109 初等考試五等 電子工程 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

電能的常用單位「度」就是 $1$ 千瓦小時（$1\ \text{kWh}$）。用電量可由功率乘上使用時間計算：

解題方法

燈泡功率為 $5\ \text{W}=0.005\ \text{kW}$。持續點亮 $180$ 天，換算成小時：

因此耗電量為：

也就是 $21.6$ 度電。

選項分析

核心觀念

本題考查最大功率傳輸定理：負載電阻 $R_L$ 接在一個線性電路的輸出端時，當 $R_L$ 等於從該端看入電路的戴維寧等效電阻 $R_{\text{th}}$，負載可獲得最大功率。

$R_L=R_{\text{th}}$

解題方法

先移除 $R_L$，再將獨立電流源關閉。理想電流源關閉時須以開路取代。

從 $R_L$ 的兩端看入電路，接地有兩條路徑：

• 直接經過 $12\,\Omega$ 電阻。
• 先經過上方的 $3\,\Omega$，再經過左側的 $3\,\Omega$，兩者串聯為 $6\,\Omega$。

因此，戴維寧等效電阻為：

依最大功率傳輸定理，$R_L=R_{\text{th}}=4\,\Omega$。

核心觀念

本題考查節點電壓法與歐姆定律。電流已知方向由左向右流過 $1\,\Omega$ 電阻，因此兩端電壓為 $V_L-V_R=1\times1=1\text{ V}$ 其中 $V_L$、$V_R$ 分別是左、右節點相對底部節點的電壓。電池上方接點為正端，所以中央節點電壓為 $36\text{ V}$。

解題方法

以底部導線為 $0\text{ V}$，在右側節點套用克希荷夫電流定律。流入右側節點的 $1\text{ A}$，分別經由兩個 $6\,\Omega$ 電阻流出：

$1=\frac{V_R-36}{6}+\frac{V_R}{6}$

解得 $6=2V_R-36,\qquad V_R=21\text{ V}$

由 $1\,\Omega$ 電阻上的電流方向及歐姆定律， $V_L-V_R=1\text{ V},\qquad V_L=22\text{ V}$

核心觀念

均勻導線的電阻與長度成正比；固定電壓下，電阻愈小，電流愈大，消耗功率也愈大。計算功率可使用 $P=\dfrac{V^2}{R}$，電流可使用 $I=\dfrac{V}{R}$。

