111 初等考試五等 電子工程 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

• 理想電壓源設定節點電壓。
• 歐姆定律：$I=\dfrac{V}{R}$。
• 電阻串聯時，電流相同，總電阻為各電阻相加。
• 電路左右結構具有對稱性。

以中間接地點為 $0\text{ V}$：

• 上方電壓源上端為 $+150\text{ V}$。
• 下方電壓源下端為 $-150\text{ V}$。

因此，中間右側節點因電路上下對稱，電位為 $0\text{ V}$。

解題方法

上方支路由左側 $+150\text{ V}$ 節點，經過 $1\Omega$ 與 $49\Omega$ 電阻，連接至中間右側的 $0\text{ V}$ 節點。

兩個電阻為串聯，因此：

支路兩端電壓為：

依歐姆定律：

電流方向由高電位流向低電位，與圖中 $I_1$ 向右的方向一致。

選項分析

核心觀念

本題考查電路的對稱性、電位分析與歐姆定律。兩個 $150\text{ V}$ 電壓源以中點接地，故：

• 上方電源正端電位為 $+150\text{ V}$
• 下方電源負端電位為 $-150\text{ V}$
• 電路上下結構完全對稱

因此，右側兩個 $49\,\Omega$ 電阻的中點電位為接地電位，即 $0\text{ V}$。

解題方法

上方支路由 $+150\text{ V}$ 經過 $1\,\Omega$ 與 $49\,\Omega$ 電阻，接至右側中點。其電流為

下方支路則由右側中點經過 $49\,\Omega$ 與 $1\,\Omega$ 電阻，接至 $-150\text{ V}$，其電流大小同樣為

在右側中點：

• 上方支路有 $3\text{ A}$ 流入
• 下方支路有 $3\text{ A}$ 流出

依基爾霍夫電流定律，流經中間 $1\,\Omega$ 電阻的電流為兩者的差：

核心觀念

本題考查多範圍直流電流計的分流電阻設計。

電流計內部電阻為 $R_a=45\ \Omega$，滿刻度電流為 $I_{\mathrm{fs}}=1\ \mathrm{mA}$。當量測 $1\ \mathrm{A}$ 時，必須利用低電阻分流器 $R_3$ 分擔大部分電流，使流過電流計本身的電流不超過滿刻度值。

並聯電路兩端電壓相同，因此可利用電流計與分流電阻的電壓相等求出 $R_3$。

解題方法

電流計達滿刻度時，其兩端電壓為

總量測電流為 $1\ \mathrm{A}$，流經分流電阻 $R_3$ 的電流為

由於 $R_3$ 與電流計並聯，兩者兩端電壓相同，因此

所以選擇

選項分析

• (A) $0.025\ \Omega$：錯誤。 分流電阻過小，會分走過大的電流。此時總量測電流約為

並非 $1\ \mathrm{A}$。

核心觀念

電池的額定容量以安培小時（Ah）表示，代表電池在理想情況下可提供的電量。已知電池電壓與容量，可先求出電池儲存的能量，再用「能量 ÷ 功率」計算可供電時間：

其中容量須換算成安培小時，能量單位為瓦特小時（Wh）。

解題方法

電池容量為 $900\text{ mAh}=0.9\text{ Ah}$，因此電池的理想儲能為

手機待機功率為 $0.036\text{ W}$，可待機時間為

核心觀念

歐姆定律為 $V=IR$，因此電壓與電流的比值為

這個比值代表電路的等效電阻。電池數目增加會改變電路的電壓，但若電阻不變，電壓與電流會依歐姆定律同比例變化。

解題方法

設電路中的電阻為 $R$。接上一個電池時，電壓為 $V_1$、電流為 $I_1$，則

改接兩個相同電池串聯後，電壓加倍為 $V_2=2V_1$。在電阻不變的情況下，電流也加倍：

因此電壓與電流的比值仍為

核心觀念

金屬導體的電阻會隨溫度改變。以 $0^\circ\text{C}$ 為基準時，電阻與溫度的關係為：

其中 $R_t$ 是 $t^\circ\text{C}$ 時的電阻，$R_0$ 是 $0^\circ\text{C}$ 時的電阻，$\alpha_0$ 是以 $0^\circ\text{C}$ 為基準的電阻溫度係數。

