112 初等考試五等 電子工程 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

四色環電阻的前兩環表示有效數字，第三環表示倍率，第四環表示誤差。數字色碼中，橙色為 $3$、藍色為 $6$；綠色倍率代表乘以 $10^5$；金色代表誤差 $\pm5\%$。

解題方法

將 $3.6\,\mathrm{M\Omega}$ 換算成 $3{,}600{,}000\,\Omega$，寫成兩位有效數字乘上十的次方：

因此前兩環依序為 $3$、$6$，也就是橙、藍；第三環為綠；第四環因誤差為 $\pm5\%$，使用金色。完整色環碼為「橙藍綠金」。

選項分析

• **(A) 紅紫綠金：錯誤。**紅、紫代表 $2$、$7$，此色碼表示 $27\times10^5\,\Omega=2.7\,\mathrm{M\Omega}$，不是

核心觀念

水的比熱約為 $1\ \mathrm{cal/(g\cdot{}^\circ C)}$，也就是 $1$ 公克水升高 $1^\circ\mathrm{C}$，需要 $1$ 卡的熱量。熱量與電能皆可用焦耳表示，換算關係為 $1\ \mathrm{cal}\approx 4.2\ \mathrm{J}$。

解題方法

水吸收的熱量為

其中水的質量 $m=10\ \mathrm{g}$、比熱 $c=1\ \mathrm{cal/(g\cdot{}^\circ C)}$，溫升 $\Delta T=1^\circ\mathrm{C}$，因此

換算成焦耳：

所以所需電能為 $42\ \mathrm{J}$。

選項分析

核心觀念

本題考查串聯、並聯電阻及歐姆定律：

• 兩個相同的 $18\,\Omega$ 電阻並聯： $R_p=\frac{18\times18}{18+18}=9\,\Omega$
• 串聯電路中，各元件流經的電流相同。
• 歐姆定律： $I=\frac{V}{R}$

解題方法

先將兩個並聯的 $18\,\Omega$ 電阻化為等效電阻：

$R_p=9\,\Omega$

再與 $5\,\Omega$ 電阻串聯，電路總電阻為：

$R_{\text{total}}=5+9=14\,\Omega$

由圖中電源電壓為 $28\,\text{V}$，總電流為：

$I=\frac{28}{14}=2\,\text{A}$

由於 $5\,\Omega$ 電阻與並聯電路呈串聯關係，流經 $5\,\Omega$ 電阻的電流即為總電流，因此：

核心觀念

電能（焦耳）等於電功率乘以通電時間：

$W=Pt$

電功率也可表示為電壓與電流的乘積：

$P=VI$

因此，已知電能、時間與電流時，可由 $W=VIt$ 求出電壓。

解題方法

將 $W=7200\ \mathrm{J}$、$t=30\ \mathrm{s}$、$I=2\ \mathrm{A}$ 代入：

故電阻兩端電壓為 $120$ 伏特。

選項分析

• (A) $100\ \mathrm{V}$：錯誤。 代入 $W=VIt$，消耗的能量為 $100\times2\times30=6000\ \mathrm{J}$，不符合題目給定的

核心觀念

電阻並聯時，各電阻兩端的電壓相同，等效電阻的倒數等於各電阻倒數之和：

解題方法

代入 $20\,\Omega$、$30\,\Omega$、$60\,\Omega$：

因此：

選項分析

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律與電阻消耗功率公式。

• 基爾霍夫電流定律：流入節點的電流總和等於流出節點的電流總和。
• 電阻消耗功率：

$P=I^2R$

圖中兩個 $3\,\Omega$ 電阻分別由左右兩個相同電壓源供電，電路具有左右對稱性。因此，兩個 $3\,\Omega$ 電阻的電流皆為 $1\,\text{A}$，並在中央節點匯合後流過 $6\,\Omega$ 電阻。

解題方法

在中央節點套用基爾霍夫電流定律：

$I_{6\Omega}=1+1=2\,\text{A}$

因此，$6\,\Omega$ 電阻的消耗功率為：

$P_{6\Omega}=I_{6\Omega}^2R=(2)^2(6)=24\,\text{W}$

選項分析

核心觀念

本題考查串聯與並聯電阻的等效化簡：

• 串聯：電阻相加，$R_{\text{eq}}=R_1+R_2$
• 並聯：$\displaystyle R_{\text{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

