114 初等考試五等 電子工程 基本電學大意 考古題詳解

核心觀念

電阻消耗的功率與電流、電阻的關係為

$P=I^2R$

其中 $P$ 為功率（瓦特）、$I$ 為電流（安培）、$R$ 為電阻（歐姆）。

解題方法

已知 $P=18\ \text{W}$、$R=2\ \Omega$，代入公式並解出電流：

$I^2=\frac{P}{R}=\frac{18}{2}=9$

$I=\sqrt{9}=3\ \text{A}$

電流大小取非負值，因此通過電阻的電流為 $3$ 安培。

選項分析

核心觀念

本題考查串聯與並聯電阻的等效電阻：

• 串聯電阻： $R_{\text{eq}}=R_1+R_2+\cdots$
• 並聯電阻： $R_{\text{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

判斷電路時，先將右側支路化簡，再處理中間的並聯電阻。

解題方法

左側的 $100\ \Omega$ 與 $500\ \Omega$ 分別位於電路入口與出口，和中間等效電阻串聯。

中間兩節點之間有兩條並聯路徑：

第一條為垂直的 $4\text{ k}\Omega$ 電阻：

$R_1=4000\ \Omega$

第二條由右側的 $400\ \Omega$、$300\ \Omega$ 與 $300\ \Omega$ 串聯而成：

$R_2=400+300+300=1000\ \Omega$

因此中間並聯部分的等效電阻為：

核心觀念

能量的 SI 單位是焦耳（J）。瓦特（W）是功率單位，表示能量轉換或作功的速率。常用的能量關係式為：

電子伏特（eV）則是能量單位，表示電子通過電位差時所獲得的能量。

解題方法

逐一辨認選項的物理量單位。若單位可表示為焦耳，或可換算成焦耳，即為能量單位；瓦特本身表示每單位時間的能量，屬於功率單位。

選項分析

核心觀念

工程標記法以 $10$ 的整數次方表示數值，並搭配 SI 前綴。電阻單位為歐姆（$\Omega$），其中百萬（mega，符號 $M$）代表 $10^6$，千（kilo，符號 $k$）代表 $10^3$，十億（giga，符號 $G$）代表 $10^9$，毫（m）代表 $10^{-3}$。

解題方法

題目給定電阻為 $7.4$ 百萬歐姆，換成數字為

因為 $10^6$ 對應前綴 $M$，所以

選項分析

• (A) $7.4\ \mathrm{m\Omega}$：錯誤。 $m=10^{-3}$，此值是 $7.4\times10^{-3}\ \Omega$，不是百萬歐姆。
• **(B) $7.4\ \mathrm{M\Omega}$：正確。

核心觀念

電阻器接在固定電壓源兩端時，消耗功率為

電壓 $V$ 固定時，功率與電阻值 $R$ 成反比：等效電阻越小，消耗功率越大。

解題方法

比較各種接法的等效電阻。因為兩個電阻皆為正值，且 $R_1>R_2$：

• 單用 $R_1$：等效電阻為 $R_1$。
• 單用 $R_2$：等效電阻為 $R_2$。
• 串聯：$R_{\text{串}}=R_1+R_2$。
• 並聯：$R_{\text{並}}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$，小於任一單獨電阻。

