115 一般警察特考三等 消防警察人員類別 微積分 考古題詳解

核心觀念

函數在某區間內的單調性，可由導函數符號判斷：

• 若在區間內 $f'(x)>0$，則 $f(x)$ 遞增。
• 若在區間內 $f'(x)<0$，則 $f(x)$ 遞減。

本題的導函數為

$$f'(x)=(x+1)^2(x-3)^5(x-6)^4.$$

其中：

• $(x+1)^2$ 為偶次方，除 $x=-1$ 外皆為正，不會造成正負號改變。
• $(x-3)^5$ 為奇次方，會在 $x=3$ 改變正負號。
• $(x-6)^4$ 為偶次方，除 $x=6$ 外皆為正，不會造成正負號改變。

因此，判斷 $f'(x)$ 的正負，主要關鍵在於 $(x-3)^5$。

解題方法

先找出導函數為零的臨界點：

$$(x+1)^2(x-3)^5(x-6)^4=0$$

所以

$$x=-1,\quad x=3,\quad x=6.$$

將數線分成四個區間：

$$(-\infty,-1),\quad (-1,3),\quad (3,6),\quad (6,\infty).$$

判斷各區間的導函數符號：

區間	$(x+1)^2$	$(x-3)^5$	$(x-6)^4$	$f'(x)$
$x<-1$	$+$	$-$	$+$	$-$
$-1<x<3$	$+$	$-$	$+$	$-$
$3<x<6$	$+$	$+$	$+$	$+$

核心觀念

本題考查：

1. 一對一函數的判定：不同輸入值必須對應不同輸出值。
2. 反函數的求法：先令 $y=f(x)$，解出 $x$，再交換 $x,y$。
3. 反函數的定義域和值域：原函數的值域成為反函數的定義域；原函數的定義域成為反函數的值域。
4. 反函數導數公式：

$$(f^{-1})'(a)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}.$$

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解題方法

已知

$$f(x)=9-x^2,\qquad 0\leq x\leq 3.$$

（一）證明 $f(x)$ 是一對一函數

取任意 $x_1,x_2\in[0,3]$，若

$$f(x_1)=f(x_2),$$

則

$$9-x_1^2=9-x_2^2.$$

因此

$$x_1^2=x_2^2.$$

由於 $x_1,x_2\geq 0$，所以

$$x_1=x_2.$$

這表示不同的 $x$ 不會產生相同的函數值，因此 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上為一對一函數。

亦可由單調性判斷：

$$f'(x)=-2x.$$

在 $0<x\leq 3$ 時，$f'(x)<0$，且函數在整個區間 $[0,3]$ 上嚴格遞減，因此為一對一函數。

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（二）求反函數 $f^{-1}(x)$，並說明其定義域和值域

