107 身心障礙特考四等 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

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核心觀念

本題考查平面靜定桁架（Plane Truss）之內力分析與強度限制，涉及以下核心觀念與公式：

1. 靜力平衡方程式： 平面結構整體平衡需滿足： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0$
2. 正三角形桁架之幾何特性： 每根元件長度均為 $L = 1\ \mathrm{m}$，結構內部各三角形皆為正三角形，內角均為 $60^\circ$。頂弦節點至底弦的垂直高度為： $h = 1 \times \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{m}$
3. 桁架內力求解法：

• 截面法（Method of Sections）：切斷欲求之目標桿件，取隔離體對特定節點取力矩平衡，可直接單步驟求出單一桿件內力。
• 節點法（Method of Joints）：對共點力系取 $\sum F_x = 0$ 與 $\sum F_y = 0$。

4. 容許承載力準則： 桿件所受軸力絕對值不得超過其最大容許承載力，即 $|F_{AC}| \le F_{\mathrm{allow}} = 5\ \mathrm{kN}$。

解題方法

本題依考卷原圖之標準配置：桁架為對稱之兩跨華倫桁架（Warren Truss），節點分別為底弦 $A$、$C$、$E$（$A$ 為鉸支承、$E$ 為滾支承）與頂弦 $B$、$D$；負載 $P$ 與 $2P$ 分別垂直向下作用於頂部節點 $B$ 與 $D$。

各節點之水平坐標（以 $A$ 為原點 $x=0$）：

• 節點 $A$：$x = 0\ \mathrm{m}$
• 節點 $B$：$x = 0.5\ \mathrm{m}$
• 節點 $C$：$x = 1.0\ \mathrm{m}$
• 節點 $D$：$x = 1.5\ \mathrm{m}$
• 節點 $E$：$x = 2.0\ \mathrm{m}$

步驟一：求支承反力

取整體桁架為自由體，設 $A$ 點垂直反力為 $A_y$（向上）、水平反力為 $A_x$（向右），$E$ 點垂直反力為 $E_y$（向上）。

1. 水平平衡： $\sum F_x = 0 \implies A_x = 0$
2. 對 $E$ 點取力矩平衡（取逆時針為正）： $\sum M_E = 0$ $A_y \times 2.0 - P \times (2.0 - 0.5) - 2P \times (2.0 - 1.5) = 0$ $2.0 A_y - 1.5 P - 1.0 P = 0$ $2.0 A_y = 2.5 P \implies A_y = \frac{5}{4} P = 1.25 P$

步驟二：求元件 $AC$ 之軸向內力 $F_{AC}$

採用截面法：作一通過元件 $BD$、$BC$ 與 $AC$ 之截面，取左側自由體分析。 截面上之未知內力分別為 $F_{BD}$、$F_{BC}$ 與 $F_{AC}$。因 $F_{BD}$ 與 $F_{BC}$ 作用線均通過頂部節點 $B$，對節點 $B$ 取力矩平衡可消去兩未知力： $\sum M_B = 0$

• 反力 $A_y$ 對 $B$ 點產生順時針力矩，力臂為 $0.5\ \mathrm{m}$。

核心觀念

本題旨在考驗結構靜力學中簡支樑受集中載重與外加力偶作用下的內力分析及圖解能力，核心理論依據如下：

1. 靜力平衡方程式： 平面平行力系之靜力平衡條件為 $\sum F_y = 0$ 與 $\sum M = 0$，用以求解邊界支承反力。
2. 內力符號慣例：

• 剪力 $V$：梁微元左側向上、右側向下之剪切作用定義為正剪力。
• 彎矩 $M$：梁微元呈現下側受拉、上側受壓（凹面朝上）之變形定義為正彎矩。

3. 載重、剪力與彎矩之微積分微分與積分關係： $\frac{dV}{dx} = -w(x)$ $\frac{dM}{dx} = V(x) \implies \Delta M = \int V(x) \, dx$ 在無分佈載重作用之區段（$w(x) = 0$），剪力為水平常數線；彎矩圖為一階斜直線，其斜率即為該區段之剪力值。兩斷面間之彎矩變化量等於該區間剪力圖之幾何面積。
4. 奇異載重之斷面跳躍規則：