因此並聯的等效電阻最小，接上同一電壓源時功率最大。

選項分析

核心觀念

電阻產生的焦耳熱可用功率乘以通電時間計算：

$Q=Pt$

對電阻而言，若已知電路電壓與等效電阻，可用

$P=\frac{V^2}{R_{\text{eq}}}$

本題兩種接法的通電時間相同，因此熱量比等於功率比。計算時須同時考慮等效電阻與電壓的變化。

解題方法

串聯時，等效電阻為

$R_{\text{串}}=R_1+R_2=10+10=20\ \Omega$

設原來的電路電壓為 $V$，則串聯時產生的熱量為

$Q_1=\frac{V^2}{20}t$

並聯時，等效電阻為

並聯電路所接電壓為原來的一半，即 $V/2$，所以

核心觀念

電熱器可視為電阻負載，電阻在額定條件下固定。電功率與電阻的關係為 $P=\dfrac{V^2}{R}$，產生的熱量等於電能，故 $Q=Pt$。

解題方法

先由額定電壓與額定功率求電熱器電阻：

接上 $110$ 伏特電源時，電熱器功率為：

要產生 $75000$ 焦耳熱量，所需時間為：

選項分析

核心觀念

燈泡標示的電壓與功率，是燈泡在額定電壓下的工作條件。可用下列公式求額定電阻：

並聯時，各燈泡兩端電壓相同，且等於電源電壓。燈泡電阻視為固定時，實際功率與電流分別為：

解題方法

先由額定值比較兩燈泡電阻：

兩燈泡並聯接上 $110\ \mathrm{V}$ 電源，各自承受 $110\ \mathrm{V}$。因此 A 燈泡在額定電壓下工作，功率為 $50\ \mathrm{W}$；B 燈泡則只承受其額定電壓的一半：

核心觀念

本題考查串聯、並聯電路的等效電阻，以及歐姆定律：

$V=IR$

圖中 $5\ \Omega$ 與 $15\ \Omega$ 串聯，再與 $20\ \Omega$ 電阻並聯；整體再與 $2\ \Omega$ 電阻串聯。

解題方法

先合併右側串聯電阻：

$R_{5+15}=5+15=20\ \Omega$

因此，該 $20\ \Omega$ 與中間的 $20\ \Omega$ 並聯：

全電路等效電阻為：

$R_{\text{total}}=2+10=12\ \Omega$

電源電壓為 $36\ \text{V}$，所以總電流：

$I_{\text{total}}=\frac{36}{12}=3\ \text{A}$

兩個並聯支路的電阻皆為 $20\ \Omega$，電流平均分配，因此流經 $5\ \Omega$ 電阻所在支路的電流為：

$I_{5\Omega}=\frac{3}{2}=1.5\ \text{A}$

跨於 $5\ \Omega$ 電阻的電壓：

核心觀念

金屬導線在溫度變化不太大的範圍內，電阻可用線性關係近似：

其中 $R_{t_0}$ 是基準溫度 $t_0$ 時的電阻，$\alpha_{t_0}$ 是以 $t_0$ 為基準的電阻溫度係數。本題的基準溫度為 $50^\circ\mathrm{C}$。

解題方法

已知 $R_{50}=2\,\Omega$、$\alpha_{50}=0.004\,^\circ\mathrm{C}^{-1}$，量測電阻為 $R_t=16\,\Omega$。代入公式：

兩邊除以 $2$：

因此：

選項分析

核心觀念

本題考查電阻網路的對稱性與串、並聯等效電阻。

圖中共有四個節點：

• 端點 $a$、$b$
• 上方節點 $c$
• 中央節點 $d$

各電阻為：

• $R_{ab}=30\ \Omega$
• $R_{ac}=R_{bc}=30\ \Omega$
• $R_{ad}=R_{bd}=R_{cd}=10\ \Omega$