令

$$y=9-x^2.$$

解出 $x$：

$$x^2=9-y.$$

由於原函數的定義域為 $0\leq x\leq 3$，所以 $x\geq 0$，必須取非負平方根：

$$x=\sqrt{9-y}.$$

交換 $x,y$，得到反函數：

$$\boxed{f^{-1}(x)=\sqrt{9-x}}.$$

接著求其定義域和值域。

原函數在 $0\leq x\leq 3$ 上的值為

$$f(0)=9,\qquad f(3)=0.$$

因為 $f$ 在此區間上遞減，所以值域為

$$[0,9].$$

因此反函數的定義域為原函數的值域：

$$\boxed{\operatorname{Dom}(f^{-1})=[0,9]}.$$

反函數的值域為原函數的定義域：

題意釐清

題目先定義函數 $f(x)$，但三小題均詢問 $g(x)$。由於未提供 $g(x)$ 的定義，資訊不足。以下依題意合理假設 $g(x)=f(x)$，即

$$g(x)=\frac{x^2+x-6}{x-2}.$$

核心觀念

本題考查：

1. 多項式因式分解。
2. 有理函數的約分。
3. 單側極限與雙側極限的判定。
4. 可去除間斷點的極限計算。

先將分子因式分解：

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2).$$

因此，當 $x\ne 2$ 時，

$$g(x)=\frac{(x+3)(x-2)}{x-2}=x+3.$$

雖然原函數在 $x=2$ 沒有定義，但極限只考慮 $x$ 趨近於 $2$ 時的函數值，因此可以使用約分後的式子計算極限。

解題方法

因為

$$g(x)=x+3\qquad (x\ne 2),$$

所以當 $x$ 從 $2$ 的右側或左側趨近於 $2$ 時，$g(x)$ 都趨近於

$$2+3=5.$$

（一）計算 $\displaystyle \lim_{x\to 2^+}g(x)$

當 $x\to 2^+$ 時，仍有 $x\ne 2$，故

$$\lim_{x\to 2^+}g(x) =\lim_{x\to 2^+}(x+3) =2+3 =5.$$

因此，

$$\boxed{\lim_{x\to 2^+}g(x)=5}.$$

（二）計算 $\displaystyle \lim_{x\to 2^-}g(x)$

當 $x\to 2^-$ 時，仍有 $x\ne 2$，故

$$\lim_{x\to 2^-}g(x) =\lim_{x\to 2^-}(x+3) =2+3 =5.$$

因此，

核心觀念

本題考查：

1. 函數根號內必須非負，以判定定義域。
2. 導數的定義： $g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.$
3. 微分式與導數的關係： $dg=g'(x)\,dx.$
4. 定義域端點的判斷：在 $x=9$ 處，函數雖有定義，但導數不存在。

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解題方法

已知

$$g(x)=\sqrt{9-x}.$$

先由根號內必須滿足

$$9-x\geq 0$$

得到

$$x\leq 9.$$

因此

$$\operatorname{Dom}(g)=(-\infty,9].$$

對於 $x<9$，依導數定義計算：

$$g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{9-(x+h)}-\sqrt{9-x}}{h}$$

整理為

$$g'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{9-x-h}-\sqrt{9-x}}{h}.$$

分子有根號相減，乘以共軛式：

$$\begin{aligned} g'(x) &=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt{9-x-h}-\sqrt{9-x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{9-x-h}+\sqrt{9-x}} {\sqrt{9-x-h}+\sqrt{9-x}}\\ &=\lim_{h\to 0} \frac{(9-x-h)-(9-x)} {h\left(\sqrt{9-x-h}+\sqrt{9-x}\right)}\\ &=\lim_{h\to 0} \frac{-h} {h\left(\sqrt{9-x-h}+\sqrt{9-x}\right)}\\ &=\lim_{h\to 0} \frac{-1} {\sqrt{9-x-h}+\sqrt{9-x}}. \end{aligned}$$

令 $h\to 0$，可得

$$g'(x)= -\frac{1}{2\sqrt{9-x}}, \qquad x<9.$$

所以微分式為

$$\boxed{dg=-\frac{1}{2\sqrt{9-x}}\,dx}, \qquad x<9.$$

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$g(x)$ 與 $g'(x)$ 的定義域

函數 $g(x)$ 的定義域由

$$9-x\geq 0$$

決定，因此

核心觀念

本題考查「由多條曲線所圍成區域的面積」，主要使用：

1. 找出曲線的交點，確定積分範圍。
2. 判斷在該範圍內上方曲線與下方曲線。
3. 利用面積公式 $A=\int_a^b\bigl[\text{上方函數}-\text{下方函數}\bigr]\,dx.$

