112 一般警察特考四等 消防警察人員 普通物理學概要與普通化學概要 考古題詳解

核心觀念

靜電系統的電位能是所有「兩兩電荷組合」電位能的總和。兩個電荷 $q_1$、$q_2$ 相距 $r$ 時，電位能為

其中 $k$ 為庫侖常數。本題的電子電量相同，因此每一對電子的電位能都為正值。

解題方法

設 $A$、$B$ 兩點相距 $d$，電子電量量值為 $e$。原本兩個電子間的電位能為

在中點加入第三個電子後，三對電子間的距離分別為 $d$、$d/2$、$d/2$。因此系統總電位能為

所以

核心觀念

油滴靜止懸浮，表示合力為零。重力大小為 $W$、方向向下；油滴帶電量為 $-q$，其中 $q>0$。電場力遵守

其中 $Q=-q$。負電荷所受電場力方向與電場方向相反。

解題方法

要平衡向下的重力，電場力必須向上，且大小等於 $W$。因為油滴帶負電，電場方向須與電場力相反，因此電場向下。

再由電場力大小 $F_e=|Q|E=qE$，得到

所以電場大小為 $\frac{W}{q}$，方向向下。

選項分析

依原頁掃描圖，選項 A、B 的大小寫為 $qW$，選項 C、D 的大小寫為 $\frac{W}{q}$：

核心觀念

本題考查串聯電阻的等效電阻，以及固定電壓下電源輸出功率與負載電阻的關係。串聯電阻的總電阻為各電阻相加；理想直流電源的電壓固定時，輸出功率可用 $P=\dfrac{V^2}{R}$ 計算。

解題方法

原本有 $4$ 個 $5\ \Omega$ 電阻串聯，等效電阻為

電源電壓為 $20\ \mathrm{V}$，因此原輸出功率為

將電阻全部換成 $4\ \Omega$ 後，新的等效電阻為

新輸出功率為

所以新功率與原功率的比值為

電源輸出功率變為原來的 $\frac{5}{4}$ 倍。

選項分析

核心觀念

本題考查靜電屏蔽：在靜電平衡時，封閉導體內部的空腔不受外部電荷所造成的電場影響。這是由導體內自由電荷重新分布，使導體材料內部的電場為零，並使封閉空腔內的外部電場效應被屏蔽。

解題方法

容器蓋上金屬蓋子後，容器與蓋子構成完全封閉的導體。帶電物體乙位於導體外，甲則位於導體內部的空腔中，且甲固定在絕緣板上。

乙在導體表面感應出電荷，表面電荷重新分布後，外部電荷造成的電場不會進入封閉空腔。因此，乙在甲所在位置造成的電場為零，乙施給甲的靜電力為

題目中的 $F$ 是未蓋上金屬蓋時乙對甲的力；蓋上後由於靜電屏蔽，乙對甲的力降為零。

核心觀念

本題考查：

• 串聯電阻：電阻相加。
• 並聯電阻：先求各支路的等效電阻。
• 理想電池與外電路的總電阻關係：

圖中電池所在支路具有 $5\ \Omega$ 電阻；其餘部分為電池的外電路。

解題方法

先觀察電池兩端的外電路：

1. 中間兩條支路各為 $10\ \Omega$，彼此並聯：

2. 左側 $6\ \Omega$ 與右側 $4\ \Omega$ 經由下方導線形成串聯：

3. 以上得到的 $5\ \Omega$、$10\ \Omega$ 及另一條 $10\ \Omega$ 支路，三者皆跨接在 $P$、$Q$ 兩點，因此彼此並聯：

先合併兩個 $10\ \Omega$：

所以：

電池所在支路的 $5\ \Omega$ 電阻與外電路等效電阻串聯，因此總電阻為：

故通過電池的電流：

核心觀念

電容器的串、並聯會改變等效電容。若儲能器接在相同電壓下，為使電路其他部分的電壓不變，替換前後的等效電容須相同。

• 並聯：$C_{\text{並}}=C_1+C_2+\cdots$
• 串聯：$\dfrac{1}{C_{\text{串}}}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}+\cdots$