解題方法

原電阻接上 $100\ \text{V}$ 時消耗 $500\ \text{W}$，因此原電阻為

電阻按長度比 $2:3$ 切成兩段，較長一段占全長的 $\dfrac{3}{2+3}=\dfrac{3}{5}$，所以其電阻為

將較長一段接上 $100\ \text{V}$ 電源，電流與功率分別為

核心觀念

金屬導線的電阻會隨溫度升高而增加。已知材料的「絕對溫度」時，可用下式計算不同溫度下的電阻：

其中 $T_0$ 為材料的絕對溫度。本題銅的 $T_0=-234.5^\circ\text{C}$。

解題方法

已知 $R_1=2\ \Omega$、$T_1=25^\circ\text{C}$、$T_2=125^\circ\text{C}$，代入公式：

取近似值約為 $2.8\ \Omega$，故選 (C)。

選項分析

核心觀念

金屬導線的電阻會隨溫度上升而增加，常用線性關係表示：

$R_t=R_0(1+\alpha_0t)$

其中 $R_0$ 是 $0^\circ\text{C}$ 時的電阻，$\alpha_0$ 是以 $0^\circ\text{C}$ 為基準的電阻溫度係數。

解題方法

題目給出 $25^\circ\text{C}$ 與 $130^\circ\text{C}$ 的電阻，可先用兩點求出每攝氏度的電阻變化量：

$\frac{12-10}{130-25}=\frac{2}{105}\ \Omega/^\circ\text{C}$

因此，外推至 $0^\circ\text{C}$：

$R_0=10-\frac{2}{105}\times25\approx9.524\ \Omega$

由 $R_t=R_0(1+\alpha_0t)$，可得電阻對溫度的斜率為 $R_0\alpha_0$，所以：

核心觀念

本題考查導體中的漂移速度。電流是自由電子定向移動所形成的電荷流率，其關係式為

其中 $I$ 為電流、$n$ 為單位體積內的自由電子數、$q$ 為單一電子電量、$A$ 為導體截面積，$v_d$ 為電子漂移速率。

解題方法

先統一單位，再由電流公式求出漂移速率。

自由電子濃度換算為

導體直徑 $d=0.1\ \text{mm}=1\times10^{-4}\ \text{m}$，因此截面積為

取電子電量 $q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$，代入公式：

核心觀念

燈泡標示的額定功率與額定電壓可用來換算燈絲的等效電阻。串聯時兩燈泡流過相同電流；在相同電流下，電阻較大的燈泡消耗功率較大，因此較亮。

解題方法

由功率公式 $P=V^2/R$，燈泡額定電阻為：

$50\ \text{W}/100\ \text{V}$ 燈泡的額定電阻：

$100\ \text{W}/100\ \text{V}$ 燈泡的額定電阻：

兩燈泡串聯時電流相同。以 $P=I^2R$ 比較實際消耗功率：

核心觀念

電熱絲可視為電阻負載，額定電壓與額定功率可用來求出電阻值。若電熱絲的電阻不變，接上不同電壓時，功率依據 $P=\dfrac{V^2}{R}$ 隨電壓平方變化。

解題方法

先由額定值求電熱絲電阻：

接上 $100\ \text{V}$ 電源後，電熱絲的功率為：

因此功率為 $50\ \text{W}$。

選項分析

• (A) $25\ \text{W}$：錯誤。 電壓降為額定值的一半，功率應依電壓平方變為原來的 $\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$，即 $50\ \text{W}$，不是

核心觀念

本題考查電阻的歐姆定律、電流與電量的關係，以及電子電量。

• 歐姆定律：$I=\dfrac{V}{R}$
• 電流定義：$I=\dfrac{Q}{t}$，因此 $Q=It$
• 電子數：$N=\dfrac{Q}{e}$，其中單一電子的電量大小為 $e=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$

解題方法

先用電池電壓與電阻求出電流，再計算 $1$ 秒內通過的電量，最後換算為電子數。

電阻為 $1\ \text{k}\Omega=1\times10^3\ \Omega$，所以電流為：

$1$ 秒內通過的電量：

電子數為：

因此，$1$ 秒鐘內約有 $9.4\times10^{15}$ 個電子流經電阻。

選項分析

核心觀念

本題考查節點電壓法與克希荷夫電流定律（KCL）。以下方導線為共同參考點，左側上方節點電壓就是題目所求的 $v$。電阻支路電流依歐姆定律計算；電流源方向則決定其電流是流入或流出節點。

解題方法

令右側上方節點電壓為 $v_2$，並對兩個上方節點分別列 KCL。

左側節點有 $15\text{ A}$ 電流流入，因此：

右側節點的 $5\text{ A}$ 電流源向下，表示有 $5\text{ A}$ 流出節點，因此：

整理得：

解聯立方程式可得 $v_2=10\text{ V}$，代回左側方程式：

核心觀念

本題考查短路電流、歐姆定律與節點電流定律。$A$、$B$ 短路後，$A$、$B$ 等電位；因此流經右側 $2\,\Omega$ 電阻的電流，就是短路電流 $2\,\text{A}$。

解題方法

以底部導線為 $0\,\text{V}$，短路後 $A$ 點也為 $0\,\text{V}$。右側 $2\,\Omega$ 電阻流過 $2\,\text{A}$，所以中央節點電壓為

$V=IR=2\times 2=4\,\text{V}$

電源正端為 $10\,\text{V}$，左側 $2\,\Omega$ 電阻兩端電壓為 $10-4=6\,\text{V}$，故流入中央節點的電流為

$I_{\text{左}}=\frac{6}{2}=3\,\text{A}$

依節點電流定律，這 $3\,\text{A}$ 分流至右側 $2\,\Omega$ 電阻與 $R$。右側支路已流過 $2\,\text{A}$，因此流經 $R$ 的電流為 $3-2=1\,\text{A}$。故

