108 身心障礙特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題主要測驗測量學中「誤差傳播定律」與「量距精度」的基礎計算，涵蓋以下核心概念：

1. 獨立觀測量之和的誤差傳播定律： 設總量 $L$ 為各獨立觀測量 $L_1, L_2, \dots, L_n$ 之和，即 $L = L_1 + L_2 + \dots + L_n$。 若各分段之中誤差分別為 $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_n$，且各觀測量彼此獨立（無相關性），則總長之中誤差 $\sigma_L$ 為： $\sigma_L = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \dots + \sigma_n^2}$

2. 量距精度（相對精度，Relative Precision）之定義： 量距精度是以「中誤差」與「觀測距離」之比值表示，慣例上化簡為分子為 $1$ 的分數形式： $P = \frac{\sigma}{L} = \frac{1}{\frac{L}{\sigma}} = \frac{1}{K}$ 分母 $K$ 越大，表示相對誤差越小、精度越高。在國家考試閱卷中，分母通常取整數或有效位數表示。

解題方法

步驟一：計算長距離總長

兩段距離量測值直接相加即為長距離總長 $L$： $L = L_1 + L_2 = 1532.032 + 1275.279 = 2807.311\ \mathrm{m}$

步驟二：計算總長之中誤差

依據獨立觀測量線性組合之誤差傳播定律： $\sigma_L = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$ 代入數據： $\sigma_L = \sqrt{(0.040)^2 + (0.030)^2} = \sqrt{0.0016 + 0.0009} = \sqrt{0.0025} = 0.050\ \mathrm{m}$ 因此，總長觀測成果可表為 $2807.311\ \mathrm{m} \pm 0.050\ \mathrm{m}$。

步驟三：計算各分段與長距離之量距精度

1. 第一段量距精度 $P_1$： $P_1 = \frac{\sigma_1}{L_1} = \frac{0.040}{1532.032} = \frac{1}{\frac{1532.032}{0.040}} = \frac{1}{38300.8} \approx \frac{1}{38300}\quad (\text{或約 } \frac{1}{38000})$

2. 第二段量距精度 $P_2$：

核心觀念

本題評量閉合導線測量之幾何條件檢核、測角與量距精度匹配原則，以及測角誤差特性的理解：

1. 閉合多邊形導線外角和條件：邊數（頂點數）為 $n$ 之閉合多邊形，其外角和之幾何理論值為： $\sum \beta_{\text{外, 理}} = (n + 2) \times 180^\circ$ 若為內角和，其幾何理論值則為 $(n - 2) \times 180^\circ$。
2. 測角誤差（角度閉合差 $W_\beta$）：實測外角總和與理論外角總和之差值，即為此導線之測角誤差（角度閉合差）： $W_\beta = \sum \beta_{\text{測}} - \sum \beta_{\text{理}}$
3. 測角與量距精度匹配（相稱）原則：在導線測量中，測角誤差所引起的橫向點位誤差，應與量距誤差所引起的縱向點位誤差量級相當，以達到最經濟且均衡之量測配置： $\frac{\Delta D}{D} \approx \frac{\Delta \beta''}{\rho''}$ 其中 $\rho'' = 206265''$（$1\text{ rad}$ 對應之秒數）。
4. 測角偶然誤差與角度大小之獨立性：電子測距經緯儀或全測站儀之水平度盤為 $360^\circ$ 全圓等分刻劃，單次照準與讀數之偶然誤差大小取決於儀器精度等級與觀測環境，與望遠鏡旋轉之角值大小（內角或外角）無關。

解題方法

1. 求測角誤差：

• 頂點數 $n = 6$，計算外角和理論值：$\sum \beta_{\text{理}} = (6 + 2) \times 180^\circ = 1440^\circ 00' 00''$。
• 將量測之 6 個外角累加求總和 $\sum \beta_{\text{測}}$。
• 計算閉合差 $W_\beta = \sum \beta_{\text{測}} - \sum \beta_{\text{理}}$。

2. 求對應之量距精度：

• 依「精度相稱原則」，相對量距精度以 $\frac{1}{K}$ 表示。
• 以導線總測角誤差對應整體量距精度： $\frac{\Delta D}{D} = \frac{|W_\beta|}{\rho''} = \frac{45''}{206265''}$
• 補充觀點（以各站測角精度對應單邊量距精度）：根據誤差傳播定律，若總閉合差 $W_\beta = 45''$，各站測角中誤差估計為 $m_\beta = \frac{W_\beta}{\sqrt{n}}$，則單邊對應精度為 $\frac{m_\beta}{\rho''}$。考卷詳解中以整體閉合差對應為主，並附帶單站觀點可得滿分。

