108 身心障礙特考三等 統計 抽樣方法 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗抽樣調查理論中最基礎且應用最廣泛的機率抽樣法——分層隨機抽樣（Stratified Random Sampling, StRS）​之基本定義、數理架構與實務應用決策條件。

1. 基本定義與母體劃分： 將大小為 $N$ 的有限母體 $U$，依據已知輔助變數（Auxiliary variable）分割為 $H$ 個互斥（Mutually exclusive）且周延（Collectively exhaustive）的子母體，稱為「層」（Strata），記為 $U_1, U_2, \dots, U_H$。各層母體大小分別為 $N_1, N_2, \dots, N_H$，滿足 $\sum_{h=1}^H N_h = N$。
2. 抽樣程序： 在各層獨立採用機率抽樣（通常為無放回簡單隨機抽樣，SRSWOR），抽出大小為 $n_h$ 的樣本，總樣本數為 $n = \sum_{h=1}^H n_h$。
3. 母體平均數之不偏估計式與變異數： 母體平均數 $\bar{Y}$ 的分層估計式為： $\bar{y}_{st} = \sum_{h=1}^H W_h \bar{y}_h$ 其中 $W_h = \frac{N_h}{N}$ 為第 $h$ 層的母體權數，$\bar{y}_h = \frac{1}{n_h}\sum_{i=1}^{n_h} y_{hi}$ 為第 $h$ 層的樣本平均數。 若各層內皆採 SRSWOR，則 $\bar{y}_{st}$ 的抽樣變異數為： $V(\bar{y}_{st}) = \sum_{h=1}^H W_h^2 \left(1 - \frac{n_h}{N_h}\right) \frac{S_h^2}{n_h}$ 其中 $S_h^2 = \frac{1}{N_h - 1}\sum_{i=1}^{N_h}(Y_{hi} - \bar{Y}_h)^2$ 為第 $h$ 層的母體變異數。
4. 變異數分解原理： 母體總平方和可分解為「層內平方和」與「層間平方和」。分層抽樣藉由固定各層樣本配額，直接排除了「層間變異」對抽樣誤差的影響，使得抽樣變異僅由「層內變異」決定。

解題方法

本題為公職高普考與特考常見之申論題型，答題應分為兩大主軸：第一部分精確界定分層隨機抽樣的統計定義與運作架構；第二部分從「統計精度」、「次群體推論」、「調查行政與成本」及「母體特殊結構」四個構面，條理化闡述選用此法之先決條件與適用情境。

一、何謂「分層隨機抽樣」

1. 定義： 分層隨機抽樣是指在抽樣之前，先利用母體的輔助資訊，將母體所有個體依某種性質劃分為若干個互不相交且涵蓋全部母體的「層」，隨後在每一個層內彼此獨立地進行隨機抽樣（最常為簡單隨機抽樣）的抽樣設計方法。
2. 抽樣設計步驟：

• 建立分層架構：依據分層變數將母體 $N$ 劃分為 $H$ 個子母體，滿足 $U_i \cap U_j = \emptyset\ (\forall i \neq j)$ 且 $\bigcup_{h=1}^H U_h = U$。
• 決定樣本配置（Sample Allocation）：依據比例配置（Proportional allocation）、奈曼配置（Neyman allocation）或最適配置（Optimal allocation），將總樣本數 $n$ 分配至各層（即決定各層的 $n_h$）。
• 獨立抽取：在各層內獨立抽出 $n_h$ 個樣本單位。

二、選擇採用分層隨機抽樣之條件與狀況

調查設計者在面臨下列先決條件與情境時，會優先選擇採用分層隨機抽樣：

1. 先決條件：母體具備明確且可運用的輔助資訊（Auxiliary Information）

• 抽樣底冊（Sampling frame）上必須能明確辨識所有母體單位所屬的分層特徵（例如性別、年齡、行政區域、企業資本額或行業別）。若缺乏此輔助資訊，技術上將無法在抽樣前將個體歸入對應層。

2. 狀況一：追求更高的估計精準度（達到「層內同質、層間異質」）

• 當母體各個體間的目標變數值差異很大，但可依某輔助變數細分時，若該分類能使「各層內部的變異極小（層內同質），而不同層之間的平均值差異極大（層間異質）」，此時分層抽樣能消除層間變異，顯著降低估計式的變異數，使其精準度遠高於同等樣本規模下的簡單隨機抽樣（即 $V(\bar{y}_{st}) \le V(\bar{y}_{srs})$）。

3. 狀況二：需要對各子群體（Subpopulations / Domains）進行獨立推論

• 調查研究往往不僅需要估計全母體的總量或平均數，還需要分別報告各子群體（如各縣市、不同年齡層、特定少數族群）的估計結果。若採簡單隨機抽樣，少數群體可能抽樣不足甚至落空；分層抽樣可透過控制各層樣本數 $n_h$，確保每個子群體皆有足夠樣本達到指定的信心水準與精度。

核心觀念

本題考查不放回簡單隨機抽樣（SRSWOR）​下「母體比例（Proportion）之點估計、區間估計與樣本數判定」。涉及的統計原理與公式如下：

1. 母體比例之不偏估計量： 設母體大小為 $N$，抽出樣本數為 $n$。指標變數 $y_i \in \{0, 1\}$，支持者比例之點估計量為樣本比例： $\hat{p} = \bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i$ 其為母體支持度 $p$ 之不偏估計量，即 $E(\hat{p}) = p$。

