109 初等考試五等 電子工程 電子學大意 考古題詳解

核心觀念

理想運算放大器（op amp）的基本假設為：輸入阻抗無限大、開迴路電壓增益無限大、輸出阻抗為零；差動輸入訊號會被放大，共模訊號則不會被放大。因此其共模電壓增益為零，理想共模拒斥比（CMRR）為無限大。

令兩輸入端電壓為 $v_+$ 與 $v_-$，差動輸入電壓及共模輸入電壓分別為

輸出可表示為

理想運算放大器的 $A_d\to\infty$，且 $A_{cm}=0$，故

解題方法

本題直接對照理想運算放大器的四項基本特性：輸入阻抗、開迴路增益、共模增益與 CMRR。題目問哪一項為零，只有共模電壓增益符合理想模型。

核心觀念

共模抑制比（CMRR）表示運算放大器對差模訊號的放大能力，相對於對共模訊號的放大能力。其線性比值為

換算成分貝時，使用電壓增益比的公式：

取絕對值是因為 CMRR 衡量的是兩種增益的大小比值；增益的正負號表示相位反轉，不影響抑制比。

解題方法

題目給定 $A_d=100$、$A_{cm}=-0.01$，代入公式：

因此

核心觀念

理想運算放大器在負回授正常工作時，輸入端電流為零，且兩輸入端電壓相等，亦即 $v_+=v_-$。本題的 $R_2$、$R_1$ 構成非反相放大器的回授網路；正相端則由 $v_1$、$v_2$ 經電阻接入。

解題方法

先求正相端電壓。由於理想運放輸入端不取電流，$R_a$ 與 $R_b$ 的交會點可用節點電流定律：

代入 $R_a=1\ \mathrm{k\Omega}$、$R_b=3\ \mathrm{k\Omega}$、$v_1=4\ \mathrm{V}$、$v_2=-2\ \mathrm{V}$：

負回授使 $v_-=v_+=2.5\ \mathrm{V}$。反相端接在 $R_2$ 與 $R_1$ 的分壓點，因此

核心觀念

此題考 PMOS 場效電晶體的導通條件與飽和區判斷。圖中電晶體的源極接 $+5\ \mathrm{V}$，汲極電壓為 $V_D=4\ \mathrm{V}$，且 $V_{TH}=-0.7\ \mathrm{V}$，因此使用 $|V_{TH}|=0.7\ \mathrm{V}$。

PMOS 導通且工作於飽和區，須同時符合：

其中 $V_{SG}=V_S-V_G$，$V_{SD}=V_S-V_D$。

解題方法

由圖可得 $V_S=5\ \mathrm{V}$，因此：

逐一代入各選項的 $V_G$，判斷是否導通，以及飽和條件是否成立。

選項分析

• (A) $V_G=5\ \mathrm{V}$：$V_{SG}=5-5=0\ \mathrm{V}$，小於 $|V_{TH}|=0.7\ \mathrm{V}$，電晶體截止，不在飽和區。

核心觀念

本題考運算放大器的負回授，以及二極體壓降在回授迴路中的作用。理想運算放大器在線性工作且有負回授時，兩輸入端電壓相等：

$v_-=v_+$

圖中反相端接在輸出電壓 $v_o$，同相端接 $v_i$。二極體位於運算放大器輸出端與 $v_o$ 之間，因此運算放大器輸出端電壓與 $v_o$ 相差二極體的導通壓降。

解題方法

輸入 $v_i=+1\ \mathrm{V}$，同相端電壓為 $+1\ \mathrm{V}$。運算放大器輸出會上升，使二極體順向導通並形成負回授。在線性工作時：

$v_-=v_+=1\ \mathrm{V}$

而 $v_-=v_o$，所以：

$v_o=1\ \mathrm{V}$

二極體導通壓降為 $0.7\ \mathrm{V}$，因此運算放大器輸出端約為：

$v_{\text{op amp}}=v_o+0.7=1.7\ \mathrm{V}$

$1.7\ \mathrm{V}$ 未達正飽和電壓 $+10\ \mathrm{V}$，故運算放大器可在線性區工作。

核心觀念

BJT 的工作模式由兩個接面是否順向偏壓判斷：

• 截止模式：基極—射極接面未順向偏壓，電晶體幾乎不導通。
• 主動模式：基極—射極接面順向偏壓，基極—集極接面反向偏壓。
• 飽和模式：基極—射極與基極—集極接面皆順向偏壓。

