107 身心障礙特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

1. 剛體構架運動學（Rigid Body Kinematics）： 當桿件之軸向剛度與撓曲剛度均為無窮大（$EA = \infty,\ EI = \infty$）時，桿件本身不發生軸向伸縮與彎曲變形，視為理想剛體。兩根剛性桿件於頂端 $e$ 點以鉸接相連，基底分別由鉸支承與滾支承支承時，在未設置彈簧前為具備 1 個自由度（$1\ \mathrm{DOF}$）之運動機構。設置彈簧後，彈簧提供抗側移彈性恢復力，使結構在受外力作用時能達成靜力與幾何變位平衡。
2. 靜力平衡方程式（Equations of Static Equilibrium）： 整體結構與各獨立桿件皆須滿足平面靜力平衡條件： $\sum F_x = 0, \quad \sum F_y = 0, \quad \sum M = 0$
3. 虛功原理（Principle of Virtual Work）： 對於剛體機構系統，外力所作之虛功等於系統內部彈性元件（彈簧）所吸收之虛應變能： $\delta W_e = \delta U \implies F \cdot \delta u_e = F_s \cdot \delta(\Delta L_s)$
4. 彈簧本構定律（Hooke's Law）： 彈簧所受之軸力 $F_s$ 與其伸長或縮短變形量 $\Delta L_s$ 成正比： $F_s = k_s \cdot \Delta L_s$

解題方法

本題結構為典型對稱人字形剛性構架。因文字層未附幾何尺寸，依公務人員考試命題慣例，設 $a$ 點為固定鉸支承，$b$ 點為水平滾支承；基底跨度為 $L$（$a$ 至對稱軸為 $L/2$，$b$ 至對稱軸為 $L/2$），頂點 $e$ 距地高度為 $H$（標準對稱構架桿件與水平夾角為 $45^\circ$，即 $H = L/2$），連接 $c$、$d$ 兩點之彈簧水平配置於兩桿中點處（高度為 $H/2$）。

(一) 求 $a$、$b$ 兩點處的支承反力

以整體結構為自由體（彈簧為系統內力，在整體外力平衡分析中自動相互抵銷）： 設 $a$ 點反力為水平向右 $A_x$、垂直向上 $A_y$；$b$ 點為水平滾支承，反力僅有垂直向上 $B_y$（$B_x = 0$）。

1. 水平方向力平衡： $\sum F_x = 0 \implies A_x + F = 0 \implies A_x = -F = -1{,}000\ \mathrm{kgf}$ 負號表示方向與假設相反，即 $A_x = 1{,}000\ \mathrm{kgf}$（$\leftarrow$，向左）。

2. 對 $a$ 點取力矩平衡： 以逆時針方向為正： $\sum M_a = 0 \implies B_y \cdot L - F \cdot H = 0 \implies B_y = F \cdot \frac{H}{L}$ 代入 $F = 1{,}000\ \mathrm{kgf}$ 與 $H/L = 1/2$： $B_y = 1{,}000 \times \frac{1}{2} = 500\ \mathrm{kgf} \quad (\uparrow\text{，向上})$

3. 垂直方向力平衡： $\sum F_y = 0 \implies A_y + B_y = 0 \implies A_y = -B_y = -500\ \mathrm{kgf}$ 負號表示方向向下，即 $A_y = 500\ \mathrm{kgf} \quad (\downarrow\text{，向下})$。

(二) 求彈簧所受的力量

結構受向右之外力 $F$ 作用，$e$ 點及各點產生向右側移。 剛桿 $ae$ 繞固定鉸支承 $a(0, 0)$ 旋轉微小角度 $\delta \theta_1$，頂點 $e(L/2, H)$ 之虛位移為： $\delta u_e = -H \, \delta \theta_1, \quad \delta v_e = \frac{L}{2} \, \delta \theta_1$

滾支承 $b(L, 0)$ 受限於地表水平滑動，其垂直變位 $\delta v_b = 0$。由剛桿 $be$ 長度不變之幾何約束條件： $(x_e - x_b)(\delta u_e - \delta u_b) + (y_e - y_b)(\delta v_e - \delta v_b) = 0$