解題方法

題目給定 $R_{50}=13\ \Omega$、$\alpha_0=0.006^\circ\text{C}^{-1}$，代入公式：

所以：

因此導體在 $0^\circ\text{C}$ 時的電阻為 $10\ \Omega$。

選項分析

核心觀念

本題考查電導與電阻的互換關係，以及串聯電阻的等效計算。

電導 $G$ 與電阻 $R$ 的關係為：

兩個電阻串聯時，先相加電阻：

再取倒數求總電導。

解題方法

已知兩個電阻的電導分別為：

先將電導換算成電阻：

因為兩個電阻為串聯，所以：

因此，$a、b$ 兩端的等效電導為：

取約值：

核心觀念

四環式電阻色碼依序代表「第一位有效數字、第二位有效數字、倍率、容差」。本題色碼為黃、綠、橙、銀：

• 前兩環讀出電阻值的有效數字。
• 第三環表示乘數。
• 第四環表示容差。

解題方法

依色碼表，黃色代表 $4$、綠色代表 $5$，因此前兩環為 $45$。橙色代表倍率 $10^3$，所以標稱電阻值為：

銀色代表容差 $\pm 10\%$，容差值為：

故電阻值及可能範圍可寫為 $45\text{ k}\Omega\pm 4.5\text{ k}\Omega$，也就是 $40.5\text{ k}\Omega$ 至 $49.5\text{ k}\Omega$。

選項分析

核心觀念

本題考查電阻串聯、並聯的等效化簡：

• 串聯電阻：電流相同，等效電阻為 $R_{\text{eq}}=R_1+R_2+\cdots$
• 並聯電阻：電壓相同，等效電阻為 $R_{\text{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

電路應由最右側開始逐段化簡。

解題方法

1. 最右側的 $10\,\Omega$ 與 $2\,\Omega$ 串聯：

2. $R_1$ 與中間的 $4\,\Omega$ 並聯：

3. $9\,\Omega$ 與 $R_2$ 串聯：

4. $R_3$ 與左側的 $4\,\Omega$ 並聯：

核心觀念

電費依用電量計算；$1$ 度電等於 $1\text{ kWh}$。用電量可由「功率 × 使用時間」求得，計算前須將功率換算為千瓦。

解題方法

$10$ 盞燈的總功率為：

連續使用 $10$ 小時，耗電量為：

總電費為 $22$ 元，因此平均每度電費為：

核心觀念

本題考查：

• 迴路電流法
• 歐姆定律 $V=IR$
• 受控電壓源
• 共用電阻上的電流方向判定

圖中左側電流源為 $2\text{ A}$，且左側迴路電流 $i_1$ 方向與電流源相同，因此：

解題方法

左上方 $10\Omega$ 電阻兩端電壓標示為 $v_o$，其電流由左向右，等於 $i_1$，所以：

右側受控電壓源的電壓為：

因此，右上節點相對於下方參考節點的電壓為 $40\text{ V}$。

設中央上方節點電壓為 $V$。由中央節點套用 KCL：

• 左側流入中央節點的電流為 $2\text{ A}$
• 經中央 $10\Omega$ 電阻向下的電流為 $\dfrac{V}{10}$
• 經右側 $10\Omega$ 電阻流向右方的電流為 $\dfrac{V-40}{10}$

故：

整理得：

右上方 $10\Omega$ 電阻中，由中央節點流向右側的電流為：

核心觀念

本題考查：

• 迴路電流法（Mesh Current Method）
• 歐姆定律：$V=IR$
• 共用電阻的電壓降，必須使用兩迴路電流的代數差
• 迴路電流若算出負值，表示實際電流方向與假設方向相反

令左、右兩個迴路電流皆採順時針方向，分別為 $i_1$、$i_2$。

解題方法

電阻單位以 $\text{k}\Omega$、電流單位以 $\text{mA}$ 表示，則乘積仍為伏特。

左迴路包含 $30\text{k}\Omega$、共用的 $120\text{k}\Omega$ 電阻及 $60\text{V}$ 電壓源。共用電阻中的電流為 $i_1-i_2$，因此依 KVL：

整理得：

右迴路包含右側 $120\text{k}\Omega$ 電阻、共用的 $120\text{k}\Omega$ 電阻及 $120\text{V}$ 電壓源。依順時針方向繞行時，通過 $120\text{V}$ 電源為電壓降，因此：

整理得：

兩式同除以 $30$：

核心觀念

戴維寧等效電壓 $V_{\text{TH}}$ 定義為端點 $a-b$ 的開路電壓：

本題端點 $a-b$ 未外接負載，因此須求開路時的 $V_a-V_b$。圖中電流源為 $2\text{ A}$，方向由中央節點流向端點 $a$。

解題方法

令端點 $b$ 為接地：

左側 $6\text{ V}$ 電壓源上端電位為 $6\text{ V}$。設中央節點電壓為 $V_c$，端點 $a$ 電壓為 $V_a$。

在開路端點 $a$ 寫 KCL。由中央節點經 $3\Omega$ 電阻流向 $a$ 的電流，加上電流源流入 $a$ 的 $2\text{ A}$，其代數和必須為零：

