：

核心觀念

本題考查一元線性迴歸：以最小平方法估計迴歸方程式，說明模型假設，建立迴歸分析的變異數分析表，計算判定係數，並檢定斜率是否為零。

令廣告花費為 $X$、營業額為 $Y$，迴歸模型為

其中 $\beta_0$ 為截距，$\beta_1$ 為斜率，$\varepsilon_i$ 為隨機誤差。

（一）線性迴歸方程式

最小平方法估計式為

由資料計算：

因此 $\bar{X}=9.8$、$\bar{Y}=27.6$，且

所以

迴歸方程式為

斜率表示：在此線性模型下，廣告花費每增加 1 萬元，預測營業額平均增加約 1.281 萬元。

（二）迴歸模型的基本假設

一元線性迴歸的基本假設如下：

1. 線性關係：給定 $X_i$ 時，$Y_i$ 的平均數為 $\beta_0+\beta_1X_i$。
2. 誤差平均數為零：$E(\varepsilon_i\mid X_i)=0$。
3. 誤差變異數相同：$\operatorname{Var}(\varepsilon_i\mid X_i)=\sigma^2$，不隨 $X_i$ 改變。
4. 誤差彼此獨立；進行小樣本的 $t$ 與 $F$ 檢定時，另假設誤差服從常態分配，即 $\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$。

（三）迴歸分析變異數分析表

總平方和為