求端點 $a$、$b$ 間的等效電阻 $R_{ab}$。

解題方法

在 $a$、$b$ 兩端加測試電壓時，電路對交換 $a$、$b$ 具有對稱性，因此 $c$ 與 $d$ 兩點的電位相同：

因此，連接 $c$、$d$ 之間的 $10\ \Omega$ 電阻兩端電位差為零，流過該電阻的電流為零，可視為不影響等效電阻。

電路可化為三條由 $a$ 通往 $b$ 的並聯支路：

1. 直接支路：

2. 經過 $c$ 的支路：

3. 經過 $d$ 的支路：

三支路並聯，因此：

通分得：

核心觀念

本題考查：

• 基爾霍夫電流定律（KCL）
• 理想電壓源的電壓關係
• 超級節點（supernode）分析
• 歐姆定律 $I=\dfrac{V}{R}$

令下方中央節點為接地，電位為 $0$ V。設：

• 左上節點電位為 $V_1$
• 4 V 電壓源右側節點電位為 $V_2$
• 右側節點電位為 $V_3$
• 10 V 電壓源左下側節點電位為 $V_4$

解題方法

由圖中 4 V 電壓源左負右正：

因此：

由圖中 10 V 電壓源左下負、右上正：

因此：

對左側包含 $V_1$、$V_2$ 的超級節點套用 KCL。3 A 電流源將電流注入節點，因此：

代入 $V_2=V_1+4$：

整理得：

再對右側包含 $V_3$、$V_4$ 的超級節點套用 KCL：

代入 $V_2=V_1+4$、$V_4=V_3-10$：

核心觀念

本題考查戴維寧等效電路與最大功率傳輸定理。

對負載電阻 $R$ 而言，若外部電路的戴維寧等效為電壓源 $V_{\mathrm{th}}$ 串聯電阻 $R_{\mathrm{th}}$，則最大功率傳輸條件為

最大功率為

解題方法

先移除負載電阻 $R$，求其端點的戴維寧等效電壓。

右側 $3\text{ A}$ 電流源所提供的電流必須經由上方的 $2\Omega$ 電阻流入中央節點，再經由左側 $5\Omega$ 電阻流向 $10\text{ V}$ 電壓源。

中央節點電壓設為 $V_{\mathrm{th}}$，依節點電流關係：

因此

接著求戴維寧等效電阻。將獨立電壓源設為短路、獨立電流源設為開路：

• $10\text{ V}$ 電壓源短路後，左側留下 $5\Omega$ 電阻。
• $3\text{ A}$ 電流源開路後，右側 $2\Omega$ 電阻所在支路斷路，對端點沒有影響。

所以

核心觀念

本題考查電壓極性與電位差定義：

解題時依照電壓源圖示的正、負極性，沿電路逐段計算電位變化。

解題方法

設左上節點電位為 $V_T$，左下節點電位為 $V_B$。

1. 左側 $3\text{ V}$ 電壓源上端為負、下端為正，因此

所以

2. 上方 $5\text{ V}$ 電壓源左端為負、右端為正，故

3. 下方 $2\text{ V}$ 電壓源左端為正、右端為負，故

因此

計算 $V_{ab}$：

核心觀念

本題考查節點電壓法與克希荷夫電流定律（KCL）。以接地點為參考點，電阻電流使用

並依各節點「流出電流代數和為零」建立方程式。

解題方法

設左側節點電壓為 $V_1$，右側節點電壓為 $V_2$。

對節點 $V_1$ 寫 KCL：

• 經 $2\Omega$ 電阻流出：$\dfrac{V_1}{2}$
• 經 $4\Omega$ 電阻流向 $V_2$：$\dfrac{V_1-V_2}{4}$
• $6\text{ A}$ 電流源由 $V_2$ 流入 $V_1$，故對 $V_1$ 而言為流入，記為 $-6$

因此：

乘以 $4$ 得：

對節點 $V_2$ 寫 KCL：

• 經 $3\Omega$ 電阻流出：$\dfrac{V_2}{3}$
• 經 $4\Omega$ 電阻流向 $V_1$：$\dfrac{V_2-V_1}{4}$
• $6\text{ A}$ 電流源由 $V_2$ 流向 $V_1$：$+6$

核心觀念

本題考查串聯、並聯等效電阻的化簡：

• 串聯：$R_{\text{eq}}=R_1+R_2$
• 並聯：$R_{\text{eq}}=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
• 等效電阻必須由左側輸入端看入，最左端的 $5\Omega$ 也要計入。