本題要先看時間點 $T$ 的兩個輸入電壓，再判斷 $Q_1$、$Q_2$ 的導通狀態，最後確認 $Q_2$ 是否進入飽和。

解題方法

由圖中波形，時間點 $T$ 時 $V_{I1}=5\ \mathrm{V}$、$V_{I2}=0\ \mathrm{V}$。

$Q_1$ 的射極接地，基極由 $V_{I2}=0\ \mathrm{V}$ 經 $R_3$ 驅動，因此基極—射極接面未順向偏壓，$Q_1$ 截止。

$Q_2$ 的集極接 $V_{CC}=5\ \mathrm{V}$，射極接輸出端，基極由 $V_{I1}=5\ \mathrm{V}$ 經 $R_4$ 驅動。以矽電晶體 $V_{BE}\approx0.7\ \mathrm{V}$ 估算，輸出電壓約為 $4.3\ \mathrm{V}$。較精確地把 $R_1$、$R_2$ 與基極電流納入計算，直流時 $C_L$ 視為開路：

輸出端套用電流關係：

核心觀念

這題考 CMOS 反相器對負載電容充、放電時的電荷量。電容電壓改變時，流過電晶體的電荷量為

一個週期內，$Q_P$ 導通時將負載電容由 $0$ 充到 $V_{DD}$；因此，每週期經過 $Q_P$ 的總電荷量為 $C_LV_{DD}$。

解題方法

輸入為週期 $T$ 的方波：

• 當 $v_i=0$ 時，$Q_P$ 導通、$Q_n$ 截止，$C_L$ 充電至 $V_{DD}$。
• 當 $v_i=V_{DD}$ 時，$Q_P$ 截止、$Q_n$ 導通，$C_L$ 放電至 $0$。

因此，$Q_P$ 在每個週期提供的電荷量為

平均電流以完整週期 $T$ 計算：

選項分析

核心觀念

NPN 電晶體工作於主動作用區時，基極—射極接面為順向偏壓，基極—集極接面為反向偏壓。傳統電流方向由集極流向射極，且有

$I_E=I_C+I_B,\qquad \beta=\frac{I_C}{I_B}.$

因此，集極電流小於射極電流；對 NPN 電晶體而言，集極電位高於射極電位。

解題方法

由 $\beta=50$ 得

所以

$\frac{I_C}{I_E}=\frac{1}{1.02}\approx0.9804,$

而不是 $1.02$。再依主動作用區的偏壓條件，NPN 電晶體的集極—射極電壓為正值，即 $V_{CE}=V_C-V_E>0$。

核心觀念

本題考查類比積體電路中，以電流鏡或電流源取代電阻性負載的優點。積體電路內的電阻通常占用較大晶片面積；而電流鏡負載可提供較大的輸出電阻，增加放大器的電壓增益。

MOS 放大器的電壓增益可近似表示為

其中 $g_m$ 為跨導，$R_{\text{out}}$ 為輸出端等效電阻。電流鏡負載的輸出電阻通常較大，因此有助於提高增益。

解題方法

判斷各選項是否符合以電流鏡或電流源取代電阻性負載的常見目的：縮小面積、降低所需電源電壓，以及提高增益。特別注意，提升增益通常仰賴較大的等效負載電阻；若說成「更小的等效電阻」，就與增益提升的原理相反。

選項分析

(A) 為了減少電路占用的面積：正確。 在積體電路中，實作較大阻值的電阻往往需要較多晶片面積。使用電流鏡或電流源作為負載，通常能以較小面積提供所需偏壓或負載功能。

核心觀念

電阻上的平均功率為

當訊號由不同頻率的正弦波組成，且各頻率彼此不同時，長時間平均下，各正弦波的交叉乘積平均值為零。因此，總平均功率等於各正弦波功率的總和。

解題方法

對於峰值振幅為 $V_m$ 的正弦波，其有效值為 $V_m/\sqrt{2}$，在電阻 $R$ 上的平均功率為

題目中兩個頻率分別為 $5\ \mathrm{kHz}$ 與 $8\ \mathrm{kHz}$，彼此不同；兩個正弦波的峰值振幅分別為 $6\ \mathrm{V}$ 與 $12\ \mathrm{V}$。又因 $R=1\ \Omega$，故

核心觀念

本題考查理想 CMOS 反相器的靜態功率損耗。理想 CMOS 由互補的 PMOS 與 NMOS 組成：穩定的高、低邏輯輸入下，兩管不會同時導通，因此電源與接地之間沒有直流通路。靜態功率可寫為

