115 初等考試五等 電子工程 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

本題考查電阻容許誤差與串聯電路總電阻的誤差計算。

每個電阻標示為 $1\ \text{k}\Omega\pm5\%$，表示其實際值範圍為

因此：

兩電阻串聯時，總電阻為

電流源提供固定電流 $I$，跨接兩電阻總壓降為

解題方法

標稱總電阻為

每個電阻的最大絕對誤差為

串聯後的總電阻最大值為

最小值為

相對於標稱值 $2000\ \Omega$，最大偏差為

因此總電阻的最大相對誤差為

由於電流源的電流固定，總電壓與總電阻成正比：

核心觀念

本題考查金屬導線電阻與溫度的關係。在一定溫度範圍內，金屬電阻可近似視為與「攝氏溫度加上零電阻溫度」成正比：

其中：

• $R_t$：溫度為 $t^\circ\text{C}$ 時的電阻
• $t_0$：零電阻溫度
• $K$：與導線材質、尺寸有關的常數

銅的零電阻溫度為 $-234.5^\circ\text{C}$，因此：

解題方法

由同一條銅線在兩個溫度下的電阻關係，可列比例：

代入 $R_{30}=150\ \Omega$：

因此：

故正確選項為 （D）。

選項分析

核心觀念

本題考查：

1. 累進電價：不同用電級距分別計價。
2. 電度與焦耳的換算： $1\text{ 度電}=1\text{ kWh}=1000\text{ W}\times3600\text{ s}=3.6\times10^6\text{ J}$
3. 家庭用電所產生的熱量，視為電能全部轉換為熱能，因此： $Q=3.6\times10^6\times n$ 其中 $n$ 為用電度數。

解題方法

先依各級距計算總電費。

第一级距：20 度以內

$20\times3=60\text{ 元}$

第二級距：超過 20 度至 50 度

此級距共有：

$50-20=30\text{ 度}$

電費為：

$30\times5=150\text{ 元}$

因此，用電達到 50 度時的累計電費為：

$60+150=210\text{ 元}$

第三級距：超過 50 度至 80 度

目前電費為 354 元，第三級距所支付的電費為：

$354-210=144\text{ 元}$

第三級距每度 8 元，因此第三級距用電量為：

$\frac{144}{8}=18\text{ 度}$

故本期總用電量為：

$20+30+18=68\text{ 度}$

換算為熱量：

$Q=68\times3.6\times10^6$

$Q=244.8\times10^6=2.448\times10^8\text{ J}$

約為：

$Q\approx2.45\times10^8\text{ J}$

選項分析

• (A) $2.45\times10^8$

核心觀念

本題考查無限級階梯電路的「自我相似性」與串聯、並聯等效電阻。

由圖可知，每一級包含：

• 上、下各一個 $2R$ 的串聯電阻，合計 $4R$；
• 兩節點間有一個橫向電阻 $R$；
• 後方電路仍與原本的無限級階梯完全相同。

因此可利用無限電路的自我相似性列方程式。

解題方法

設整個無限級階梯電路的等效電阻為 $R_T$。

通過最前端的上、下兩個 $2R$ 電阻後，兩節點之間的電路為：

• 一條直接通過電阻 $R$ 的支路；
• 另一條通過後方無限級階梯的支路，其等效電阻為 $R_T$。

所以兩支路為並聯，且最前端的兩個 $2R$ 為串聯：

並聯部分為：

因此：

令：

則：

整理得：

解二次方程式：

電阻值必須為正值，因此取：

核心觀念

本題考查串聯、並聯電路的等效電阻，以及分壓定則。

將 $b$ 點所在的下方導線作為參考點，電源電壓為 $50\text{ V}$。右側支路由 $12\Omega$ 與 $30\Omega$ 串聯而成，再與中間的 $10\Omega$ 電阻並聯。