解題方法

原儲能器由三個電容值均為 $C_1$ 的電容器並聯，因此等效電容為

新儲能器由兩個電容值均為 $C_2$ 的電容器串聯，因此

核心觀念

本題考查交流電路中電容的容抗，以及有效電壓與有效電流的關係。電容對交流電的阻礙稱為容抗：

其中 $f$ 為交流電頻率，$C$ 為電容量。電路電阻可忽略時，電容電流的有效值為：

解題方法

先將電容量換成法拉：

代入頻率 $f=50\ \mathrm{Hz}$、電壓 $V=20\ \mathrm{V}$：

因此，流經電容的電流為約 $0.157\ \mathrm{A}$。

選項分析

核心觀念

本題的核心物理觀念為導體電阻定律（電阻的幾何形式）： $R = \rho \frac{L}{A}$ 其中：

• $\rho$ 為材料的電阻率（題目設定材質與溫度皆相同，故 $\rho$ 為定值）。
• $L$ 為電流在導體內流經的路徑長度。
• $A$ 為垂直於電流流向的導電截面積。

此外，本題在數學運算上運用了連比例的通分與化簡技巧，並涉及國家考試中「方塊薄片電阻特性」與「命題簡化模型」的爭議判讀。

解題方法

步驟一：官方命題邏輯推導（得出正解 (C) 的模型）

命題委員在設計此題時，著眼於三塊金屬薄片在二維尺寸上的對稱輪換特性。其命題思路是將各薄片的電阻視為與其板面幾何尺寸乘積（$x \times y$）成反比（即等效將板面面積作為決定電阻阻礙特性的主導參數）：

• 第 1 塊金屬片的板面特徵量：$S_1 = a \cdot b$
• 第 2 塊金屬片的板面特徵量：$S_2 = b \cdot c$
• 第 3 塊金屬片的板面特徵量：$S_3 = c \cdot a$

若電阻比與板面面積呈倒數反比關係，則三者的電阻比為： $R_1 : R_2 : R_3 = \frac{1}{ab} : \frac{1}{bc} : \frac{1}{ca}$

將各項同乘以三者分母的公倍數 $abc$： $R_1 : R_2 : R_3 = \frac{abc}{ab} : \frac{abc}{bc} : \frac{abc}{ca} = c : a : b$

由此即導出官方公布的答案 (C)。

步驟二：嚴格物理定義推導與試題爭議點剖析

若依嚴格物理學定義計算：以三用電表在 $x$ 方向的兩端面量測，電流沿著 $x$ 軸方向流動，此時：

• 長度為 $x$ 方向的長度：$L_1 = a$、$L_2 = b$、$L_3 = c$。
• 導電截面積為垂直於 $x$ 方向的斷面（即 $y$ 方向長度乘上厚度 $t$）：$A_1 = b \cdot t$、$A_2 = c \cdot t$、$A_3 = a \cdot t$。

依此計算各薄片電阻： $R_1 = \rho \frac{a}{bt},\quad R_2 = \rho \frac{b}{ct},\quad R_3 = \rho \frac{c}{at}$

理論上的電阻比應為： $R_1 : R_2 : R_3 = \frac{a}{b} : \frac{b}{c} : \frac{c}{a}$

各項同乘以 $abc$ 後，理論比值實為 $a^2 c : a b^2 : b c^2$。

【爭議點點評】 本題的選項中並無 $\frac{a}{b} : \frac{b}{c} : \frac{c}{a}$ 此一選項，題幹特別使用「可能得到的電阻比」，反映出本題命題時的特殊性：

核心觀念

金屬導線的電阻與導線長度成正比、與截面積成反比：

其中 $\rho$ 是材料的電阻率，$L$ 是導線長度，$A$ 是截面積。由歐姆定律 $I=\frac{V}{R}$，在電壓、材料及截面積都不變時，電流與導線長度成反比。