化簡時應由最內側的並聯或串聯電路開始。

解題方法

由圖可知，$30\,\Omega$ 與 $60\,\Omega$ 兩電阻並聯：

此等效電阻與上方的 $20\,\Omega$ 電阻串聯：

接著，$R_1=40\,\Omega$ 與左側的 $120\,\Omega$ 電阻並聯：

核心觀念

金屬導線在一定溫度範圍內，電阻與溫度呈線性關係。若以 $0^\circ\mathrm{C}$ 為基準，電阻可表示為

其中 $\alpha_0$ 是以 $0^\circ\mathrm{C}$ 為基準的電阻溫度係數。本題要找的是以 $80^\circ\mathrm{C}$ 為基準的溫度係數 $\alpha_{80}$，兩者基準不同，數值也不同。

解題方法

溫度係數定義為該溫度下，每升高 $1^\circ\mathrm{C}$ 所造成的電阻變化量占該溫度電阻值的比例：

由 $R_t=R_0(1+\alpha_0t)$ 可知斜率為 $\frac{dR}{dt}=R_0\alpha_0$，因此

代入 $\alpha_0=0.004\,^\circ\mathrm{C}^{-1}$、$t=80^\circ\mathrm{C}$：

核心觀念

本題考金屬的電阻溫度係數，用來描述溫度改變時，電阻相對於原電阻的變化程度。若溫度由 $T_0$ 改變 $\Delta T$，金屬電阻可近似表示為：

其中 $\alpha$ 為電阻溫度係數。對常見金屬而言，$\alpha$ 通常為正；$\alpha$ 越小，溫度變化相同時，電阻的相對變化越小。

解題方法

比較常見金屬在相同參考溫度下的電阻溫度係數即可。一般基本電學教材所列的近似值如下：

核心觀念

電費依用電量計算，基本關係為「電能＝功率 × 時間」。電能以瓩小時（kWh，俗稱度）表示；$1$ 度電就是 $1$ kWh。計算時須先將功率換成瓩、時間換成小時，再乘上每度電價。

解題方法

電鍋平均功率為 $2000$ 瓦特，換算成瓩：

煮飯時間為 $120$ 分鐘，換算成小時：

因此用電量為：

每度電價為 $2.5$ 元，電費為：

核心觀念

本題考查：

• 電壓源固定節點電位
• 克希荷夫電流定律（KCL）
• 電壓源串聯電阻的電流計算
• 超節點分析法

由左側電壓源 $v_{s1}=50\text{ V}$，可知上方節點對下方節點電壓為 $50\text{ V}$。令下方節點為接地，則上方節點電位為 $50\text{ V}$。

中央電壓源 $v_{s2}=14\text{ V}$右側為正，因此若左側節點為 $a$，電壓源右側節點電位為：

其中 $V_c$ 為電壓源右側、$8\Omega$ 電阻左側的節點。

解題方法

令節點電位如下：

• 上方節點：$50\text{ V}$
• 下方節點：$0\text{ V}$
• 節點 $a$：$V_a$
• 節點 $b$：$V_b$
• $8\Omega$ 電阻左端：$V_c=V_a+14$

對包含節點 $a$ 與 $c$ 的超節點套用 KCL：

代入 $V_c=V_a+14$，整理得：

兩邊乘以 $40$：

再對節點 $b$ 套用 KCL：

代入 $V_c=V_a+14$：

兩邊乘以 $40$：

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律（KCL）與節點電壓法。先以底部節點為接地，依電池極性判定各支路電壓，再列出節點電流方程式。

由左側 $50\text{ V}$ 電源可知：

設左、右中間節點電壓分別為 $V_A$、$V_B$。中間支路由左至右依序為 $1\,\Omega$ 電阻與 $5\text{ V}$ 電池，且 $5\text{ V}$ 電池左端為正、右端為負。

解題方法

令中間支路電流 $I$ 的方向為由 $A$ 流向 $B$，則依 KVL：

在節點 $A$ 套用 KCL：

整理得：

因此：

在節點 $B$ 套用 KCL：

整理得：

核心觀念

本題考查「短路後的節點合併」與「並聯、串聯電路等效電阻」：

• $a$ 點與 $c$ 點短路，因此 $a$、$c$ 為同一節點。
• 短路線視為理想導線，電阻為 $0\ \Omega$。
• 合併節點後，原本 $a$ 到 $b$ 的 $6\ \Omega$ 電阻，與 $c$ 到 $b$ 的 $3\ \Omega$ 電阻形成並聯。
• 電源電壓為 $24\ \mathrm{V}$。