核心觀念

本題屬於靜定平面剛架（Statically Determinate Plane Frame）之平衡分析與桿件內力圖繪製，涵蓋以下核心觀念與力學原理：

1. 斜面輥支承（Roller on an Inclined Plane）的反力方向： 輥支承僅能提供垂直於接觸斜面的法向反力（Normal Reaction）。若斜面坡度為垂直比水平 $V:H = 3:4$（傾斜角 $\theta = \arctan(3/4)$），則法向反力與水平線的夾角為 $90^\circ - \theta$，其垂直分量與水平分量之比例反轉為 $4:3$。即若斜面為向右上傾斜（左低右高），法向反力朝左上方，其水平與垂直分量比為： $R_{cx} = R_c \cdot \frac{3}{5},\quad R_{cy} = R_c \cdot \frac{4}{5}$

2. 平面靜態平衡方程式： 全結構為二維靜定結構，由三組獨立平衡方程式求解支承反力： $\sum F_x = 0,\quad \sum F_y = 0,\quad \sum M = 0$

3. 桿件內力微分關係與剪力圖（SFD）、彎矩圖（BMD）繪製： 載重強度 $w(x)$、剪力 $V(x)$ 與彎矩 $M(x)$ 滿足微分與積分關係： $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -w(x),\quad \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = V(x)$

• 剪力為負載重強度之一次積分，等佈載重作用下剪力圖為斜直線。
• 彎矩為剪力之一次積分，等佈載重作用下彎矩圖為二次拋物線。
• 當剪力 $V(x) = 0$ 時，對應區間彎矩之極值（$M_{\max}$）。
• 正負號約定（土木工程慣用）：剪力以「左上右下為正」；彎矩以「梁下側受拉（Sagging）為正，梁上側受拉（Hogging）為負」。

解題方法

題況幾何尺寸說明

依考卷原卷圖形：

• 垂直桿件 $ab$ 高度 $h = 3\ \mathrm{m} = 300\ \mathrm{cm}$。
• 水平桿件 $bc$ 長度 $L = 4\ \mathrm{m} = 400\ \mathrm{cm}$。
• $a$ 點為鉸支承（Pin Support），提供水平反力 $A_x$ 與垂直反力 $A_y$。
• $b$ 點為剛接點（Rigid Joint）。
• $c$ 點為輥支承（Roller Support），置於左低右高、坡度 $V:H=3:4$ 之斜面上。
• $bc$ 桿件承受垂直向下均佈載重 $w = 10\ \mathrm{kgf/cm}$。

(一) 求 $a$、$c$ 兩點處之支承反力

1. 計算外載重合力： 作用於 $bc$ 桿件上方之均佈載重合力 $W$： $W = w \cdot L = 10\ \mathrm{kgf/cm} \times 400\ \mathrm{cm} = 4000\ \mathrm{kgf}$ 合力作用點位於 $bc$ 桿件中點，距 $b$ 點 $200\ \mathrm{cm}$，距 $c$ 點 $200\ \mathrm{cm}$。

2. $c$ 點支承反力分量化： 斜面傾角坡度為 $V:H = 3:4$，設接觸面反力為 $R_c$（指向左上方 $\nwarrow$）： $R_{cx} = \frac{3}{5} R_c = 0.6 R_c\ (\leftarrow)$ $R_{cy} = \frac{4}{5} R_c = 0.8 R_c\ (\uparrow)$

3. 對 $a$ 點取力矩平衡求 $R_c$： 取對 $a$ 點之合力矩為零（以逆時針方向為正）： $\sum M_a = 0 \implies R_{cy} \cdot (400) + R_{cx} \cdot (300) - W \cdot (200) = 0$ 代入分量： $(0.8 R_c) \cdot 400 + (0.6 R_c) \cdot 300 - 4000 \cdot 200 = 0$ $320 R_c + 180 R_c = 800000$ $500 R_c = 800000 \implies R_c = 1600\ \mathrm{kgf}$

