108 身心障礙特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

此題考二桿桁架的節點平衡與虛功法。桿件只承受軸力，節點位移可由單位荷重法求得：

其中 $N_i$ 為實際荷重作用下第 $i$ 桿的軸力，$n_i$ 為假設單位荷重作用下的軸力，$L_i$ 為桿長。拉力取正、壓力取負。

解題方法

由圖可知，$AB$ 為水平桿，長度 $5\,\mathrm{m}$；$BC$ 的水平、垂直尺寸分別為 $3\,\mathrm{m}$、$4\,\mathrm{m}$，故其長度也是 $5\,\mathrm{m}$。$BC$ 的方向餘弦為 $(3/5,\,4/5)$。

先求實際荷重 $12\,\mathrm{kN}$ 向下時的桿力。對節點 $B$ 列平衡式：

因此，$BC$ 受壓，$AB$ 受拉。

求 $B$ 點垂直位移：​在 $B$ 點施加向下單位力，求得虛擬桿力：

核心觀念

本題考剛架的靜力平衡、內鉸的特性，以及由桿件端部作用力繪製剪力圖與彎矩圖。內鉸可傳遞水平力與垂直力，但不傳遞彎矩，因此 $M_C=0$。$B$、$D$ 為剛接處，桿件端部可有彎矩。

以下採用剪力「左截面向上為正」、彎矩「正彎矩為下凹」的號誌。

解題方法

先以 $C$ 點內鉸將剛架分成左右兩部分，求支承反力與鉸力。令左半部受右半部作用的鉸力為 $(C_x,C_y)$，向右、向上為正；$A$、$E$ 為鉸支承。

對左半部取 $A$ 點矩，並對右半部取 $E$ 點矩：

因此

再由水平、垂直力平衡，得支承反力：

接著利用兩側柱件的平衡，求柱件對梁 $BCD$ 的端部作用。因 $A$、$E$ 為鉸支承，柱件在支承端彎矩為零。由柱件平衡可得梁端作用如下：

• 在 $B$：柱件對梁的垂直力為 $18\ \mathrm{kN}$ 向上，端偶矩為 $18\ \mathrm{kN\cdot m}$ 逆時針。
• 在 $D$：柱件對梁的垂直力為 $6\ \mathrm{kN}$ 向上，端偶矩為 $18\ \mathrm{kN\cdot m}$ 順時針。

對 $BC$ 段，$C$ 點的鉸力及集中力合成後，作用於梁段的垂直力為 $6-24=-18\ \mathrm{kN}$。因此 $BC$ 段剪力為常數，彎矩由 $B$ 端的 $-18\ \mathrm{kN\cdot m}$ 線性變化至鉸點 $C$ 的零。

核心觀念

本題涵蓋「鋼筋混凝土學」中之材料力學性質，主要測驗以下三大核心主題：

1. 混凝土潛變（Creep）之定義與機制：材料在長期持續載重（Sustained Load）作用下，應變隨時間持續增加之非彈性特徵，以及影響潛變之微觀機制。
2. 混凝土強度對潛變係數（Creep Coefficient）之影響：水膠比、微觀孔隙結構與水化凝膠緻密程度如何改變材料的黏彈性變形能力。
3. 劈裂抗拉強度試驗（Splitting Tensile Strength Test, ASTM C496 / CNS 1232）：利用彈性力學「巴西試驗（Brazilian Test）」理論，於圓柱試體徑向施壓產生均勻橫向拉應力，以間接測定混凝土之抗拉強度及其破壞模式。

解題方法

(一) 潛變（Creep）之定義與物理機制（10 分）

1. 定義： 混凝土在承受長期持續應力（Sustained Stress）​作用下，即便外力未曾增加，其變形（應變）隨時間持續增長的現象，稱為「潛變」。

• 若將總應變 $\epsilon(t)$ 扣除初始施載之瞬時彈性應變 $\epsilon_e$ 及乾縮等非應力變形，隨時間增長之應變即為潛變應變 $\epsilon_{cr}$： $\epsilon_{total}(t) = \epsilon_e + \epsilon_{cr}(t) + \epsilon_{sh}(t)$

2. 微觀與巨觀機制：

• 水化膠體水份遷移：受壓水泥漿體中，C-S-H 凝膠層間的水分子（吸附水／膠體水）在持續壓力下逐漸排出至微孔隙或向外蒸發，造成膠體結構壓密（微蠕變）。
• 微裂縫開展與晶格重排：骨材與水泥砂漿界面（過渡區 ITZ）之微細裂縫在持續應力下產生局部剪切滑移與應力重分配。
• 時間發展特徵：潛變速率在施載初期（數天至數月內）最快，約 1 年內可完成最終潛變量的 75%～80%，之後增長速率顯著趨緩，漸進於一漸近極限值。

3. 工程影響： 潛變會導致鋼筋混凝土梁、板之長期撓度顯著增加（一般約為瞬時撓度的 2～3 倍），並使受壓鋼筋產生應力轉移（鋼筋應力上升、混凝土壓應力降低）；在預力混凝土中則會引發預力損失（Loss of Prestress）。