解題方法

$a$ 點與 $c$ 點短路後，電路可重新整理如下：

1. $6\ \Omega$ 與 $3\ \Omega$ 電阻並聯：

2. 此等效電阻與 $b$ 點至下方節點的 $2\ \Omega$ 電阻串聯：

因此，從電源上端經過 $6\ \Omega$、$3\ \Omega$ 並聯組合，再經過 $2\ \Omega$ 的支路電流為：

該支路中，並聯組合兩端電壓為：

所以，通過圖中左側上方 $6\ \Omega$ 電阻的電流為：

此外，由於 $a=c$，右側的 $6\ \Omega$ 電阻直接跨接在 $24\ \mathrm{V}$ 電源兩端，其電流為：

核心觀念

本題考查理想電壓源的端電壓關係、克希荷夫電流定律，以及歐姆定律。

由圖可知：

• 上方電壓源：左端為正、右端為負，因此 $V_{\text{左上}}-V_{\text{右上}}=10\text{ V}$
• 下方電壓源：左端為負、右端為正，因此 $V_{\text{右下}}-V_{\text{左下}}=20\text{ V}$
• 斜向的 $2\,\text{k}\Omega$ 與 $3\,\text{k}\Omega$ 線路在中央交叉但沒有連接點，分屬不同支路。

解題方法

令左下節點電壓為 $0\text{ V}$，則由下方電壓源：

$V_{\text{右下}}=20\text{ V}$

設右上節點電壓為 $V$，由上方電壓源：

$V_{\text{左上}}=V+10$

將上方兩個節點視為超節點，套用克希荷夫電流定律，流向下方節點的電流代數和為零：

將單位以 $\text{k}\Omega$ 表示：

乘以 $12$：

因此：

核心觀念

負載 $R_L$ 獲得最大功率時，必須符合最大功率傳輸定理：

其中 $R_{\text{th}}$ 是從 $R_L$ 兩端看入之戴維寧等效電阻。求 $R_{\text{th}}$ 時，須將獨立電流源關閉；理想電流源關閉後等效為開路。