解題方法

先處理右側電路。

右上節點至右下節點有兩條路徑：

1. 斜向的 $4\Omega$
2. 上方 $2\Omega$ 與右側垂直 $2\Omega$ 串聯：

因此兩條 $4\Omega$ 並聯：

再與下方的 $2\Omega$ 串聯：

此 $4\Omega$ 再與中間垂直的 $4\Omega$ 並聯：

所以，第一個節點經由上方 $2\Omega$ 連至此節點，形成：

第一個節點直接接地的兩條電阻為 $2\Omega$ 與 $4\Omega$，其等效值為：

核心觀念

本題考查節點電壓法與 Kirchhoff 電流定律（KCL）。

設定下方導線為接地，則左側電壓源上端節點電壓為 $64\ \mathrm{V}$。電阻兩端電壓依照歐姆定律計算，電流源方向則依箭頭判斷。

令：

• $V_1$：$20\ \Omega$ 電阻右端節點電壓
• $V_2$：右側主節點電壓
• $V_x$：$20\ \Omega$ 電阻左正右負的電壓

因此：

解題方法

在 $V_1$ 節點套用 KCL，取離開節點的電流為正：

乘以 $20$ 化簡：

在 $V_2$ 節點套用 KCL。由 $2\ \mathrm{A}$ 電流源流入 $V_2$，由受控電流源 $4V_x$ 流入 $V_2$，故：

代入 $V_x=64-V_1$：

乘以 $10$：

核心觀念

諾頓等效電流 $I_N$ 定義為負載端 $a$-$b$ 短路時，流過短路線的電流：

因此，先將圖中的 $10\ \Omega$ 負載移除，再以理想導線短接 $a$、$b$，求短路電流 $I$。

解題方法

短路後，$a$ 點與 $b$ 點等電位，可令其電壓為 $0\ \text{V}$。

設左側上方節點電壓為 $V$。左側 $16\ \text{V}$ 電壓源上端電位為 $16\ \text{V}$，故由左側節點流出的電流為：

• 經 $4\ \Omega$ 電阻流向 $16\ \text{V}$ 節點：

• 經 $6\ \Omega$ 電阻流向接地端：

• $4\ \text{A}$ 電流源方向由左向右，流出左側節點：

依據 KCL：

乘以 $12$：

因此，$6\ \Omega$ 電阻中的電流為：

核心觀念

本題考查：

• 串、並聯電阻化簡
• 電壓源的端電壓關係
• Kirchhoff 電流定律（KCL）
• 電流方向與符號判定

圖中外側導線將菱形電路的上、下端短路，因此上、下端為同一節點。

解題方法

設上、下短路節點為接地，左右兩端電位分別為 $V_L$、$V_R$。

左側電阻為 $1\Omega$ 與 $2\Omega$ 並聯：

右側電阻為 $3\Omega$ 與 $6\Omega$ 並聯：

由圖中電池極性，左端為正、右端為負，因此：

以左右兩端所形成的超節點套用 KCL，流向接地的電流代數和為零：

整理得：

因此：

代入電壓源關係：

核心觀念

本題考查基爾霍夫電流定律（KCL）：在任一節點，流入電流代數和等於流出電流代數和。以節點 $V_b$ 為分析對象，各支路電流可由歐姆定律表示為：

解題方法

以「由節點 $V_b$ 流出」為正方向：

• 經 $R_1$ 流向 $V_a$ 的電流：

$\frac{V_b-V_a}{R_1}$

• 經 $R_3$ 流向接地端的電流：因接地電壓為 $0$，故為

$\frac{V_b}{R_3}$

• 經 $R_2$ 流向 $V_c$ 的電流：

$\frac{V_b-V_c}{R_2}$

依 KCL，三支路電流代數和為零：

核心觀念

本題考查一階 $RL$ 電路的自然響應：

其中：

• $I_0$：切換瞬間的初始電流
• $\tau=\dfrac{L}{R_{\text{eq}}}$：時間常數
• 電感電流具有連續性，故 $i(0^+)=i(0^-)$