解題方法

原導線長度為 $30\ \mathrm{m}$，電流為 $2.0\ \mathrm{A}$。長度增為 $60\ \mathrm{m}$，是原來的 $2$ 倍，因此電阻也變為 $2$ 倍。由於電源電壓仍為 $5\ \mathrm{V}$，電流減為原來的一半：

核心觀念

本題考查串聯 $RL$ 交流電路的：

• 正弦交流電壓峰值與方均根值的換算
• 電感抗抗 $X_L$
• 串聯 $RL$ 電路的阻抗
• 方均根電流的計算

已知交流電源為

其中 $V_0$ 是電壓峰值，不是方均根電壓。

解題方法

1. 電壓方均根值

2. 角頻率與電感抗抗

頻率為 $f=100\ \mathrm{Hz}$，因此

電感為

電感抗抗為

3. 電路阻抗

電阻與電感串聯，阻抗大小為

代入 $R=40\ \Omega$：

4. 計算方均根電流

核心觀念

本題考查熱力學第一定律與定壓過程的熱量。對單原子理想氣體，內能變化為

熱力學第一定律寫作 $Q=\Delta U+W$，其中 $W$ 是氣體對外作功。定壓膨脹時，氣體作功為 $W=P\Delta V$；又由理想氣體方程式 $PV=nRT$，可得 $nR\Delta T=P\Delta V$。

解題方法

體積增加 $\frac{V}{3}$，因此

定壓下的作功為

內能增加量為

代入熱力學第一定律：

核心觀念

此題考查熱量守恆與比熱、熔化潛熱的計算。將鐵罐和原有的水視為一個熱水系統；加入冰塊後，熱水系統放出的熱量等於冰塊融化及升溫所吸收的熱量。鐵罐與水起初都為 $30℃$，冰塊為 $0℃$。

解題方法

先確認熱水系統放出的熱量是否足以融化全部冰塊。取水的比熱為 $1\ \mathrm{cal/(g\cdot℃)}$、冰的熔化熱為 $80\ \mathrm{cal/g}$。

若冰全部融化，設最後平衡溫度為 $T℃$。鐵罐和原有的水降溫放熱：

冰塊先融化，再由 $0℃$ 升溫至 $T℃$，吸熱：

依熱量守恆，$Q_{\text{放}}=Q_{\text{吸}}$：

核心觀念

本題考查固體的熱膨脹。銅片升溫時，長度與寬度都會膨脹，因此面積也會增加。若線膨脹係數為 $\alpha$，且溫度變化不大，面膨脹係數約為 $2\alpha$，所以面積變化量為

其中 $A_0$ 是初始面積，$\Delta T$ 是溫度變化。

解題方法

溫度由 $0℃$ 升至 $50℃$，故 $\Delta T=50℃$。代入題目數據：

因此銅片面積約增加 $0.668\ \mathrm{cm^2}$。

選項分析

核心觀念

熔化時，物質在熔點下由固態轉變為液態，溫度維持不變。可逆相變的熵變為吸收的熱量除以相變時的絕對溫度：

鉛吸收的熔化熱為 $Q=mL_f$。計算時須將攝氏溫度換算為絕對溫度。

解題方法

先計算鉛完全熔化所需的熱量：

熔點換算為絕對溫度：

因此熵變為：

熔化是吸熱過程，鉛的熵增加，故熵變為正值。

核心觀念

本題評量熱力學第一定律、理想氣體微觀狀態性質，以及卡諾熱機（Carnot heat engine）之運作過程與熱效率定義：

1. 理想氣體的內能（Internal Energy）： 理想氣體的內能 $U$ 僅取決於系統的絕對溫度 $T$（焦耳定律），即 $U = U(T)$。若為單原子理想氣體，其內能為 $U = \frac{3}{2}nRT$。