核心觀念

本題考節點電壓法與歐姆定律。以電路下方共用導線為參考節點，理想電壓源會固定其上端節點電壓，因此左側節點為 $20\text{ V}$，右側節點為 $10\text{ V}$。題目所求電流方向由節點 2 指向節點 3。

解題方法

設節點 2 電壓為 $V_2$。對節點 2 套用克希荷夫電流定律，流出節點 2 的電流總和為零：

整理得：

依箭頭方向，流經 $2.5\,\Omega$ 電阻的電流為：

核心觀念

戴維寧等效電阻 $R_{\mathrm{th}}$，是由 $a$、$b$ 端看入電路的等效電阻。計算時將獨立電壓源設為 $0$ V；理想電壓源以短路取代，再化簡電阻網路。

解題方法

將圖中的理想電壓源短路後，左側電源上端與下端接成同一個節點，也就是 $b$ 點。

從中間上方節點到 $b$ 點，有兩條各為 $2R$ 的支路並聯：

因此，從 $a$ 經過上方的 $R$ 電阻，再到 $b$ 的這條支路，總電阻為 $R+R=2R$。另外，$a$ 與 $b$ 之間原本就有一個 $2R$ 電阻，故：

選項分析

核心觀念

本題考「最大功率傳輸定理」及電壓源輸出的功率。負載 $R_L$ 獲得最大功率時，$R_L$ 必須等於從負載端看入電路的戴維寧電阻：

求電壓源流出的功率時，則要計算電壓源供應所有並聯支路的總電流，再用 $P=VI$。

解題方法

先由 $R_L$ 端看入電路，將理想電壓源短路。此時電源兩端短接，左側的 $4R$ 被短路；負載端看入的電阻只剩上、下兩個 $R$ 串聯：

因此，$R_L$ 獲得最大功率時：

此時右側支路總電阻為：

右側支路與 $4R$ 電阻並聯在理想電壓源兩端，各支路電壓皆為 $V$。所以兩支路電流分別為：

電壓源流出的總電流為：

核心觀念

電感阻抗為 $jX_L$，其阻抗相位角可由

求得，其中 $R_{\text{eq}}$ 是輸入端看到的等效電阻。本題電感阻抗為 $j3\,\Omega$，因此關鍵是先求右側電阻網路的等效電阻。

解題方法

依圖將下端設為接地、上端加上 $1\,\text{V}$。左側中間節點電壓記為 $V_B$，右側中間節點記為 $V_C$。右側下方的 $2\,\Omega$ 與 $4\,\Omega$ 串聯，合為 $6\,\Omega$。

對兩個中間節點套用 KCL：

解得 $V_B=0.5\,\text{V}$、$V_C=0.8\,\text{V}$。輸入電流為

所以圖示電阻網路的等效電阻為

依圖中標示的 $j3\,\Omega$ 電感，總阻抗相位角為

核心觀念

本題考查節點電壓、歐姆定律與克希荷夫電流定律。左側導線將菱形電路的上、下端短接，因此上、下端是同一電位；圖中的 $I$ 是這段導線中的電流。

解題方法

把短接的上、下端視為同一節點。左側的 $4\,\Omega$ 與 $2\,\Omega$ 並聯，等效電阻為

右側的 $6\,\Omega$ 與 $3\,\Omega$ 並聯，等效電阻為

電源看到的總電阻為 $\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}\,\Omega$，因此電源電流大小為

左側並聯組兩端電壓為 $3\times\frac{4}{3}=4\,\text{V}$，所以流經 $4\,\Omega$ 的電流為 $1\,\text{A}$，流經 $2\,\Omega$ 的電流為 $2\,\text{A}$。