解題方法

右側支路電阻為

此 $42\Omega$ 與 $10\Omega$ 並聯，等效電阻為

再與左側的 $40\Omega$ 串聯，因此全電路等效電阻為

電源總電流為

並聯部分兩端電壓，即 $40\Omega$ 電阻右端相對於下方節點的電壓為

流經 $12\Omega$ 與 $30\Omega$ 串聯支路的電流為

因此 $30\Omega$ 電阻兩端，也就是 $a$、$b$ 兩點的電壓差為

核心觀念

本題考查交流電路的功率三角形與功率因數改善。

交流負載的實功率、無效功率與功率因數關係為：

其中：

• $P$：實功率，單位為 W
• $Q$：無效功率，單位為 var
• $\phi$：負載相角
• 滯後功率因數表示負載呈感性，需並聯電容器提供超前無效功率加以補償。

並聯電容器的無效功率為：

其中：

功率因數改善時，實功率 $P$ 不變，只降低系統所需的感性無效功率。

解題方法

原功率因數為 $0.7071$，可視為：

因此：

改善後功率因數為 $0.8$：

由功率三角形：

原負載無效功率：

改善後所需無效功率：

因此電容器應提供的無效功率為：

電容器並聯於 $200\ \mathrm{V}_{\mathrm{rms}}$、$50\ \mathrm{Hz}$ 電源，因此：

代入：

解得：

核心觀念

本題考查燈泡額定值、電阻換算、串聯電路及過載判斷。

額定電阻為：

額定電流為：

燈泡串聯時具有以下特性：

• 兩燈泡通過相同電流。
• 電壓依電阻大小分配。
• 各燈泡消耗功率為 $P=I^2R$。
• 若實際工作電流超過額定電流，即屬過載，容易過熱損壞。

解題方法

甲燈泡額定為 $110\ \text{V}/100\ \text{W}$，其額定電阻為：

乙燈泡額定為 $110\ \text{V}/40\ \text{W}$，其額定電阻為：

兩燈泡串聯後接於 $220\ \text{V}$ 電源，總電阻為：

串聯電流為：

兩燈泡的額定電流分別為：

由於串聯電路通過相同電流：

• 甲實際電流 $0.519\ \text{A}<0.909\ \text{A}$，未超過額定電流。
• 乙實際電流 $0.519\ \text{A}>0.364\ \text{A}$，已超過額定電流，屬於過載。

因此乙燈泡可能因過載而過熱燒毀。

各燈泡電壓降為：

乙燈泡的實際功率約為：

其額定功率僅為 $40\ \text{W}$，實際功率約為額定值的兩倍，因此有過熱燒毀的風險。

選項分析

核心觀念

電流的定義為單位時間內通過的電荷量：

因此，在一段時間內轉移的總電荷量，必須對電流—時間函數積分：

本題給定：

由於 $1\ \text{A}=1\ \text{C/s}$，積分結果的單位即為庫侖。

解題方法

將電流函數代入電荷量公式：

計算得：

因此，$0\leq t\leq10$ 秒期間，電流源理論上可轉移的電荷量為 $10$ 庫侖。

也可利用幾何面積快速判斷。$I(t)=0.2t$ 是通過原點的直線，在 $t=10$ 秒時：

電流—時間圖形為底為 $10$ 秒、高為 $2$ 安培的三角形，因此：

核心觀念

本題考查電能、電功率與直流電路功率的關係：

1. 電功率定義為單位時間所消耗的能量： $P=\frac{W}{t}$

2. 直流電路中，電阻消耗的功率為： $P=VI$

其中：

• $P$：功率，單位為瓦特（W）
• $W$：能量，單位為焦耳（J）
• $t$：時間，單位為秒（s）
• $V$：電壓，單位為伏特（V）
• $I$：電流，單位為安培（A）

解題方法

題目給定：

$V=125\text{ V}$

$t=20\text{ s}$

$W=5000\text{ J}$

先由能量與時間求出電阻消耗的功率：

$P=\frac{W}{t}=\frac{5000}{20}=250\text{ W}$

再利用直流電路功率公式 $P=VI$，求電流：

$I=\frac{P}{V}=\frac{250}{125}=2\text{ A}$

也可將兩式直接合併：

$W=Pt=VIt$

因此：

所以流過此電阻的電流為 $2$ 安培。

選項分析

• (A) $0.5$ 安培：錯誤。 代入功率公式所得功率為： $P=VI=125\times0.5=62.5\text{ W}$ $20$ 秒消耗的能量為： $W=Pt=62.5\times20=1250\text{ J}$