• 在任何等溫過程（Isothermal process）中，因溫度變化量 $\Delta T = 0$，故內能變化量必為零： $\Delta U = 0$

2. 卡諾熱機效率（Carnot Efficiency）： 卡諾循環由「兩個可逆等溫過程」與「兩個可逆絕熱過程」構成。其熱效率 $\eta$ 僅由高溫熱庫與低溫熱庫的絕對溫度決定： $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ 其中 $T_H$ 為高溫熱庫絕對溫度，$T_L$ 為低溫熱庫絕對溫度。提高高溫熱庫溫度 $T_H$ 或降低低溫熱庫溫度 $T_L$，皆可提升熱機的理論最大熱效率。

3. 熵（Entropy）與循環過程： 熵 $S$ 為狀態函數（State function）。在卡諾循環中的各分部過程中：

• 可逆等溫過程：有熱量傳遞（$Q \neq 0$），系統的熵變化量 $\Delta S = \frac{Q}{T} \neq 0$。
• 可逆絕熱過程：無熱量傳遞（$Q = 0$），為等熵過程，$\Delta S = 0$。
• 僅當完成「一整個封閉循環」時，工作流體的淨熵變化量才回到原點（$\Delta S_{\text{cycle}} = 0$）。

解題方法

1. 驗證內能變化（選項 A、B）： 利用理想氣體內能僅與溫度相關之性質，檢驗等溫膨脹與等溫壓縮過程的 $\Delta U$ 是否為零。
2. 驗證熵變性質（選項 C）： 檢驗卡諾循環中各分部過程的熱傳遞特性，判斷「在過程中的熵變化」是否恆為零。
3. 驗證熱機效率之控制因素（選項 D）： 代入卡諾熱機效率公式 $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$，評估提高高溫熱庫溫度對熱機效率的影響。

選項分析

• (A) 錯誤： 在等溫膨脹過程中，系統維持定溫（$T = \text{const}$，即 $\Delta T = 0$）。由於理想氣體的內能僅為溫度的函數，因此內能變化量為零（$\Delta U = 0$），而非負值。

核心觀念

本題考查史蒂芬–波茲曼定律：物體每秒散發的熱輻射能量，即熱輻射功率，與表面積及絕對溫度的四次方成正比：

$P=A\sigma\varepsilon T^4$

其中 $A$ 為表面積、$\sigma$ 為史蒂芬–波茲曼常數、$\varepsilon$ 為輻射率，$T$ 必須使用絕對溫度（K）。

解題方法

代入題目給定的 $A=10\ \mathrm{m^2}$、$\varepsilon\approx1$、$T=1000\ \mathrm{K}$：

核心觀念

本題考查連通液體的靜水壓平衡。液體靜止時，同一水平面上的壓力相等；液柱造成的壓力為 $P=\rho gh$，其中 $\rho$ 為液體密度、$g$ 為重力加速度、$h$ 為液柱高度。

水銀兩臂截面相同，因此右臂水銀面下降的距離，等於左臂水銀面上升的距離。

解題方法

設左臂水銀面上升 $x\ \mathrm{cm}$，則右臂水銀面下降 $x\ \mathrm{cm}$，兩側水銀面的高度差為 $2x$。

在右側水銀與水的交界面取水平面比較壓力。右側有 $13.6\ \mathrm{cm}$ 高的水柱；左側相同水平面處，比左臂水銀面低 $2x$，故兩側壓力平衡：

代入 $\rho_{\text{水銀}}=13.6\rho_{\text{水}}$，約去共同因子 $\rho_{\text{水}}g$：

核心觀念

木塊漂浮時，受到的浮力與木塊重量平衡。依阿基米德原理，浮力等於排開海水的重量，因此沒入海水中的體積占總體積的比例，等於木塊密度與海水密度之比。

解題方法

設木塊總體積為 $V$，沒入海水中的體積為 $V_{\text{沒}}$。漂浮平衡時：

約去重力加速度 $g$，可得：

核心觀念

本題考查流體力學中的托里切利定律。水塔水面與水龍頭皆受大氣壓作用，且水塔截面積遠大於水龍頭截面積，因此可將水面速度視為近似零。由伯努力方程可得，水龍頭流速只由水面與水龍頭的高度差決定：