(二) 高強度混凝土與低強度混凝土之潛變係數比較（5 分）

高強度混凝土的潛變係數小於低強度混凝土的潛變係數。

學理依據與原因剖析：

1. 潛變係數定義： 潛變係數（Creep Coefficient, $C_c$ 或 $\nu_t$）為特定時間之潛變應變與初始瞬時彈性應變的比值： $C_c = \frac{\epsilon_{cr}}{\epsilon_e}$
2. 微觀結構緻密： 高強度混凝土（HSC）採用極低水膠比（$w/b$ 常低於 0.35），水化生成物緻密，硬化後自由水分與毛細孔隙極少，可供受壓遷移之層間水大幅減少。
3. 彈性模數與骨材拘束度高： 高強度混凝土之水泥基質剛度（彈性模數 $E_c$）較高，骨材與漿體之界面過渡區（ITZ）黏結緊密，抵抗微裂縫延伸之能力更強。
4. 結論： 高強度混凝土在相同相對應力水準（$\sigma / f'_c$）下，所產生之潛變應變增量遠小於低強度混凝土，其「潛變應變／彈性應變」之比值（潛變係數）亦顯著較小。

(三) 圓柱體劈裂抗拉強度試驗方式與破壞位置說明（10 分）

1. 試驗標準與方式（依據 CNS 1232 / ASTM C496）：

• 試體尺寸：採用標準混凝土圓柱試體（直徑 $D = 15\text{ cm}$，長度 $L = 30\text{ cm}$）。
• 放置方式：將圓柱試體水平橫放於壓力試驗機之上下承壓板之間。

核心觀念

本題評量鋼筋混凝土（RC）單筋矩形斷面在極限狀態下的抗彎強度與應變控制設計。涉及之核心觀念與法規公式如下（以命題當年民國 108 年適用之《混凝土結構設計規範》為準；現行法規後續雖有局部編修，但解題仍依命題當時之規範規定辦理）：

1. 等值矩形應力塊（Whitney 應力塊）：

• 混凝土壓應力分佈簡化為寬度 $b$、深度 $a$、平均應力強度 $0.85f'_c$ 的等值應力塊。
• 應力塊深度與中性軸深度 $c$ 之關係為 $a = \beta_1 c$。
• 當 $f'_c \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 時，係數 $\beta_1 = 0.85$。

2. 軸力平衡與鋼筋降伏檢核：

• 梁純受彎時，混凝土壓應力合力等於鋼筋拉應力合力：$C_c = T \implies 0.85f'_c a b = A_s f_s$。
• 先行假設拉力鋼筋降伏（$f_s = f_y$），再透過應變相容性檢核。

3. 最外層拉力鋼筋之淨拉應變 $\epsilon_t$ 與斷面控制分類：

• 由平截面保持平面的應變線性分佈假設，極限受壓邊緣混凝土應變取 $\epsilon_{cu} = 0.003$： $\epsilon_t = \epsilon_{cu} \left(\frac{d_t - c}{c}\right)$
• 單排鋼筋配置下，最外層鋼筋有效深度 $d_t = d$。
• 拉力控制斷面：$\epsilon_t \ge 0.005$ 時，強度折減係數 $\phi = 0.90$。
• 壓力控制斷面：$\epsilon_t \le \epsilon_y$ 時，$\phi = 0.65$（非螺箍構件）。
• 過渡斷面：$\epsilon_y < \epsilon_t < 0.005$ 時，$\phi$ 採線性內插： $\phi = 0.65 + (\epsilon_t - \epsilon_y)\frac{0.25}{0.005 - \epsilon_y}$ 其中鋼筋降伏應變 $\epsilon_y = \frac{f_y}{E_s}$（規範規定鋼筋彈性模數 $E_s = 2.04 \times 10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$）。

4. 梁構材延展性限制：

• 規範規定受彎構材之極限狀態淨拉應變不得小於 $0.004$（即 $\epsilon_t \ge 0.004$），以確保構材具備足夠的破壞預警能力。

5. 設計彎矩強度： $\phi M_n = \phi \left[ A_s f_y \left(d - \frac{a}{2}\right) \right]$

解題方法

步驟 1：計算基本幾何與材料參數

• 鋼筋總截面積： $A_s = 3 \times 8.14 = 24.42\ \mathrm{cm^2}$
• 應力塊深度係數： 因 $f'_c = 210\ \mathrm{kgf/cm^2} \le 280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，故 $\beta_1 = 0.85$。
• 鋼筋降伏應變： $\epsilon_y = \frac{f_y}{E_s} = \frac{4200}{2.04 \times 10^6} \approx 0.00206$

步驟 2：由斷面平衡求應力塊深度 $a$ 與中性軸深度 $c$

假設拉力鋼筋已達降伏（$f_s = f_y$）： $C_c = T \implies 0.85 f'_c a b = A_s f_y$ $a = \frac{A_s f_y}{0.85 f'_c b} = \frac{24.42 \times 4200}{0.85 \times 210 \times 30} = \frac{102564}{5355} \approx 19.15\ \mathrm{cm}$

中性軸深度 $c$： $c = \frac{a}{\beta_1} = \frac{19.153}{0.85} \approx 22.53\ \mathrm{cm}$

步驟 3：計算淨拉應變 $\epsilon_t$ 並檢核假設與規範要求

本題為單排筋，故 $d_t = d = 53\ \mathrm{cm}$：