核心觀念

圖中 $R_1$ 與 $R_2$ 為串聯電路，因此兩電阻通過相同電流。使用電阻功率公式：

串聯總電阻為：

電源電壓則由歐姆定律求得：

解題方法

已知 $R_1=4\ \Omega$，且其消耗功率為 $100\ \text{W}$，先求串聯電流：

總電阻為：

因此電源電壓：

所以正確答案為 $(D)$。

選項分析

核心觀念

本題考查串、並聯混合電路的節點電壓法，以及電阻功率公式：

由圖可知，電池提供 $240\text{ V}$，左端節點與右下端節點之間為電源兩端。設中間左節點電壓為 $V_1$，中間右節點電壓為 $V_2$，右下端為接地 $0\text{ V}$，則左端電壓為 $240\text{ V}$。

解題方法

對中間左節點 $V_1$ 使用 KCL：

整理得：

對中間右節點 $V_2$ 使用 KCL：

整理得：

聯立兩式：

解得：

因此，$60\Omega$ 電阻兩端的電壓為：

核心觀念

本題考查網孔電流法與克希荷夫電壓定律（KVL）。

圖中三個網孔電流依箭頭分別為 $I_a、I_b、I_c$。上方電流源為 $2\text{ A}$，且只位於網孔 $a$ 中，因此：

已知：

要求左側網孔電流 $I_b$。

解題方法

針對左側網孔套用 KVL。

左側上方 $1\Omega$ 電阻中，$I_a$ 與 $I_b$ 方向相同，因此電流為：

中央 $4\Omega$ 電阻中，$I_b$ 與 $I_c$ 方向相反，因此電流為：

左下方 $3\Omega$ 電阻只有 $I_b$ 通過，故電流為 $I_b$。

沿左側網孔方向列電壓降方程式，電池 $22\text{ V}$ 為電壓上升，得：

代入 $I_a=2\text{ A}$、$I_c=\frac34\text{ A}$：

整理：

因此：

核心觀念

本題考查線性二端網路的等效電路定理。

**諾頓定理（Norton’s Theorem）**指出：任何線性二端網路，均可等效為一個電流源 $I_N$ 與一個電阻 $R_N$ 並聯的電路。

其中：

• $I_N$：原網路兩端短路時的短路電流 $I_{SC}$
• $R_N$：由端點看入的等效電阻

因此，諾頓等效電路如下：

解題方法

題目直接給出判斷關鍵：「簡化成一電流源並聯一電阻」。

將各定理的標準等效形式對照即可：

若已知戴維寧等效電路，也可透過源轉換得到諾頓等效電路：

其中戴維寧電壓源 $V_{Th}$ 串聯電阻 $R_{Th}$，可轉換為諾頓電流源 $I_N$ 並聯相同的電阻。

選項分析

(A) 諾頓定理：正確

諾頓定理將複雜的線性二端網路化簡為：

核心觀念

本題考查：

• 節點電壓法與基爾霍夫電流定律（KCL）。
• 電阻電流公式 $I=\frac{V_1-V_2}{R}$
• 受控電壓源的端電壓關係。

圖中受控電壓源標示為 $2v_o$，且上端為正、下端接地，因此右上節點電壓為

$V_R=2v_o$

解題方法

設左上節點電壓為 $V_L$，中間節點電壓為 $v_o$。

先觀察左上節點。左側有 $2\text{ A}$ 電流源向下流出，而左上節點只有電阻與電流源相連，因此由 KCL 可知，必有 $2\text{ A}$ 電流經由左側 $1\Omega$ 電阻流入左上節點：

$\frac{v_o-V_L}{1}=2$

在 $v_o$ 節點套用 KCL，取離開節點的電流代數和為零：

1. 流向左側 $1\Omega$ 電阻的電流為 $2\text{ A}$。
2. 流向接地的 $2\Omega$ 電阻，其電流為 $\frac{v_o}{2}$
3. 流向右側節點的電流為

因此：

$2+\frac{v_o}{2}-v_o=0$

整理得：

核心觀念

諾頓等效電流定義為端點 $a$、$b$ 短路時的短路電流：

計算含受控源的電路時，受控源必須保留，不能任意關閉。

解題方法

將端點 $a$、$b$ 短路。由於右側 $3\Omega$ 電阻與短路線並聯，因此其兩端電壓為零：

受控電壓源的電壓為：

理想的 $0\text{ V}$ 電壓源等效為短路，因此左側上方節點與端點 $a$ 等電位。此時 $6\Omega$ 電阻也與短路路徑並聯，其兩端電壓為零，故通過 $6\Omega$ 電阻的電流為：