三條曲線為

$y_1=e^x,\qquad y_2=xe^x,\qquad x=0.$

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解題方法

一、求兩曲線的交點

令 $y_1=y_2$：

$e^x=xe^x.$

因為 $e^x>0$，兩邊同除以 $e^x$，得

$1=x.$

因此兩曲線交於

$x=1,\qquad y=e.$

另一條邊界為直線 $x=0$，所以封閉區域的 $x$ 範圍為

$0\le x\le 1.$

二、判斷上下關係

在 $0\le x\le 1$ 時，

$e^x-xe^x=e^x(1-x)\ge 0.$

因此：

• 上方曲線為 $y=e^x$；
• 下方曲線為 $y=xe^x$。

所以面積為

$$A=\int_0^1\left(e^x-xe^x\right)\,dx =\int_0^1 e^x(1-x)\,dx.$$

三、計算定積分

先求不定積分：

核心觀念

本題考查一元函數的微分應用：

• 一階導數 $y'(x)$ 判斷函數的遞增、遞減。
• 一階導數由正變負，為相對極大值；由負變正，為相對極小值。
• 二階導數 $y''(x)$ 判斷函數的凹向：
• $y''(x)>0$：圖形上凹。
• $y''(x)<0$：圖形下凹。
• 凹向發生改變的點，稱為反曲點。

已知

$$y(x)=x^3-12x+12.$$

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解題方法

先求一階導數與二階導數：

$$y'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2),$$ $$y''(x)=6x.$$

利用 $y'(x)$ 的正負判斷遞增、遞減，再利用 $y''(x)$ 判斷凹向與反曲點。

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（一）函數的遞增或遞減區間

令一階導數為零：

$$3(x-2)(x+2)=0,$$

因此臨界點為

$$x=-2,\qquad x=2.$$

將數線分成三個區間：

區間	$x-2$	$x+2$	$y'(x)$	函數變化
$(-\infty,-2)$	$-$	$-$	$+$	遞增
$(-2,2)$	$-$	$+$	$-$	遞減
$(2,\infty)$	$+$	$+$	$+$	遞增

因此：

$$\boxed{\text{遞增區間為 }(-\infty,-2)\cup(2,\infty)}$$ $$\boxed{\text{遞減區間為 }(-2,2)}$$

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（二）函數的相對極大值與相對極小值

1. 相對極大值

在 $x=-2$ 附近，$y'(x)$ 的符號由正變負：

$$+\longrightarrow-$$

因此 $x=-2$ 為相對極大值所在位置。

代入原函數：

$$y(-2)=(-2)^3-12(-2)+12$$ $$=-8+24+12=28.$$

所以相對極大點為

$$\boxed{(-2,28)}$$

相對極大值為

$$\boxed{28}.$$

2. 相對極小值

在 $x=2$ 附近，$y'(x)$ 的符號由負變正：

$$-\longrightarrow+$$

因此 $x=2$ 為相對極小值所在位置。

代入原函數：

$$y(2)=2^3-12(2)+12$$

核心觀念

本題考查一維直線運動中位置、速度與加速度的微分關係：

• 速度為位置對時間的一階導數： $v(t)=s'(t)=\frac{ds}{dt}$
• 加速度為速度對時間的一階導數，也就是位置對時間的二階導數： $a(t)=v'(t)=s''(t)=\frac{d^2s}{dt^2}$

已知位置函數為：

$$s(t)=t^3-3t$$

其中 $s$ 的單位為公尺，$t$ 的單位為秒。

解題方法

（一）求速度函數與加速度函數

對位置函數微分一次，得到速度：

$$v(t)=s'(t)$$ $$v(t)=\frac{d}{dt}(t^3-3t)=3t^2-3$$

因此速度函數為：

$$\boxed{v(t)=3t^2-3\ \text{m/s}}$$

再對速度函數微分一次，得到加速度：

$$a(t)=v'(t)$$ $$a(t)=\frac{d}{dt}(3t^2-3)=6t$$

因此加速度函數為：

$$\boxed{a(t)=6t\ \text{m/s}^2}$$

（二）當速度為 $0$ 時的加速度

令速度等於 $0$：

$$v(t)=3t^2-3=0$$

整理得：

$$3t^2=3$$ $$t^2=1$$ $$t=\pm 1$$

由於時間通常限定為 $t\geq 0$，故取：

$$t=1\ \text{秒}$$

代入加速度函數：

$$a(1)=6(1)=6$$