• 作用於梁上的向下集中載重，會使剪力圖在該斷面沿長度方向發生大小相等的向下突降。
• 作用於梁上的順時針集中力偶（外加彎矩），不影響剪力分布，但在由左向右繪製彎矩圖時，會使彎矩值產生大小為該力偶值之向上突躍。

解題方法

題目欠缺原卷圖形中樑長跨度、支承形式與位置、三個負載之大小方向與作用點，以及外加彎矩之大小方向與作用點；以下依國家考試經典簡支樑題型給定合理之幾何與載重條件進行推導與繪圖作答。

1. 幾何條件與載重配置假設

• 簡支樑全長 $L = 8\text{ m}$，左端 $A$ 點（$x = 0\text{ m}$）為鉸支承，右端 $E$ 點（$x = 8\text{ m}$）為滾支承。
• 負載一（$B$ 點，$x = 2\text{ m}$）：向下集中載重 $P_1 = 12\text{ kN}$。
• 負載二與外加彎矩（$C$ 點，$x = 4\text{ m}$）：向下集中載重 $P_2 = 16\text{ kN}$，順時針集中彎矩 $M_0 = 24\text{ kN}\cdot\text{m}$。
• 負載三（$D$ 點，$x = 6\text{ m}$）：向下集中載重 $P_3 = 12\text{ kN}$。
• 梁劃分為四個等跨區段：$AB$、$BC$、$CD$、$DE$，各區段長度均為 $2\text{ m}$。

2. 計算支承反力

取整根樑為隔離體，設定 $A$ 點垂直反力為 $R_A$（向上），$E$ 點垂直反力為 $R_E$（向上）：

對 $A$ 點取力矩平衡（以逆時針為正）： $\sum M_A = 0 \implies R_E \times 8 - P_1 \times 2 - P_2 \times 4 - P_3 \times 6 - M_0 = 0$ 代入數值： $R_E \times 8 - (12 \times 2) - (16 \times 4) - (12 \times 6) - 24 = 0$ $R_E \times 8 - (24 + 64 + 72 + 24) = 0$ $R_E \times 8 = 184 \implies R_E = 23\text{ kN} \quad (\uparrow)$

對垂直方向取力平衡（以向上為正）： $\sum F_y = 0 \implies R_A + R_E - P_1 - P_2 - P_3 = 0$ $R_A + 23 - 12 - 16 - 12 = 0 \implies R_A = 17\text{ kN} \quad (\uparrow)$

3. 剪力分布（SFD）計算與繪製

利用切面法及各載重點的突變規律，分段推導剪力值：

• $x = 0^+$ 至 $x = 2^-\text{ m}$（$AB$ 段）： $V(x) = R_A = +17\text{ kN}$
• $x = 2\text{ m}$（$B$ 點）： 通過向下集中力 $P_1 = 12\text{ kN}$，剪力向下突降： $V(2^+) = 17 - 12 = +5\text{ kN}$
• $x = 2^+$ 至 $x = 4^-\text{ m}$（$BC$ 段）： 無分佈載重，剪力維持定值： $V(x) = +5\text{ kN}$
• $x = 4\text{ m}$（$C$ 點）： 通過向下集中力 $P_2 = 16\text{ kN}$（外加彎矩不影響剪力），剪力向下突降： $V(4^+) = 5 - 16 = -11\text{ kN}$
• $x = 4^+$ 至 $x = 6^-\text{ m}$（$CD$ 段）： $V(x) = -11\text{ kN}$
• $x = 6\text{ m}$（$D$ 點）： 通過向下集中力 $P_3 = 12\text{ kN}$，剪力向下突降： $V(6^+) = -11 - 12 = -23\text{ kN}$
• $x = 6^+$ 至 $x = 8^-\text{ m}$（$DE$ 段）： $V(x) = -23\text{ kN}$
• $x = 8\text{ m}$（$E$ 點）： 受向上反力 $R_E = 23\text{ kN}$ 作用，剪力向上突升： $V(8^+) = -23 + 23 = 0\text{ kN}$（精確閉合）