因此：

再對中央節點寫 KCL：

由前式可知：

代入後：

故：

因此戴維寧等效電壓為：

核心觀念

本題考查含相依電流源電路的諾頓等效電阻。電路中沒有獨立電源，計算端點 $a-b$ 所視的等效電阻時，必須在端點加上測試電壓 $V_t$，再求測試電流 $I_t$：

相依電源不可任意關閉，必須保留其控制關係 $2i_x$。

解題方法

令端點 $a$ 相對於端點 $b$ 的測試電壓為 $V_t$，因此上端電位高於下端。

中間 $2\Omega$ 電阻上的 $i_x$ 方向向上，與由上往下的電阻電流方向相反，因此：

相依電流源的電流方向向上，大小為 $2i_x$：

若統一計算由上端 $a$ 流入電路、由上往下為正方向的電流：

1. $2\Omega$ 電阻電流：

2. $4\Omega$ 電阻電流：

3. 相依電流源由上往下的等效電流為：

所以測試電流為：

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律（KCL）：任一節點的電流代數和為零，也就是

圖中中央節點與下方節點以理想導線相連，因此視為同一個節點。

解題方法

以圖中箭頭方向判斷各支路電流：

• 流入節點：$3\text{ A}$、$I$、$4\text{ A}$、$2\text{ A}$
• 流出節點：$0\text{ A}$、$5\text{ A}$、$2\text{ A}$

依 KCL：

整理得：

負號表示實際電流方向與圖中所標示的 $I$ 箭頭相反，實際大小為 $2\text{ A}$。

核心觀念

本題考查多個「電阻與電壓源串聯支路並聯」時的節點電壓計算，使用歐姆定律與基爾霍夫電流定律。

四個支路皆跨接於同一對節點，故各支路兩端電壓皆為 $V$。各電壓源上端為正、下端為負，因此各支路電流向下可表示為：

解題方法

依基爾霍夫電流定律，所有支路電流代數和為零：

展開整理：

因此：

也可直接使用並聯戴維寧電壓公式：

核心觀念

本題考查橋式電阻網路的等效電阻。端點 $c$ 與 $d$ 之間的電路包含：

• $c-a：8\Omega$
• $a-d：36\Omega$
• $c-b：16\Omega$
• $b-d：12\Omega$
• $a-b：24\Omega$

由於中間的 $24\Omega$ 電阻不可直接視為開路或短路，須使用節點電壓法求解。

解題方法

令端點 $d$ 為接地，並在 $c$、$d$ 之間加上測試電壓：

設兩個中間節點電壓分別為 $V_a$、$V_b$。

在節點 $a$ 套用 KCL：

乘以 $72$ 得：

在節點 $b$ 套用 KCL：

乘以 $48$ 得：

聯立式 $(1)$、$(2)$：

由端點 $c$ 流入電路的總電流為：

核心觀念

本題考查惠斯登電橋平衡條件、串聯分壓，以及電阻功率公式：

若電橋平衡，橋接電阻 $R_3$ 兩端電位相等，因此：

電阻消耗功率為：

解題方法

已知：

檢查電橋是否平衡：

兩者相等，因此電橋平衡，$R_3$ 中沒有電流。左、右兩側分別為串聯電路：

每一側均接在 $10\text{ V}$ 電源兩端，因此右側支路電流為：

所以 $R_5$ 消耗的功率為：

核心觀念

本題考查：

• 戴維寧等效電路
• 最大功率傳輸定理
• 電壓源輸出功率的判斷

當負載 $R_L$ 獲得最大功率時，必須滿足：

其中 $R_{\text{th}}$ 為負載端看到的戴維寧等效電阻。

解題方法

取 $2\text{ V}$ 電壓源上端電位為 $2\text{ V}$，下端接地。

先將 $R_L$ 移除，求負載端的戴維寧電壓。因為右側 $2\Omega$ 電阻沒有電流通過，故其兩端無壓降，負載上端電位等於左側節點電位 $V_A$。

左側節點套用 KCL：

因此：

故負載兩端的戴維寧電壓為：

其大小為 $5\text{ V}$。

求戴維寧電阻時：

• 1 A 電流源開路
• 2 V 電壓源短路

因此：

最大功率傳輸條件為：

此時負載支路總電阻為：

設左側節點電壓為 $V_A$，則：

整理得：

流經右側支路、由左向右定義的電流為：

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律（KCL）與歐姆定律。電路中各節點必須滿足：

左側 $20\text{ V}$ 電壓源使左端節點電位為 $20\text{ V}$，下方公共節點設為接地 $0\text{ V}$。

解題方法

設中間節點電位為 $V_C$，右側節點電位為 $V_R$。

先對右側節點套用 KCL。右側有 $10\text{ A}$ 電流源向上注入，另有 $6\text{ A}$ 電流經上方電流源向左流出，因此經過 $4\Omega$ 電阻向左流出的電流為：