3. 改量內角之誤差比較：

• 從觀測操作、儀器構造與誤差傳播定律三個層面論證：內角與外角互為周角補角（$\beta_{\text{內}} = 360^\circ - \beta_{\text{外}}$），測站照準之方向線中誤差相同，故測角誤差不會變小。

詳細計算與步驟

一、計算此導線之測角誤差

1. 理論外角和（$n = 6$）： $\sum \beta_{\text{理}} = (n + 2) \times 180^\circ = (6 + 2) \times 180^\circ = 1440^\circ 00' 00''$

2. 實測外角和 $\sum \beta_{\text{測}}$：

• 度數總和： $246^\circ + 195^\circ + 181^\circ + 276^\circ + 265^\circ + 273^\circ = 1436^\circ$
• 分數總和： $13' + 57' + 46' + 23' + 45' + 54' = 238' = 3^\circ 58'$
• 秒數總和： $40'' + 26'' + 20'' + 30'' + 49'' + 00'' = 165'' = 2' 45''$
• 總累計： $\sum \beta_{\text{測}} = 1436^\circ + 3^\circ 58' + 2' 45'' = 1440^\circ 00' 45''$

核心觀念

1. 經緯儀副尺法（斜角截距法，Tangential Method of Tacheometry）： 當待測點上豎立一般水準標尺，且測站經緯儀無法以水平視線觀測時，可將望遠鏡以兩個不同之垂直仰角（$\alpha_1$ 與 $\alpha_2$）瞄準該標尺，分別讀取兩不同高程之標尺讀數（$S_1$ 與 $S_2$）。藉由幾何三角關係，聯立求解測站與待測點間之水平距離 $D$ 及測點高程 $H_P$。
2. 高程測量之分類：

• 直接高程測量（Direct Leveling）：利用水準儀提供水平視線，直接讀取兩點標尺讀數之差以求得高差（即水準儀測量法）。
• 間接高程測量（Indirect Leveling）：非直接以水平視線讀尺，而是觀測垂直角（或天頂距）與距離，透過三角幾何公式計算高差（如三角高程測量、副尺法），或藉由氣壓、GNSS 等物理與空間技術求得高程。

解題方法

一、 角度與正切值計算

將題目給定之度分秒角度化為十進位角度，並計算其正切函數值：

• 第一仰角 $\alpha_1 = 9^\circ 15' 59''$： $\alpha_1 = 9^\circ + \frac{15^\circ}{60} + \frac{59^\circ}{3600} \approx 9.266389^\circ$ $\tan \alpha_1 = \tan(9^\circ 15' 59'') \approx 0.163154$
• 第二仰角 $\alpha_2 = 10^\circ 50' 19''$： $\alpha_2 = 10^\circ + \frac{50^\circ}{60} + \frac{19^\circ}{3600} \approx 10.838611^\circ$ $\tan \alpha_2 = \tan(10^\circ 50' 19'') \approx 0.191459$

二、 水平距離 $D$ 之推導與計算

設經緯儀視準軸之中心（橫軸中心）至待測點標尺之水平距離為 $D$。 經緯儀視準高 $H_i = 135.439\ \mathrm{m}$，待測點高程為 $H_P$。

望遠鏡自視準高向上傾斜，各照準線在標尺上的位置滿足直角三角形幾何關係：

• 依第一次觀測（仰角 $\alpha_1$，標尺讀數 $S_1 = 1.191\ \mathrm{m}$）： $H_P + S_1 = H_i + D \tan \alpha_1 \quad \implies \quad H_P = H_i + D \tan \alpha_1 - S_1 \qquad \text{--- (式 1)}$
• 依第二次觀測（仰角 $\alpha_2$，標尺讀數 $S_2 = 2.880\ \mathrm{m}$）： $H_P + S_2 = H_i + D \tan \alpha_2 \quad \implies \quad H_P = H_i + D \tan \alpha_2 - S_2 \qquad \text{--- (式 2)}$