剪力分布圖（SFD）：

核心觀念

本題結合了「剛體靜力平衡」與「材料力學軸向構件雙重容許條件（強度與剛度限制）」之綜合分析，涉及的重要公式與定義如下：

1. 靜力平衡方程式： 物體維持靜力平衡時，合力矩必為零。取固定支承點為力矩中心可避開未知支承反力： $\sum M = 0$
2. 軸向受力構件應力限制（強度條件）： 鋼索斷面之正應力 $\sigma$ 不得超過最大容許應力 $\sigma_{\text{allow}}$： $\sigma = \frac{T}{A} \le \sigma_{\text{allow}} \implies T_{\sigma} = \sigma_{\text{allow}} \cdot A$
3. 軸向受力構件伸長量限制（剛度條件）： 由虎克定律（Hooke's Law），鋼索之彈性伸長量 $\delta$ 不得超過容許變形量 $\delta_{\text{allow}}$： $\delta = \frac{T L}{A E} \le \delta_{\text{allow}} \implies T_{\delta} = \frac{\delta_{\text{allow}} A E}{L}$
4. 設計控制原則： 鋼索所能承受的最大容許拉力 $T_{\text{allow}}$ 必須同時滿足應力與伸長量之要求，故取兩者之較小值（交集）： $T_{\text{allow}} = \min(T_{\sigma},\, T_{\delta})$

解題方法

由於本題題文未附幾何尺寸數值，缺物體之支承條件、負載 $P$ 與 $2P$ 之作用力臂及鋼索 $BC$ 之長度與傾角，依公職考試工程力學之典型標準配置進行合理假設作答：假設該物體為長度 $4\ \mathrm{m}$ 之水平剛性桿 $AB$，左端 $A$ 為鉸支承，負載 $P$ 垂直向下作用於距 $A$ 點 $2\ \mathrm{m}$ 處，負載 $2P$ 垂直向下作用於端點 $B$（距 $A$ 點 $4\ \mathrm{m}$ 處），鋼索 $BC$ 連接桿端 $B$ 並錨定於 $A$ 點正上方 $3\ \mathrm{m}$ 之牆面固定點 $C$（鋼索長度 $L_{BC} = \sqrt{4^2+3^2} = 5\ \mathrm{m}$，與水平桿夾角 $\theta$ 滿足 $\sin\theta = 3/5 = 0.6$）。

步驟一：檢核鋼索 $BC$ 的最大容許拉力 $T_{\text{allow}}$

1. 基本參數換算：

• 截面積 $A = 2\ \mathrm{cm}^2 = 2 \times 10^{-4}\ \mathrm{m}^2$
• 楊氏係數 $E = 200 \times 10^9\ \mathrm{N/m^2}$
• 最大容許應力 $\sigma_{\text{allow}} = 190 \times 10^6\ \mathrm{N/m^2}$
• 最大容許伸長量 $\delta_{\text{allow}} = 6 \times 10^{-3}\ \mathrm{m}$
• 鋼索長度 $L_{BC} = 5\ \mathrm{m}$

2. 依應力限制計算容許拉力 $T_{\sigma}$： $T_{\sigma} = \sigma_{\text{allow}} \cdot A = (190 \times 10^6\ \mathrm{N/m^2}) \times (2 \times 10^{-4}\ \mathrm{m^2}) = 38{,}000\ \mathrm{N} = 38\ \mathrm{kN}$

3. 依伸長量限制計算容許拉力 $T_{\delta}$：