因此 $c$ 點反力及其分量為：

• $R_c = 1600\ \mathrm{kgf}$（與水平夾角向左上 $\theta = \arctan(4/3) \approx 53.13^\circ$）
• $R_{cx} = 1600 \times 0.6 = 960\ \mathrm{kgf}\ (\leftarrow)$
• $R_{cy} = 1600 \times 0.8 = 1280\ \mathrm{kgf}\ (\uparrow)$

4. 由靜態平衡求 $a$ 點反力：

• 水平合力平衡： $\sum F_x = 0 \implies A_x - R_{cx} = 0 \implies A_x = 960\ \mathrm{kgf}\ (\rightarrow)$
• 垂直合力平衡： $\sum F_y = 0 \implies A_y + R_{cy} - W = 0 \implies A_y + 1280 - 4000 = 0 \implies A_y = 2720\ \mathrm{kgf}\ (\uparrow)$

(二) 繪製 $bc$ 桿件之剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD）

1. 節點 $b$ 傳遞至 $bc$ 桿之端部內力分析： 考慮柱構件 $ab$（高 $300\ \mathrm{cm}$）：

• 柱底受剪力 $A_x = 960\ \mathrm{kgf}\ (\rightarrow)$，柱身無橫向載重，因此傳至剛接點 $b$ 產生之彎矩為： $M_b = A_x \cdot h = 960\ \mathrm{kgf} \times 300\ \mathrm{cm} = 288000\ \mathrm{kgf\cdot cm} = 2880\ \mathrm{kgf\cdot m}$
• 依剛結點平衡，梁端 $b$ 受反向彎矩作用，使梁頂受拉（負彎矩）： $M(x=0) = -288000\ \mathrm{kgf\cdot cm}$
• 柱傳入之向上剪力傳遞值： $V(x=0) = A_y = 2720\ \mathrm{kgf}$

2. 剪力函數 $V(x)$ 與關鍵點值（設 $x$ 為距 $b$ 點之距離，$0 \le x \le 400\ \mathrm{cm}$）： $V(x) = V(0) - w \cdot x = 2720 - 10 x\quad (\mathrm{kgf})$

• $x = 0\ \mathrm{cm}$（$b$ 點）：$V(0) = +2720\ \mathrm{kgf}$
• 剪力為零點（$V=0$）： $2720 - 10 x_0 = 0 \implies x_0 = 272\ \mathrm{cm}$
• $x = 400\ \mathrm{cm}$（$c$ 點內側）：$V(400) = 2720 - 10(400) = -1280\ \mathrm{kgf}$

核心觀念

本題旨在評量鋼筋混凝土（RC）單筋矩形梁在極限設計法（強度設計法）下的受彎曲設計能力。依據命題當年（民國 107 年）適用之「混凝土工程設計規範與解說（土木 401-100）」規定（現行規範已配合內政部國土署最新版本修正更新，但極限狀態與等價應力塊原理相同，解題仍以命題當年規範為準），解題依循以下核心觀念與公式：

1. 簡支梁外力設計彎矩： 簡支梁承受等布設計載重 $w_u$ 時，跨度中央處產生最大正彎矩： $M_u = \frac{w_u L^2}{8}$
2. 單筋矩形梁之極限彎矩強度（Whitney 等價矩形應力塊）：

• 當 $f'_c \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，應力塊深度因數 $\beta_1 = 0.85$。
• 混凝土等價受壓合力 $C = 0.85 f'_c b a$，拉力筋合力 $T = A_s f_y$（鋼筋降伏情況下）。
• 設計彎矩強度需滿足： $M_u \le \phi M_n = \phi \left[ 0.85 f'_c b a \left( d - \frac{a}{2} \right) \right]$

3. 拉力控制斷面與強度折減因數 $\phi$：

• 極限壓應變 $\epsilon_{cu} = 0.003$；中性軸深度 $c = a / \beta_1$。
• 最外層受拉鋼筋之淨拉應變： $\epsilon_t = \frac{d_t - c}{c} \times 0.003$
• 當 $\epsilon_t \ge 0.005$ 時，斷面屬於拉力控制斷面，強度折減因數 $\phi = 0.90$。