理想情況下 $I_{\text{static}}=0$，所以靜態功率為零。

解題方法

先判斷反相器處於穩定的邏輯狀態，再看電源端到接地端是否有直流電流：

• 輸入為低電位時，PMOS 導通、NMOS 截止，輸出為高電位。
• 輸入為高電位時，PMOS 截止、NMOS 導通，輸出為低電位。

兩種穩態下都只有一顆電晶體導通，另一顆截止，理想情況下沒有從 $V_{DD}$ 流向接地的靜態電流。因此

核心觀念

本題考理想運算放大器在負回授下的「虛短」與非反相放大器增益。電壓增益 $A$ 無限大且電路處於線性工作時，兩輸入端電壓相等；理想運放的輸入電流為零。

解題方法

正相輸入端接 $2\ \mathrm{V}$，因此負相輸入端電壓也是 $2\ \mathrm{V}$。負相輸入端由 $10\ \mathrm{k\Omega}$ 與 $5\ \mathrm{k\Omega}$ 電阻構成分壓器：

令 $v_-=2\ \mathrm{V}$，得：

也可直接使用非反相放大器增益公式：

核心觀念

本題考查理想二極體與電容構成的倍壓電路。電容穩態電壓由交流電源的峰值及二極體導通時的箝位電位決定；理想二極體導通壓降為 $0$。

變壓器一次側電壓峰值為 $100\ \mathrm{V}$，匝數比為 $N_1:N_2=10:1$，所以二次側峰值為

解題方法

以變壓器二次側下端作為 $0\ \mathrm{V}$ 參考點，分別看交流輸入的正、負峰值。

1. **負峰值時：**二次側上端為 $-10\ \mathrm{V}$，$D_1$ 導通，將 $C_1$ 右端箝位在參考電位附近。因此 $C_1$ 兩端電壓的大小為 $10\ \mathrm{V}$。依圖示極性，右端為正，故

同一半週中，$D_3$ 導通，使 $C_3$ 下端箝位在約 $-10\ \mathrm{V}$；其上端接參考電位，因此

2. **正峰值時：**二次側上端升至 $+10\ \mathrm{V}$。由於 $C_1$ 已充有 $10\ \mathrm{V}$，其右端電位升至約 $+20\ \mathrm{V}$。

核心觀念

本題考全波整流電路的峰值逆向電壓（$PIV$），以及中間抽頭型與橋式電路的次級線圈電壓分配。

令 $n=N_2/N_1$，輸入峰值為 $V_{i(p)}=100\text{ V}$，因此變壓器完整次級兩端的峰值電壓為

理想二極體導通時壓降為零；$PIV$ 則是二極體截止時所承受的最大逆向電壓。

解題方法

**中間抽頭全波整流：**完整次級繞組的峰值電壓為 $100n\text{ V}$，中間抽頭將其分成兩個相等半繞組，因此每半段的峰值為 $50n\text{ V}$。當一顆二極體導通時，另一顆截止，其逆向電壓為導通側半繞組電壓與截止側半繞組電壓相加：

**橋式全波整流：**每半週有兩顆二極體導通、另兩顆截止。截止二極體所承受的最大逆向電壓等於完整次級兩端的峰值電壓：

依照標準理想電路推導，兩者相等，亦即 $PIV_1=PIV_2$，而不是選項 C 的 $2PIV_1=PIV_2$。然而題目指定官方答案為 C；依該答案所採用的關係，應為 $PIV_2=2PIV_1$。這與上述標準電路定義下的推導不一致，是本題的爭議點。

選項分析

核心觀念

漣波因素 $r$ 用來衡量整流器輸出中交流漣波相對於直流平均值的大小：

其中 $V_{r(\mathrm{rms})}$ 是漣波電壓的有效值。$r$ 越小，表示交流漣波相對於直流輸出的比例越低，濾波效果越佳。漣波百分比為 $r\% = 100r\%$。

解題方法

各選項提供的數值不完全相同，先用公式將資料換算成漣波因素，再比較大小。有效值、直流平均值與漣波有效值的關係為：

(A) 只有 $V_{o(\mathrm{rms})}=15$ 與 $V_{o(\mathrm{dc})}=12$：

(B) 已知 $V_{o(\mathrm{dc})}=12$、$V_{r(\mathrm{rms})}=1$：

(C) 已知 $r=10$，漣波因素已直接給定。

核心觀念

本題考半波整流電路的變壓器電壓比例，以及半波整流輸出的頻率、峰值、有效值與平均值。

理想變壓器的電壓比等於匝數比：

理想二極體半波整流時，輸出只保留輸入正弦波的一個半週，因此：

解題方法

輸入為 $v_i(t)=20\sin(754t)$，其峰值為 $20\ \mathrm{V}$，角頻率為 $\omega=754\ \mathrm{rad/s}$。輸入頻率為：

