114 一般警察特考三等 消防警察人員類別 微積分 考古題詳解

（一）定義域與連續性

核心觀念

有理函數的定義域，是使分母不為 $0$ 的所有實數。分式函數在定義域內連續。

解題方法

令分母不為 $0$：

因此，$F$ 的定義域為

因為 $F(x)=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$ 是有理函數，在分母不為 $0$ 的每一點都連續，所以 $F$ 在上述定義域內連續。$x=1$ 與 $x=-1$ 不屬於定義域，函數在這兩點無定義，且分母為 $0$，因此有垂直漸近線，不能稱為在這兩點連續。

解題技巧

先令分母不為 $0$，即可找出定義域中排除的點；判斷有理函數的連續性時，再確認該點是否仍在定義域內。

核心觀念

函數圖形的凹性由二階導數判斷：

• 若在某區間 $f''(x)>0$，圖形在該區間凹向上。
• 若在某區間 $f''(x)<0$，圖形在該區間凹向下。
• $f''(x)=0$ 的點只是凹性可能改變的位置，還須檢查二階導數在該點左右是否變號，才能判定是否為反曲點。

解題方法

對 $f(x)=x^4+x^3-3x^2+1$ 連續微分兩次：

令 $f''(x)=0$，得凹性可能改變的位置：

依這兩點將數線分成三個區間，判斷 $f''(x)$ 的正負：

核心觀念

邊際成本 $\frac{dC}{dx}$ 表示產量增加時，總成本 $C(x)$ 的變化率。已知邊際成本函數，對產量積分即可得到總成本函數；積分後的常數則由已知成本條件決定。

解題方法

已知

對 $x$ 積分：

其中 $K$ 為積分常數。

核心觀念

將平面區域繞 $x$ 軸旋轉，可用圓盤法求體積。若區域在 $x=a$ 至 $x=b$ 間，且每個垂直於 $x$ 軸的截面旋轉後形成半徑為 $R(x)$ 的圓盤，則

本題中，半徑是曲線到 $x$ 軸的距離 $|f(x)|$；平方後為 $[f(x)]^2$。

解題方法

先找曲線與 $x$ 軸的交點，以確定所圍區域的範圍：

因此，所圍區域位於 $0\le x\le 1$。在此區間內，$f(x)=x(1-x)\ge 0$，繞 $x$ 軸旋轉時，每個截面的圓盤半徑為 $R(x)=-x^2+x$。代入圓盤法：

核心觀念

函數圖形的反曲點，是曲線凹向改變的點。若函數在 $x=c$ 處二階導數存在，且 $f''(x)$ 在 $c$ 的左右兩側異號，則 $x=c$ 為反曲點。令 $f''(c)=0$ 是尋找反曲點的常用方法，但還須確認凹向確實改變。

解題方法

對常態機率密度函數

連續微分兩次，再檢查二階導數於 $x=\pm1$ 兩側的符號。

首先，由鏈鎖律，

再用乘積律微分：