核心觀念

戴維寧等效電壓 $V_{\text{th}}$ 是從負載接點看入電路時的開路電壓。本題求 $a$、$b$ 兩點間的戴維寧電壓，因此先將 $2\,\Omega$ 電阻移除，再分別求出 $a$、$b$ 點相對於電源負端的電位。

解題方法

電源上端為正，故上、下電源端的電位差為 $48\,\text{V}$。

移除 $2\,\Omega$ 電阻後，左右兩支路各自跨接在 $48\,\text{V}$ 電源兩端：

左支路的 $6\,\Omega$ 與 $3\,\Omega$ 串聯，$b$ 點位於兩電阻之間。以電源負端為 $0\,\text{V}$，由分壓可得

右支路的兩個 $8\,\Omega$ 電阻相等，$a$ 點位於兩電阻之間，因此

核心觀念

諾頓等效電流 $I_N$ 是將負載移除後，從輸出端 $a$、$b$ 短路時流過短路的電流。圖中的 $2\,\Omega$ 電阻是負載，求 $I_N$ 時須先移除；不能直接把它當作短路。

解題方法

將 $a$、$b$ 短路後，兩個電源支路各自向短路點提供電流。兩電壓源的正端都在上方，因此支路電流方向一致，流經短路的電流為兩者相加：

短路電流方向為由 $a$ 流向 $b$，故諾頓等效電流為 $3.33\,\text{A}$。

選項分析

• (A) $1.33\,\text{A}$：錯誤。 這是 $16\,\text{V}$ 電源支路的電流，漏加了 $8\,\text{V}$ 支路的 $2\,\text{A}$。
• **(B) $2\,\text{A}$：錯誤。

核心觀念

正弦電壓的平均值須先確認「平均的時間區間」。對完整週期而言，正半週與負半週面積大小相等、符號相反，因此平均值為 $0$。

本題的角頻率為 $\omega-\omega_1$。在 $\omega\ne\omega_1$ 時，訊號會隨時間振盪；對完整週期取平均，無論相位角為 $30^\circ$，平均值仍為 $0$。

解題方法

令 $\Omega=\omega-\omega_1$，則

當 $\Omega\ne0$ 時，訊號的週期為 $T=\dfrac{2\pi}{|\Omega|}$。取一個完整週期的平均值：

核心觀念

耦合線圈的總儲能包含各線圈的自感能量，以及由互感產生的能量項。兩線圈串聯時，可依電流方向與繞線方向判斷磁通是相助或相消；本圖為串聯相消，因此互感項取負號。

相消時的等效電感為：

電感儲能公式為：

解題方法

代入題目數值：

因此總儲能為：

也可直接分解計算：兩線圈的自感能量合計為 $\frac12(L_1+L_2)I^2=12\ \text{J}$；相消的互感能量為 $-MI^2=-8\ \text{J}$，合計 $12-8=4\ \text{J}$。

選項分析

核心觀念

電感器儲存的磁場能量為

$W=\frac{1}{2}LI^2$

圖中每個電感器的電感量均為 $L$，而 $I$ 是流入各電路的總電流。並聯電感器相同，因此總電流平均分配到各支路。

解題方法

• $W_1$：一個電感器流過電流 $I$，所以 $W_1=\frac{1}{2}LI^2$

• $W_2$：兩個相同電感器並聯，各流過 $I/2$，總儲能為 $W_2=2\left(\frac{1}{2}L\left(\frac{I}{2}\right)^2\right)=\frac{1}{4}LI^2$

• $W_3$：三個相同電感器並聯，各流過 $I/3$，總儲能為 $W_3=3\left(\frac{1}{2}L\left(\frac{I}{3}\right)^2\right)=\frac{1}{6}LI^2$

因此

$W_1:W_2:W_3=\frac12:\frac14:\frac16=6:3:2$

選項分析

核心觀念

電容器串聯時，各串聯部分帶有相同電荷，電壓依電容值分配；並聯時，等效電容量相加。電容器的耐壓則是各元件兩端電壓不得超過其額定值。

解題方法

先將兩個並聯電容合併：

這個並聯組的耐壓由較低額定電壓的電容限制，因此：

再將 $40\ \mu\text{F}$ 的並聯組與 $25\ \mu\text{F}/150\ \text{V}$ 電容串聯。串聯電荷相同，兩部分電壓比為電容量的反比：