變壓器匝數比 $N_1:N_2=2:1$，所以次級峰值電壓為：

二極體理想且採半波整流，輸出峰值為 $10\ \mathrm{V}$，輸出頻率仍為 $120\ \mathrm{Hz}$。輸出有效值與平均值分別為：

核心觀念

本題考查齊納二極體截波電路。順向導通時，題目指定視為理想二極體，因此順向壓降為 $0$；反向偏壓達到崩潰電壓時，齊納二極體會將電壓限制在其崩潰電壓。輸出峰對峰值定義為：

解題方法

圖中的 $D_1$、$D_2$ 反向串聯，接在輸出端兩端；輸入端經電阻 $R$ 接到輸出端。電阻用來限制二極體導通時的電流。

• 當輸入為正，$D_1$ 順向導通、$D_2$ 反向崩潰，輸出正向箝位於 $V_{Z2}=7\ \mathrm{V}$，因此 $V_{o,\max}=7\ \mathrm{V}$。
• 當輸入為負，$D_2$ 順向導通、$D_1$ 反向崩潰，輸出負向箝位於 $-V_{Z1}=-5\ \mathrm{V}$，因此 $V_{o,\min}=-5\ \mathrm{V}$。

核心觀念

本題考查理想二極體截波電路與週期訊號的平均值。理想二極體順向導通時壓降為 $0$，反向截止時則不導通；電阻電流為 $0$ 時，電阻兩端電壓也為 $0$。

圖中的 $4\text{ V}$ 電源正端接在電阻側，因此二極體截止時，輸出端電壓被固定在 $-4\text{ V}$。二極體導通時，輸出端則跟隨輸入訊號。

解題方法

因此輸出波形為

也就是將輸入三角波低於 $-4\text{ V}$ 的部分截在 $-4\text{ V}$。

輸入三角波對稱於零，週期為 $T=2\tau$，所以輸入平均值為 $0$。輸出相較於輸入增加的面積，是波形低於 $-4\text{ V}$ 部分與截波線之間的三角形面積。

由圖可知，波形從 $0$ 降到 $-8\text{ V}$ 花 $\frac{\tau}{2}$，再從 $-8\text{ V}$ 回升到 $0$ 也花 $\frac{\tau}{2}$。

核心觀念

本題考變壓器降壓後的半波整流，以及半波整流電壓的平均值。圖示變壓器匝數比為 $110:24$，一次側為 $110\ \mathrm{V_{rms}}$，因此二次側電壓為 $24\ \mathrm{V_{rms}}$。

半波整流的平均值採用公式：

考慮二極體順向壓降後，以 $V_{o,\mathrm{peak}}\approx V_{s,\mathrm{peak}}-V_D$ 計算。

解題方法

先將二次側有效值換算成峰值：

扣除二極體壓降，得到整流輸出峰值：

再計算半波整流的平均值：

因此依命題採用的半波整流近似公式，選項為 (B)。

選項分析

核心觀念

微分器的輸出等於輸入電壓對時間的微分：

$v_o(t)=K\frac{dv(t)}{dt}$

其中 $K$ 為微分器的比例常數。圖中的 $v(t)$ 是振幅對稱的三角波；在每一段直線上，電壓變化率為固定值，因此微分後會呈現正、負兩種固定電平。

解題方法

設三角波振幅為 $A$、週期為 $T$。振幅對稱且上升、下降斜率大小相同，斜率大小為：

$\left|\frac{dv(t)}{dt}\right|=\frac{4A}{T}$

上升段斜率為正，故微分器輸出為正固定值；下降段斜率為負，輸出為負固定值。輸出在正、負電平之間切換，波形為方波。三角波的轉折點斜率不連續，理想情況下微分值在該瞬間沒有定義；

核心觀念

二極體電路主要利用二極體的單向導電特性，讓電路在正向偏壓時導通、反向偏壓時截止，常用於整流、截波與箝位。二極體本身通常不具備放大訊號的能力；放大電路主要使用電晶體或運算放大器。