電路中唯一的 $2\text{ A}$ 電流源所提供的電流，全部經由 $a$、$b$ 間的短路路徑流動。因此：

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與最大功率傳輸定理。

將負載 $R$ 左側的多電源電路化為戴維寧等效電路：

當負載電阻滿足

時，負載可獲得最大功率：

解題方法

一、求戴維寧電壓 $V_{\text{th}}$

先將負載 $R$ 移除，使端點 $a$、$b$ 開路。

由於端點 $a$ 開路，右側 $8\Omega$ 電阻及 $160\text{ V}$ 電壓源所在支路沒有電流，因此 $8\Omega$ 電阻上的電壓降為 $0$。

左側 $20\text{ A}$ 電流源迫使電流流經上方 $10\Omega$ 電阻，再流經中間的 $10\Omega$ 電阻。

中間 $10\Omega$ 電阻上的電壓為

由於下方 $12\Omega$ 電阻沒有電流流過，因此

依圖中 $160\text{ V}$ 電壓源的極性，端點 $a$ 相對於節點 $c$ 再升高 $160\text{ V}$，所以

二、求戴維寧電阻 $R_{\text{th}}$

將獨立電源關閉：

• $20\text{ A}$ 理想電流源以開路取代。
• $160\text{ V}$ 理想電壓源以短路取代。

由端點 $a$、$b$ 看入，電阻依序為

因此

核心觀念

本題考查電路的功率判斷：

採用被動符號規則時，若電流流入元件的正端：

• $p>0$：元件吸收功率。
• $p<0$：元件供應功率。

圖中 $5\ \text{mA}$ 電流源方向由上往下，因此先求其兩端電壓。

解題方法

以下端節點為參考點，令上端節點電壓為 $V$。

左側支路中，$12\ \text{V}$ 電壓源上端為正，因此由上往下的電流為

右側 $3\ \text{k}\Omega$ 電阻的電流為

依據上端節點的 KCL，所有由上往下流出的電流代數和為零：

乘以 $6\,\text{k}\Omega$：

核心觀念

本題考查電阻網路的等效化簡，以及「對稱性」在電路分析中的應用。

圖中上端、左下端為端點 $a、b$，外部三角形的三個電阻皆為 $6\Omega$；中心節點分別以三個電阻 $R$ 連接至三個外部節點。

由於端點 $a、b$ 分別接 $1\text{ V}$ 與 $0\text{ V}$ 時，右下角節點與中心節點在端點 $a、b$ 的作用下具有相同電位，因此兩節點之間的電阻 $R$ 沒有電流通過，可視為不影響等效電阻。

解題方法

端點 $a、b$ 之間可分成三條並聯支路：

1. 外側左邊的 $6\Omega$ 電阻： $R_1=6\Omega$

2. 經由右下角節點的支路，包含兩個 $6\Omega$ 電阻串聯： $R_2=6+6=12\Omega$

3. 經由中心節點的支路，包含兩個 $R$ 電阻串聯： $R_3=R+R=2R$

因此：

已知 $R_{ab}=2\Omega$，代入得：

所以：

選項分析

• (A) $2$：正確。 代入 $R=2\Omega$ 時，中心支路電阻為 $2R=4\Omega$，三支路並聯後：

核心觀念

戴維寧等效電壓 $V_{Th}$ 就是端點 $a$-$b$ 開路時的端電壓：

本題取端點 $b$ 為參考點，故 $V_b=0$。

解題方法

端點 $a$ 為開路端，但電路內的 $1\text{ A}$ 電流源仍然存在。由於 $1\text{ A}$ 電流源方向由 $a$ 流向 $b$，因此經由上方 $2\,\Omega$ 電阻必須有 $1\text{ A}$ 電流流入端點 $a$。