兩式相減消去 $H_P$ 與 $H_i$： $(S_2 - S_1) = D (\tan \alpha_2 - \tan \alpha_1)$

移項可得水平距離 $D$ 之計算公式： $D = \frac{S_2 - S_1}{\tan \alpha_2 - \tan \alpha_1}$

核心觀念

本題考查地圖投影與坐標系統之基本理論，聚焦於臺灣現行大地測量基準所採用的「二度分帶橫麥卡托投影」（2-degree Transverse Mercator, 簡稱 TM2）及其坐標轉換計算。

1. 臺灣本島二度分帶投影參數定義（TWD97 / TWD67 通用規範）：

• 中央子午線（Central Meridian, $\lambda_0$）：臺灣本島為東經 $121^\circ$（$121^\circ\mathrm{E}$）；澎湖群島為東經 $119^\circ$。
• 中央子午線尺度比率（Scale Factor, $k_0$）：$0.9999$。
• 橫坐標西移原點（False Easting, $E_0$ 或 $X_0$）：$250{,}000\ \mathrm{m}$（目的在使全島坐標均為正值）。
• 赤道縱坐標原點（False Northing, $N_0$ 或 $Y_0$）：$0\ \mathrm{m}$。

2. 球體橫麥卡托投影公式： 題目指定「地球半徑以 $R = 6370\ \mathrm{km}$ 計」，係將地球簡化為正球體，不需進行複雜的旋轉橢球體高階展開。

• 經度差：$\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0$（需換算為弧度 $\mathrm{rad}$）。
• 緯度：$\phi$（需換算為弧度 $\mathrm{rad}$）。
• 橫坐標 $E$（距中央子午線垂直距離加上西移量）： $E = E_0 + k_0 \cdot x'$ 其中 $x'$ 為投影面上距中央子午線之距離，展開式至三階項為： $x' \approx R \Delta\lambda \cos\phi + \frac{R}{6} (\Delta\lambda)^3 \cos^3\phi (1 - \tan^2\phi)$
• 縱坐標 $N$（自赤道起算之投影距離）： $N = N_0 + k_0 \cdot y'$ 其中 $y'$ 為赤道至測點之投影子午弧長，展開式至二階項為： $y' \approx R\phi + \frac{R}{2} (\Delta\lambda)^2 \sin\phi \cos\phi$

解題方法

第一部分：中央子午線經度

臺灣本島二度分帶坐標系統之中央子午線為東經 $121^\circ$（即 $121^\circ\mathrm{E}$）。

第二部分：經緯度轉二度分帶坐標計算

步驟一：已知條件整理與單位換算

• 地球半徑：$R = 6370\ \mathrm{km} = 6{,}370{,}000\ \mathrm{m}$
• 待轉換點緯度： $\phi = 24^\circ15'00'' = 24.25^\circ = 24.25^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.4232407\ \mathrm{rad}$
• 待轉換點經度： $\lambda = 120^\circ30'00'' = 120.5^\circ$
• 中央子午線經度： $\lambda_0 = 121^\circ00'00'' = 121.0^\circ$
• 經度差： $\Delta\lambda = \lambda - \lambda_0 = 120.5^\circ - 121.0^\circ = -0.5^\circ$ 換算為弧度： $\Delta\lambda = -0.5^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx -0.00872665\ \mathrm{rad}$

步驟二：三角函數值計算

• $\sin\phi = \sin(24.25^\circ) \approx 0.410719$
• $\cos\phi = \cos(24.25^\circ) \approx 0.911762$
• $\tan\phi = \tan(24.25^\circ) \approx 0.450467 \implies \tan^2\phi \approx 0.202921$

步驟三：坐標轉換計算（提供兩種國家考試常見採納標準）

方法一：球體展開式（標準嚴密解法）

1. 計算橫坐標 $E$：

• 一階項： $x_1 = R \Delta\lambda \cos\phi = 6{,}370{,}000 \times (-0.00872665) \times 0.911762 \approx -50{,}684.05\ \mathrm{m}$
• 三階修正項： $x_3 = \frac{R}{6} (\Delta\lambda)^3 \cos^3\phi (1 - \tan^2\phi) \approx -0.43\ \mathrm{m}$
• 投影距中央子午線距離： $x' = x_1 + x_3 = -50{,}684.05 - 0.43 = -50{,}684.48\ \mathrm{m}$