解題方法

切換前，開關位於位置 $1$，電感已達穩態。在直流穩態下，電感視為短路，因此原電路電流為

由電感電流連續性：

切換至位置 $2$ 後，電壓源與 $10\Omega$ 電阻被切離，電感經由兩個 $6\Omega$ 電阻放電，因此電感所見等效電阻為

已知

所以時間常數為

因此

選項分析

核心觀念

發電機利用電磁感應將機械能（動能）轉換成電能。當導體在磁場中運動，切割磁力線時，導體內會產生感應電動勢；若電路閉合，便有感應電流。

感應電動勢的方向可用佛萊明右手定則判斷；其大小則與磁場、導體長度及導體運動速度有關。此題主要辨別發電機的能量轉換方向，以及發電原理中的場域。

解題方法

先判斷發電機與電動機的能量轉換方向：

• 發電機：機械能（動能）轉換成電能。
• 電動機：電能轉換成機械能（動能）。

再判斷導體運動所涉及的場域：發電機藉由導體在磁場中運動產生感應電動勢，因此①、④正確，②、③錯誤。

選項分析

核心觀念

小型電容器的色碼依序表示電容量的前兩位有效數字、倍率及誤差。色碼數字對應為：黑 $0$、紅 $2$；倍率色碼表示以 $10$ 的幾次方倍計算。銀色代表誤差 $\pm 10\%$。

解題方法

紅、紅、黑、銀依序解讀：

1. 前兩環為紅、紅，數字是 $2$、$2$，組成 $22$。
2. 第三環黑色為倍率 $10^0$，因此電容量為 $22\times 10^0\ \mathrm{pF}=22\ \mathrm{pF}$
3. 最後一環銀色表示誤差 $\pm 10\%$。

選項分析

核心觀念

耦合係數 $k$ 表示兩線圈間磁耦合的程度，定義為互感量 $M$ 與兩線圈自感量乘積平方根的比值：

耦合係數為無因次量，且 $0\leq k\leq 1$。

解題方法

已知 $L_1=10\ \mathrm{mH}$、$L_2=40\ \mathrm{mH}$、$M=8\ \mathrm{mH}$。代入公式：

自感量與互感量均以 $\mathrm{mH}$ 表示，單位在比值中相消。

核心觀念

本題考查兩個互感線圈串聯時的等效電感，以及電感儲能公式。

電感儲存能量為

兩線圈串聯時，須依線圈的點標記判斷互感是相加或相減：

• 電流同時流入兩線圈的有點端，或同時流出兩線圈的有點端：互感相加。
• 電流一端流入有點端、另一端流入無點端：互感相減。

解題方法

圖中：

• $L_1$ 的有點端在左側；
• $L_2$ 的有點端在右側；
• 兩線圈串聯，中間連接的是無點端對無點端。

因此電流通過兩線圈時，會分別呈現一個線圈電流流入有點端、另一個線圈電流流入無點端，互感效應相減。

所以串聯等效電感為

代入

電流為 $I=10\ \text{A}$，故總儲能為

核心觀念

空氣芯線圈可視為磁路的相對導磁率 $\mu_r \approx 1$，因此磁導率 $\mu \approx \mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{H/m}$。磁通 $\Phi$、磁通密度 $B$ 與截面積 $A$ 的關係為 $\Phi=BA$；線圈的磁場則可用安培定律 $NI=Hl$ 求得，其中 $N$ 為匝數、$I$ 為電流、$H$ 為磁場強度、$l$ 為磁路長度。

解題方法

先由磁通量求磁通密度：

空氣芯中 $B=\mu_0H$，所以：

核心觀念

本題考查磁路與電感之基本特性，涉及磁阻定義與自感（Inductance）之計算公式：

1. 磁阻（Reluctance, $\mathcal{R}_m$）： $\mathcal{R}_m = \frac{l}{\mu A}$ 其中 $l$ 為磁路平均長度（$\mathrm{m}$）、$\mu$ 為磁芯導磁係數（$\mathrm{H/m}$）、$A$ 為磁路截面積（$\mathrm{m^2}$）。
2. 線圈電感量（$L$）： $L = \frac{N^2}{\mathcal{R}_m} = \frac{N^2 \mu A}{l}$ 其中 $N$ 為線圈匝數。