4. 最小鋼筋量規定： 為避免梁於開裂瞬間發生脆性破壞，規範要求斷面配置之受拉鋼筋量不得小於： $A_{s,\min} = \max\left( \frac{0.8\sqrt{f'_c}}{f_y} b d,\; \frac{14}{f_y} b d \right)$

解題方法

題目資訊補足說明： 原題文字敘述未包含梁跨度與斷面尺寸，依原考卷附圖之實際標示，簡支梁跨度為 $L = 6.0\ \mathrm{m}$，梁矩形斷面寬度 $b = 30\ \mathrm{cm}$，受拉鋼筋有效深度 $d = 50\ \mathrm{cm}$（全深 $h = 60\ \mathrm{cm}$）。

步驟一：計算跨度中央處之設計彎矩 $M_u$

$w_u = 6.0\ \mathrm{tf/m} = 6{,}000\ \mathrm{kgf/m}$ $M_u = \frac{w_u L^2}{8} = \frac{6.0 \times 6.0^2}{8} = 27.0\ \mathrm{tf\cdot m} = 2.70 \times 10^6\ \mathrm{kgf\cdot cm}$

步驟二：求解等價矩形應力塊深度 $a$

先假設受拉鋼筋降伏（$f_s = f_y$）且斷面為拉力控制（$\phi = 0.90$），由設計需求強度 $M_u = \phi M_n$： $M_u = \phi \cdot 0.85 f'_c b a \left(d - \frac{a}{2}\right)$ 代入已知參數： $2.70 \times 10^6 = 0.90 \times 0.85 \times 280 \times 30 \times a \left(50 - \frac{a}{2}\right)$ $2.70 \times 10^6 = 6{,}426 a \left(50 - \frac{a}{2}\right) = 321{,}300 a - 3{,}213 a^2$ 整理得一元二次方程式： $a^2 - 100 a + 840.336 = 0$ 解二次方程式（取合理正根 $a < d$）： $a = \frac{100 - \sqrt{100^2 - 4 \times 840.336}}{2} = \frac{100 - \sqrt{6{,}638.656}}{2} = \frac{100 - 81.478}{2} = 9.261\ \mathrm{cm}$

步驟三：計算所需受拉鋼筋量 $A_s$

由水平力平衡條件 $T = C$： $A_s f_y = 0.85 f'_c b a$

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土（RC）簡支梁在均佈載重作用下之「剪力強度分析」與「容許最大設計載重反求」。解題涉及的核心法規、定義與公式如下：

1. 法規依據： 依據中國土木水利工程學會編著之「混凝土工程設計規範與解說（土木 401-100）」（以命題當年民國 107 年法規為準；現行法已修正為「結構混凝土設計規範」，但剪力強度基本設計公式與原理相同）。
2. 剪力強度折減係數： 依規範規定，剪力強度折減係數為 $\phi = 0.75$。
3. 混凝土剪力標稱強度（簡化公式）： $V_c = 0.53 \sqrt{f'_c} b_w d$ （式中 $f'_c$ 單位為 $\mathrm{kgf/cm^2}$，$b_w$ 及 $d$ 單位為 $\mathrm{cm}$，$V_c$ 單位為 $\mathrm{kgf}$）
4. 垂直腹筋剪力標稱強度： $V_s = \frac{A_v f_y d}{s}$ 其中 $A_v$ 為同一斷面上剪力筋的有效截面積（雙肢箍筋 $A_v = 2 A_b$），$s$ 為腹筋間距。
5. 設計剪力強度： $\phi V_n = \phi (V_c + V_s)$
6. 剪力臨界斷面位置規定： 當支承反力對構件端部產生壓應力，且支承面與臨界截面之間無集中載重時，距支承面 $d$ 處以內各斷面之設計剪力需求得取為距支承面 $d$ 處之剪力值 $V_u(d)$。本題圖示為線支承（未給支承柱寬），故臨界斷面取自支承中心起算 $x = d$ 處。
7. 腹筋間距變換處檢核： 當梁內腹筋間距沿跨度方向有變化時，除梁端臨界斷面外，亦必須檢核腹筋間距放寬之交界斷面處之剪力容量是否滿足需求。