令並聯組達到其耐壓上限 $V_{\text{並}}=100\ \text{V}$，則 $V_{25}=160\ \text{V}$，已超過其 $150\ \text{V}$ 額定值。因此串聯電路的限制由 $25\ \mu\text{F}/150\ \text{V}$ 電容先達到。

此時並聯組兩端電壓為：

低於並聯組的 $100\ \text{V}$ 限制，故總耐壓為：

核心觀念

$C_1$ 與電源並聯，承受整個電路電壓；$C_2$、$C_3$ 串聯，串聯電容的電荷量相同，且 $V=Q/C$。因此，串聯電容的電壓分配與電容量成反比。

解題方法

設 $C_3$ 兩端電壓為 $V_3$。由 $C_2=2\ \text{F}$、$C_3=4\ \text{F}$，串聯時兩者電荷相同：

所以電路總電壓為

逐一考慮電容的耐壓限制：

• $C_1$ 並聯於電源兩端，故 $E\leq12\ \text{V}$，即 $3V_3\leq12$，所以 $V_3\leq4\ \text{V}$。
• $C_2$ 耐壓 $15\ \text{V}$，故 $V_2=2V_3\leq15$，所以 $V_3\leq7.5\ \text{V}$。
• $C_3$ 耐壓 $5\ \text{V}$，故 $V_3\leq5\ \text{V}$。

核心觀念

直流電路達穩定狀態後，電容器兩端電壓不再變化，因此 $i_C=C\dfrac{dv_C}{dt}=0$。在穩態分析中，電容器視為開路。

解題方法

穩態時，$C_1$ 與 $C_2$ 都視為開路。$C_1$ 開路使電路沒有閉合的直流電流路徑，因此 $R_1$、$R_2$ 的電流皆為零，兩電阻上的電壓降也都為零。

電池上端為 $10\ \text{V}$，故 $C_1$ 左端電位為 $10\ \text{V}$；$R_2$ 無電流，沒有電壓降，故 $C_1$ 右端與下方回路同電位。於是：

選項分析

核心觀念

直流電路達穩定狀態後，電容器視為開路；但電容兩端仍可能保有電壓。電阻則依穩態電流決定壓降。串聯電容的電壓分配與電容量成反比，可先求等效電容，再用電荷相等求各部分電壓。

解題方法

先看電阻支路。穩態時電容 $C_1$ 開路，因此流經 $R_1$ 的電流與 $R_2$ 相同，兩者形成分壓：

$C_3$ 下端經 $R_3$ 接到底部節點。穩態時電容支路沒有電流，$R_3$ 上沒有壓降，因此 $C_3$ 下端與底部節點等電位。

所以 $C_2$ 與 $C_3$ 並聯：

$C_1$ 與等效電容 $C_{23}$ 串聯，兩端總電壓為 $15\text{ V}$。串聯電容帶電量相同，故 $C_{23}$ 上的電壓為：

核心觀念

直流電路達到穩態很久後，理想電感相當於短路，理想電容相當於開路。本題要先用這兩個穩態特性簡化電路，再依歐姆定律計算電流。

解題方法

開關閉合很久後：

• $4\,\text{mH}$ 電感視為短路，因此與它並聯的 $8\,\text{k}\Omega$ 電阻被短路旁通。
• $2\,\mu\text{F}$ 電容視為開路，因此不流過電流。

剩下 $10\,\text{k}\Omega$ 與 $4\,\text{k}\Omega$ 串聯，總電阻為

由歐姆定律，電流為

選項分析

核心觀念

本題考查直流電流源加到並聯 $RL$ 電路後的暫態響應。電感電流不能瞬間改變；由於開關閉合前電路未接通，假設電感初始電流為 $i_L(0^-)=0$，因此 $i_L(0^+)=0$。電阻與電感並聯，兩者端電壓相同。