解題方法

辨認各選項是否屬於二極體的典型應用即可：

• 整流：利用單向導電，將交流轉成脈動直流。
• 截波：利用導通與截止，限制輸出波形超過特定電壓的部分。
• 箝位：配合電容與二極體，改變波形的直流位準，使波形基準點移動。
• 放大：需要主動元件提供訊號增益，二極體並非主要放大元件。

選項分析

(A) 整流電路：錯誤選項。 二極體可使交流訊號只在特定方向導通，常見的半波整流與全波整流電路都會使用二極體，因此整流是二極體的主要應用之一。

核心觀念

全波整流會將交流輸入的正、負半週都轉成同一極性的輸出。每一個輸入週期因此產生兩個輸出脈波，輸出脈波頻率是輸入交流頻率的兩倍：

解題方法

輸入頻率為 $60\ \mathrm{Hz}$，經全波整流後：

因此輸出訊號頻率為 $120\ \mathrm{Hz}$。

選項分析

核心觀念

本題考雙極性電晶體（BJT）的工作區判斷。圖中為 NPN 電晶體，集極經 $R_C$ 接至 $V_{CC}$，射極經 $R_E$ 接地。正常主動區的條件是基極—射極接面順向偏壓、基極—集極接面反向偏壓；飽和區則兩個接面皆順向偏壓，且 $V_{CE}$ 會降至很小，約為 $0.1\sim0.3\ \mathrm{V}$。

解題方法

已知 $V_{CC}=10\ \mathrm{V}$、$V_{CE}=3\ \mathrm{V}$。$V_{CE}$ 明顯大於飽和時的低電壓，因此不符合飽和區。若電晶體截止，集極電流近乎為零，$R_C$ 上幾乎沒有壓降，射極電壓也近乎為零，故 $V_{CE}$ 應接近 $V_{CC}=10\ \mathrm{V}$；題目給的 $3\ \mathrm{V}$ 不符合截止狀態。

依本題圖示電路及官方答案的命題判讀，電晶體處於主動區。

選項分析

核心觀念

本題考查小信號輸出阻抗的定義：將輸入訊號設為零，從輸出端加測試電壓或電流，求 $R_{\text{out}}=v_{\text{test}}/i_{\text{test}}$。

交流小信號分析時，直流電源 $V_{CC}$ 視為交流接地；理想電流源的小信號電阻為無限大，相當於開路。又因 $V_A=\infty$，電晶體的 $r_o=\infty$，因此集極至射極之間沒有 $r_o$ 電流路徑。

解題方法

令輸入 $v_i=0$，因此射極交流接地。圖中的電容將基極交流接地，所以基極小信號電壓為零。輸出端位於集極，並經 $R_2$ 連到基極節點。

由於基極與射極的小信號電壓皆為零，

因此受控電流源 $g_m v_{\pi}$ 為零。再加上 $r_o=\infty$，電晶體本身不提供由輸出端流出的交流電流路徑。理想電流源也呈開路，輸出端唯一的有限電阻路徑是經 $R_2$ 到交流接地的基極節點，所以

選項分析

核心觀念

本題考 MOSFET 差動對的差動增益。差動輸入定義為兩閘極電壓之差；圖中輸出極性標示為右側輸出端為正、左側輸出端為負，因此

依本題官方答案採用的理想小訊號分析，忽略 MOSFET 的輸出電阻影響，單側汲極小訊號電壓增益為 $-g_mR_D$。

解題方法

差動輸入可分解成兩側大小相等、極性相反的訊號：

在對稱差動模式下，共源端為交流虛地，故兩管的小訊號汲極電流為

每側汲極接有 $R_D$，所以

依圖示輸出極性，$v_{od}=v_{o2}-v_{o1}$，因此

核心觀念

本題考查共基極放大器的小信號電壓增益，以及用 $r_e=V_T/I_E$ 求射極小信號電阻。由於兩顆電晶體的 Early 電壓 $V_A=\infty$，可視為 $r_o=\infty$，忽略 Early 效應。

圖中下方電晶體以射極接收輸入，基極由 $V_b$ 偏壓，因此小信號下基極為交流接地，形成共基極放大器。輸出端的負載包括 $1\,\mathrm{k\Omega}$ 電阻，以及上方電晶體射極看入的小信號電阻。

解題方法

兩顆電晶體的直流集極電流皆為 $I_C=4\,\mathrm{mA}$，且 $\beta=100$，因此

單顆電晶體的射極小信號電阻為