此電流方向為右側節點流向中間節點，因此：

再對中間節點套用 KCL：

由 $V_R-V_C=16$，可得：

整理：

題目所求的 $I_x$ 方向由左向右，故：

核心觀念

載流導線置於磁場中，導線所受磁力大小為

$F=BIL\sin\theta$

其中 $B$ 為磁通密度，$I$ 為電流，$L$ 為導線長度，$\theta$ 為導線與磁力線的夾角。只有垂直於磁力線的導線分量會受到磁力，因此公式包含 $\sin\theta$。

解題方法

題目給定 $B=2\text{ T}$、$I=10\text{ A}$、$L=50\text{ cm}=0.5\text{ m}$，且 $\theta=30^\circ$。代入公式：

因此導線所受之力為 $5$ 牛頓。

選項分析

核心觀念

本題考法拉第電磁感應定律：線圈兩端的感應電動勢大小，等於線圈匝數乘以每匝磁通量對時間的變化率：

其中 $N$ 為線圈匝數，$\Phi$ 為每匝所鏈結的磁通量。題目給的是磁通量隨時間的函數，因此對時間微分即可求出磁通量變化率。

解題方法

已知線圈匝數 $N=10$，磁通量為

先對時間微分：

代入 $t=5\text{ 秒}$：

核心觀念

本題考查一階 RC 暫態電路，使用電容電壓的充電公式：

其中：

• $V_a(0)=0$
• $V_a(\infty)$：電容充電完成後的穩態電壓
• $\tau=R_{\text{th}}C_{\text{eq}}$：時間常數

圖中兩個 $5\,\mu\text{F}$ 電容並聯，因此：

解題方法

先求穩態電壓 $V_a(\infty)$。

在直流穩態時，電容視為開路，因此右側 $5\,\text{k}\Omega$ 與 $10\,\text{k}\Omega$ 支路沒有電流，電容上端電壓等於左側節點電壓。

兩個 $20\,\text{k}\Omega$ 電阻並聯：

因此左側形成 $15\text{ V}$ 經由 $10\,\text{k}\Omega$ 與 $10\,\text{k}\Omega$ 的分壓：

接著求時間常數。將獨立電壓源 $15\text{ V}$ 短路，從電容兩端看入：

• 電容上端至左側節點有 $5\,\text{k}\Omega$
• 左側節點至接地的等效電阻為

所以電容上端至接地等效為：

電容下端至接地為 $10\,\text{k}\Omega$，因此電容兩端所見電阻為：

時間常數：

核心觀念

電容器的電位能為

電容器並聯後，兩端電壓相同。若系統與外界隔離，總電荷守恆；因此先求並聯後的共同電壓，再計算 $60\,\mu\text{F}$ 電容器的電位能損失。

解題方法

並聯前，$60\,\mu\text{F}$ 電容器的電荷為

$90\,\mu\text{F}$ 電容器原本沒有電荷，並聯後總電容為

由電荷守恆，並聯後共同電壓為

$60\,\mu\text{F}$ 電容器並聯前、後的電位能分別為

核心觀念

本題考查磁場強度的定義。磁場強度 $H$ 等於線圈的磁動勢除以磁路長度：

其中 $N$ 為線圈匝數、$I$ 為電流，$l$ 為磁路長。磁場強度的單位為安培／公尺（$\text{A/m}$），亦可寫成牛頓／韋伯（$\text{N/Wb}$）。

解題方法

先將磁路長換算成公尺：$10\text{ 公分}=0.1\text{ 公尺}$。代入已知的匝數與電流：

因此磁場強度為 $500\text{ 牛頓／韋伯}$。

選項分析

核心觀念

本題考查電容器電壓的連續性：

電容器的電壓不能在瞬間突然改變，否則由

可知，電壓瞬間跳變將需要無限大的電流。

題目已說明開關 $S$ 閉合前，電容器未儲存能量，因此