解題方法

將左側 $2\text{ A}$ 理想電流源開路，左上方的 $10\,\Omega$ 電阻因而不影響 $R_L$ 兩端的等效電阻。

從 $R_L$ 左、右兩端看入，有兩條電流路徑：

• 經由上方：

• 經由下方：

兩條路徑互為並聯，因此

核心觀念

本題考查串聯、並聯電阻，以及惠斯登電橋的平衡條件。

橋式電路左右兩側的電阻比相同：

因此電橋平衡，中間的 $3\,\Omega$ 電阻兩端電位相等，沒有電流通過，可視為不作用。

解題方法

右側橋式網路可化為兩條相同的串聯支路並聯：

左支路：

右支路：

兩支路並聯等效電阻為：

核心觀念

本題考查惠斯登電橋平衡條件。電橋平衡時，中間支路 $R_5$ 無電流通過，因此兩個中點 $c$、$d$ 等電位。

平衡條件為：

電源電壓為 $10\,\mathrm{V}$。

解題方法

由題目給定：

代入平衡條件：

因此：

平衡時 $R_5$ 無電流，可將左右兩支路視為獨立串聯電路。

左支路總電阻：

故 $R_1$、$R_3$ 中的電流為：

$R_1$ 的跨壓：

右支路總電阻：

核心觀念

本題考查「最大功率傳輸定理」：

負載電阻 $R_L$ 要獲得最大功率，必須等於負載端所見的戴維寧等效電阻 $R_{\text{th}}$。

由於電路含有受控源，求 $R_{\text{th}}$ 時不可直接關閉受控源，應保留受控源並以端電壓、端電流建立關係。

解題方法

設端電壓為

圖中左側 $5\text{ V}$ 電壓源、$2\text{ k}\Omega$ 電阻及受控電壓源形成迴路，因此

輸出端含有 $25\Omega$ 電阻與受控電流源 $20I_x$ 並聯。令 $i$ 為由端口 $a$ 流入電路的電流，則

代入 $I_x$：

因此端口電壓與電流關係為

其斜率即為戴維寧等效電阻：

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律（KCL）：任一節點的流入電流總和等於流出電流總和。

圖中 $i_x$ 的箭頭方向向左，表示電流由右側電阻網路流向左側兩個電流源的上端節點。

解題方法

在左側上方節點套用 KCL：

• $i_x$ 流入該節點；
• $I_1$ 與 $I_2$ 皆由該節點向下流出。

因此：

代入數值：

$R_1$ 與 $R_2$ 的數值會影響電壓 $v_x$ 及各電阻電流，但依左側節點的電流平衡，$i_x$ 直接由兩個電流源電流相加決定。

選項分析

核心觀念

本題承接第 19 題，考查並聯電路的節點電壓與基爾霍夫電流定律（KCL）。

各元件兩端電壓皆為 $v_x$，電阻電流依歐姆定律為：

由圖可知兩個電流源皆由上端流向下端，方向向下。

解題方法

取向下為電流正方向，對上方節點套用 KCL：

代入題目數值：

整理得：

因此：

所以：

負號表示實際上方節點電位低於下方節點，與圖示 $v_x$ 的正負標示相反。

選項分析

• (A) $-2.1\,\mathrm{V}$：正確。 計算結果為 $-2.14\,\mathrm{V}$，約為 $-2.1\,\mathrm{V}$。

核心觀念

本題考載流導體在磁場中的受力，以及佛萊明左手定則各手指代表的方向。導體所受磁力大小為

$F=BIL\sin\theta$

其中 $B$ 為磁通密度、$I$ 為電流、$L$ 為導體在磁場中的有效長度，$\theta$ 為電流方向與磁場方向的夾角。佛萊明左手定則用來判斷受力方向：食指指磁場方向、中指指電流方向、拇指指導體受力方向。

解題方法

逐項確認敘述是否符合公式與左手定則。特別留意「判斷受力方向」和「判斷受力大小」是不同工作：大小由 $F=BIL\sin\theta$ 計算，左手定則只用來判斷方向。

選項分析

核心觀念

本題考查電感的自然響應。電感放電時，其電流為

其中時間常數

圖中兩個 $6\,\Omega$ 電阻彼此並聯，並與 $L=1\,\mathrm{H}$ 的電感構成無源放電電路。

解題方法

先求電感所見的等效電阻：

因此電路時間常數為

已知初始電流 $i(0)=10\,\mathrm{A}$，代入自然響應公式：

所以

選項分析

核心觀念

本題考查電容器的串聯與並聯等效電容量：

• 並聯電容： $C_{\text{eq}}=C_1+C_2+\cdots$
• 串聯電容： $\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots$

圖中相同導線連接的節點電位相同，因此可先判斷各電容器的並聯、串聯關係。

解題方法

圖中左側的 $5\,\mu\mathrm{F}$、$7\,\mu\mathrm{F}$、$12\,\mu\mathrm{F}$，兩端分別接在 $a$ 與中間節點，因此三者並聯：

右側的 $8\,\mu\mathrm{F}$、$4\,\mu\mathrm{F}$、$12\,\mu\mathrm{F}$，兩端分別接在中間節點與右側節點，因此三者並聯：

接著，$C_L$ 與 $C_R$ 串聯：

核心觀念

電容器的電容量定義為電荷量與兩端電位差的比值：

$C=\frac{Q}{V}$

因此，電荷量為 $Q=CV$。電容器儲存的能量為 $W=\frac{1}{2}CV^2$；若電流固定流過一段時間，所傳輸的電荷量為 $Q=It$。

解題方法

逐一檢視各式是否符合電容器的基本定義，並檢查公式中的物理量與量綱。尤其要注意，電容器的儲能公式須含電壓平方，或改寫成其他等價形式；不能僅將電流平方乘上電容量就當作能量。

選項分析

(A) $Q=C\times V$：正確。 由電容量定義 $C=Q/V$，移項可得 $Q=CV$。

(B) $W=\frac{1}{2}C\times V^2$：正確。 電容器儲能公式為 $W=\frac{1}{2}CV^2$。

核心觀念

本題考查「互感電感並聯」的等效電感。兩個電感並聯且電流皆流入同名端（圖中兩線圈的點端均在上方），互感作用為助磁，等效電感為

其中：

• $L_1、L_2$：兩線圈自感
• $M$：互感
• $L_{ab}$：端點 $a、b$ 所見的等效電感

解題方法

因兩線圈並聯，兩端電壓相同。且圖中兩線圈電流皆流入點端，因此可列為

由兩式相等，可得總電流 $i=i_1+i_2$ 對應的等效電感公式：

代入題目數值：

核心觀念

線圈的電感 $L$ 表示電流變化時產生感應電動勢的能力。電感與電流變化率的關係為：

其中 $|e|$ 為感應電動勢大小，$\Delta i$ 為電流變化量，$\Delta t$ 為變化所需時間。題目未要求方向，因此以大小計算。

解題方法

已知 $|e|=8\,\mathrm{V}$、$\Delta i=2\,\mathrm{A}$、$\Delta t=0.5\,\mathrm{s}$。先求電流變化率：

代入電感公式：

選項分析

核心觀念

線圈的幾何尺寸與磁芯材料不變時，電感值與匝數平方成正比：

這是因為電感可表示為 $L=\dfrac{N\Phi}{I}$；在磁路條件相同時，磁通量 $\Phi$ 與線圈匝數及電流的關係，使電感值隨匝數平方變化。

解題方法

設原電感為 $L_1=0.45\ \text{H}$、匝數為 $N_1=144$；減少後匝數為 $N_2=48$，則：

因此：