2. 估計量變異數與標準誤（考慮有限母體校正，FPC）： 在有限母體 SRSWOR 下，$\hat{p}$ 的不偏變異數估計量為： $\widehat{\text{Var}}(\hat{p}) = \left(\frac{N-n}{N}\right) \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n-1} \quad \text{或近似為} \quad \left(1-\frac{n}{N}\right)\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}$ 其估計標準誤為 $\widehat{\text{SE}}(\hat{p}) = \sqrt{\widehat{\text{Var}}(\hat{p})}$。

3. 母體比例之信賴區間（Confidence Interval）： 當 $n\hat{p} \ge 5$ 且 $n(1-\hat{p}) \ge 5$ 時，由中央極限定理可採常態近似。母體比例 $p$ 之 $100(1-\alpha)\%$ 信賴區間為： $\hat{p} \pm z_{\alpha/2} \cdot \widehat{\text{SE}}(\hat{p})$ 其中 $95\%$ 信賴水準對應之臨界值為 $z_{0.025} = 1.96$。

4. 指定誤差界限下之必要樣本數判定： 設要求之最大容許誤差（誤差界限，Bound on the error of estimation）為 $B$。

• 忽略有限母體校正時之初估樣本數： $n_0 = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{B^2}$
• 納入有限母體校正（FPC）後之精確樣本數： $n^* = \frac{n_0}{1 + \frac{n_0}{N}} = \frac{N \cdot z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}{(N-1)B^2 + z_{\alpha/2}^2 \cdot p(1-p)}$
• 需加抽之樣本數為 $\Delta n = n^* - n$（若計算結果有小數點，為確保誤差不超標，一律無條件進位至整數）。

解題方法

（一）計算支持度之點估計與 $95\%$ 信賴區間

1. 支持度之點估計： 已知母體大小 $N = 23{,}000$，樣本數 $n = 500$，支持人數 $\sum_{i=1}^{500} y_i = 320$。 $\hat{p} = \frac{320}{500} = 0.64$ 即民眾對該旅遊活動之支持度估計為 $0.64$（或 $64\%$）。

2. 估計標準誤計算： 抽樣比率 $f = \frac{n}{N} = \frac{500}{23{,}000} \approx 0.0217$。 有限母體校正因子（FPC）為： $1 - f = 1 - \frac{500}{23{,}000} = \frac{22{,}500}{23{,}000} = \frac{45}{46} \approx 0.97826$ 代入不偏變異數估計式： $\widehat{\text{Var}}(\hat{p}) = \left(\frac{N-n}{N}\right) \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n-1} = \left(\frac{45}{46}\right) \times \frac{0.64 \times (1 - 0.64)}{499} = 0.97826 \times \frac{0.2304}{499} \approx 0.00045169$ 故估計標準誤為： $\widehat{\text{SE}}(\hat{p}) = \sqrt{0.00045169} \approx 0.02125$

3. $95\%$ 信賴區間估計： 在 $95\%$ 信賴水準下，$z_{0.025} = 1.96$。 抽樣誤差界限（Margin of Error）為： $E = z_{0.025} \cdot \widehat{\text{SE}}(\hat{p}) = 1.96 \times 0.02125 \approx 0.04165$ 因此，支持度 $p$ 之 $95\%$ 信賴區間為： $\hat{p} \pm E = 0.64 \pm 0.04165 = [0.59835, \, 0.68165]$

核心觀念

本題考查分層隨機抽樣的市平均數估計、信賴區間，以及考量調查成本的最佳配置。

令第 $i$ 層母體權數為 $W_i=N_i/N$。分層抽樣下，市平均數估計量與其變異數估計為：

括號中的 $1-n_i/N_i$ 是有限母體修正。95% 信賴區間以 $\bar y_{\mathrm{st}}\pm1.96\,SE(\bar y_{\mathrm{st}})$ 計算。

最佳配置法在各層調查成本不同時，令各層樣本數與 $N_i s_i/\sqrt{c_i}$ 成比例。下列標準差均以題目提供的樣本標準差代替母體標準差。

（一）明星市人均收入及 95% 信賴區間

各層權數為：

因此明星市人均收入估計為：

代入分層抽樣變異數公式：

故標準誤約為 $\sqrt{0.353}=0.594$ 千元，95% 信賴區間為：

（二）三個區域的人均收入是否有差異

各區域平均數的標準誤分別按該區域的有限母體修正計算：

據此，各區域人均收入的 95% 信賴區間約為：

核心觀念

本題是單階段集群抽樣：從 $N=400$ 個街道區域中以簡單隨機抽樣抽出 $n=10$ 群，並調查每一群內所有家庭。因為各群家戶數不同，要估計「每戶平均花費」，採用比率估計量：

其中 $x_i$ 是第 $i$ 群家戶數，$y_i$ 是該群總花費。題目另給全市家戶總數 $M=12{,}000$，所以全市總花費估計為 $M\hat R$。

比率估計的變異數以群為單位估計，使用殘差 $e_i=y_i-\hat R x_i$：

解題方法

（一）每戶平均花費與 95% 信賴區間

樣本家戶數與總花費分別為：

因此

平均花費估計為 每戶每半年 $178.5455$ 千元。

計算各群殘差 $e_i=y_i-\hat R x_i$，得到

抽樣誤差的有限母體修正為

所以

以 $t_{0.975,9}=2.262$ 建立 95% 信賴區間：

故平均花費的 95% 信賴區間約為