設左上節點電壓為 $V_1$，3 V 電壓源右端電壓為 $V_2$。

對左上節點套用 KCL：

因此：

3 V 電壓源左端為負、右端為正，因此：

流經 $2\,\Omega$ 電阻的電流為 $1\text{ A}$，方向由 $V_2$ 流向端點 $a$，故電阻壓降為：

因此：

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律（KCL）：任一節點的電流代數和為零，也就是「流入節點的電流總和等於流出節點的電流總和」。

圖中上方節點：

• $I_1$ 箭頭指向右方，流入上方節點。
• $I_2$、$I_3$ 箭頭向下，流出上方節點。
• $I_2=-3\ \text{A}$ 表示實際電流方向與圖示箭頭相反，實際為向上 $3\ \text{A}$。

$V_1$ 的數值不影響本題，因為只需利用節點電流關係即可求出 $I_3$。

解題方法

依照圖示方向套用 KCL：

因此：

代入題目給定數值：

也可從實際方向理解：$I_2=-3\ \text{A}$ 代表有 $3\ \text{A}$ 電流由下往上流入上方節點，因此流出右側的電流為：

選項分析

核心觀念

本題考查一階 $RL$ 暫態電路：

• 電感的穩態視為短路。
• 時間常數為 $\tau=\frac{L}{R_{\text{eq}}}$ 其中 $R_{\text{eq}}$ 是電感端看到的等效電阻。
• 電感電流不能瞬間改變，但本題只要求 $i(\infty)$ 與 $\tau$。

解題方法

1. 求 $i(\infty)$

開關閉合很久後，電感視為短路，因此右側電感將中間節點短路至下方參考節點。

此時中間的 $10\ \Omega$ 電阻兩端電壓為零，沒有電流通過；左側電源的 $10\ \text{V}$ 全加在上方的 $10\ \Omega$ 電阻上。

因此流入電感的穩態電流為

方向與圖中箭頭相同。

2. 求時間常數 $\tau$

求時間常數時，將獨立電壓源關閉，理想電壓源以短路代替。

從電感端看入，兩個 $10\ \Omega$ 電阻皆連接在電感兩端，因此為並聯：

電感值為

所以

因此

選項分析

核心觀念

本題考查「電流的磁效應」與「電磁感應」：

1. 電流通過導體時，導體周圍會產生磁場，稱為電流的磁效應。
2. 線圈中的磁通量發生變化時，線圈兩端會產生感應電動勢，依據法拉第電磁感應定律：

其中：

• $e$：感應電動勢
• $N$：線圈匝數
• $\Phi$：通過線圈的磁通量

公式顯示，感應電動勢取決於磁通量的「變化率」，不是磁通量本身是否存在。

解題方法

逐一判斷各選項所描述的物理現象：

• 若談到「感應電動勢」，應檢查磁通量是否隨時間變化。
• 若談到「電流產生磁場」，應使用電流的磁效應判斷。
• 直流電流產生的磁場通常固定不變。
• 交流電流大小與方向隨時間變化，因此產生的磁場也隨時間變化。

選項分析

(A) 錯誤

由法拉第定律：

當線圈兩端感應電動勢為零時，只能表示：

也就是磁通量沒有隨時間變化，並不代表磁通量本身等於零。

例如線圈中存在固定不變的磁通量，此時：

因此感應電動勢仍為零。

(B) 錯誤

磁鐵靜置於線圈中時，若磁鐵與線圈的相對位置不變，通過線圈的磁通量保持固定：

因此線圈兩端不會產生感應電動勢。

核心觀念

本題考查「導體在磁場中運動所受的磁力方向」，使用右手定則：

其中：

• 導體速度 $\vec{v}$：向上
• 磁場 $\vec{B}$：向右
• 正電荷受力方向：由 $\vec{v}\times\vec{B}$ 判定

依右手定則，手指由速度方向「向上」轉向磁場方向「向右」，拇指指向紙面內。因此，正電荷受力方向為垂直進入紙張。

解題方法

圓形導體向上運動，磁場方向向右。對導體內的正電荷而言：

依傳統考試中對運動導體感應電流方向的判定，感應電流方向與正電荷受力方向一致，因此感應電流為垂直流入紙張。

選項分析

• (A) 垂直流入紙張：正確。 由 $\vec{v}\times\vec{B}$ 右手定則，正電荷受到指向紙內的磁力，故依本題命題設定，感應電流方向為流入紙張。