解題方法

步驟一：彙整幾何與材料參數

由試卷原圖標示：

• 簡支梁跨度：$L = 200 + 400 + 200 = 800\ \mathrm{cm} = 8.0\ \mathrm{m}$
• 梁斷面尺寸：
• 梁寬 $b_w = 40\ \mathrm{cm}$
• 有效深度 $d = 63\ \mathrm{cm}$（受拉鋼筋形心至頂層壓應變極限纖維之距離）
• 梁總深 $h = 63 + 7 = 70\ \mathrm{cm}$
• 材料強度：
• 混凝土抗壓強度 $f'_c = 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 腹筋降伏強度 $f_y = 2{,}800\ \mathrm{kgf/cm^2}$
• 腹筋配置：
• 採用 $\#4$ 閉合／U 型垂直箍筋，斷面為雙肢抗剪，剪力鋼筋面積： $A_v = 2 A_b = 2 \times 1.27 = 2.54\ \mathrm{cm^2}$
• 端部區間（$0 \le x \le 200\ \mathrm{cm}$ 及 $600 \le x \le 800\ \mathrm{cm}$）：間距 $s_1 = 15\ \mathrm{cm}$
• 中央區間（$200\ \mathrm{cm} \le x \le 600\ \mathrm{cm}$）：間距 $s_2 = 25\ \mathrm{cm}$

步驟二：計算混凝土提供之剪力標稱強度 $V_c$

$V_c = 0.53 \sqrt{f'_c} b_w d = 0.53 \times \sqrt{280} \times 40 \times 63$ $\sqrt{280} \approx 16.733\ \mathrm{kgf/cm^2}$ $V_c = 0.53 \times 16.733 \times 40 \times 63 = 22{,}348.9\ \mathrm{kgf} \approx 22.349\ \mathrm{tf}$

步驟三：計算各區間腹筋剪力強度 $V_s$ 與設計剪力強度 $\phi V_n$

1. 梁端區間（$s_1 = 15\ \mathrm{cm}$）： $V_{s1} = \frac{A_v f_y d}{s_1} = \frac{2.54 \times 2{,}800 \times 63}{15} = 29{,}870.4\ \mathrm{kgf}$ 設計剪力強度： $\phi V_{n1} = \phi (V_c + V_{s1}) = 0.75 \times (22{,}348.9 + 29{,}870.4) = 0.75 \times 52{,}219.3 = 39{,}164.5\ \mathrm{kgf} \approx 39.164\ \mathrm{tf}$

2. 中央區間（$s_2 = 25\ \mathrm{cm}$）： $V_{s2} = \frac{A_v f_y d}{s_2} = \frac{2.54 \times 2{,}800 \times 63}{25} = 17{,}922.2\ \mathrm{kgf}$ 設計剪力強度： $\phi V_{n2} = \phi (V_c + V_{s2}) = 0.75 \times (22{,}348.9 + 17{,}922.2) = 0.75 \times 40{,}271.1 = 30{,}203.3\ \mathrm{kgf} \approx 30.203\ \mathrm{tf}$

3. 規範限值檢核：

• 腹筋最大剪力上限：$V_s \le 2.12 \sqrt{f'_c} b_w d = 4 V_c = 4 \times 22{,}348.9 = 89{,}395.6\ \mathrm{kgf}$，兩區間之 $V_s$ 皆小於此上限，斷面尺寸合格。
• 最大間距限制：因 $V_s \le 1.06 \sqrt{f'_c} b_w d = 2 V_c = 44{,}697.8\ \mathrm{kgf}$，規範規定 $s_{\max} \le \min(d/2, 60\ \mathrm{cm}) = \min(31.5, 60) = 31.5\ \mathrm{cm}$。