其中 $h$ 是水面到水龍頭的垂直高度差，$g$ 為重力加速度。

解題方法

水塔水面離地 $15\ \mathrm{m}$。甲、乙水龍頭離地高度分別為 $1\ \mathrm{m}$、$7\ \mathrm{m}$，因此：

依托里切利定律，兩處流速比為：

核心觀念

本題考查：

• 帕斯卡原理：密閉液體所受壓力會傳遞至各處。
• 液體靜力學：同一液體中，深度差造成壓力差 $\Delta P=\rho g h$

題目已說明原本兩活塞底部同高且恰好平衡，因此兩活塞原有的重量所造成的壓力差已互相平衡。放置物體後，只需考慮新增的壓力。

解題方法

小活塞面積為

$A_s=40\ \mathrm{cm^2}=4.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$

放置 $1.0\ \mathrm{kg}$ 物體後，小活塞增加的壓力為

$\Delta P=\frac{mg}{A_s}$

水的密度取

$\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}$

由液體靜力平衡：

$\rho gh=\frac{mg}{A_s}$

約去 $g$：

$h=\frac{m}{\rho A_s}$

代入數值：

核心觀念

環烷類是分子中含有碳環的飽和烴。單環環烷類的通式為 $\mathrm{C_nH_{2n}}$（$n\geq 3$）；碳原子數至少為 3，才能形成環。這個通式也適用於含一個碳碳雙鍵的烯類，因此判斷時還要留意碳數與結構。

解題方法

逐一比對選項的分子式與單環環烷類通式。符合 $\mathrm{C_nH_{2n}}$ 且 $n\geq 3$ 的分子式，可能具有環烷結構；僅憑分子式只能判斷「可能」，不能單獨確認實際結構。

選項分析

• (A) $\mathrm{C_2H_4}$：錯誤。 符合 $\mathrm{C_nH_{2n}}$，但只有 2 個碳原子，無法形成碳環；它可為乙烯。

核心觀念

本題考查元素的電負度週期性。電負度表示原子在化學鍵中吸引共用電子的能力；常用的鮑林電負度尺度中，數值越大，吸引電子的能力越強。

同一週期由左至右，核電荷增加，而原子半徑通常減小，因此電負度整體增加。C、N、O、F 都位於元素週期表第二週期，位置由左至右依序為 $\mathrm{C}$、$\mathrm{N}$、$\mathrm{O}$、$\mathrm{F}$。

解題方法

依第二週期由左至右電負度遞增的趨勢排列，可得：

因此選出與此順序相同的選項。

選項分析

核心觀念

本題考鹼金屬的族性變化與化學性質。鹼金屬是週期表第 1 族元素（不含氫），價電子組態為 $ns^1$，因此通常形成 $+1$ 氧化態。由上而下，原子序增加、原子半徑增大，最外層電子受到原子核的束縛減弱，游離能因此降低。

解題方法

逐項檢視鹼金屬的共同性質，並特別留意第 1 族由上而下的趨勢。若游離能隨原子序增加而「增大」，就與游離能向下遞減的週期性趨勢相反。

選項分析

• (A) 正確。 鹼金屬化性活潑，容易與其他物質反應，因此自然界中通常以化合態存在。
• **(B) 正確。

核心觀念

烷類分子主要透過倫敦分散力（凡得瓦爾力）彼此吸引。分子量與碳鏈長度增加時，電子雲較容易極化，分子間吸引通常增強，液體流動的阻力也較大，因此黏度通常上升。同碳數的異構物相比，支鏈結構的分子接觸面積較小，分子間作用較弱，黏度通常低於直鏈異構物。

解題方法

先比較各選項的碳數，再比較是否為直鏈：

• 正己烷：$6$ 個碳，直鏈。
• 正庚烷：$7$ 個碳，直鏈。
• 正辛烷：$8$ 個碳，直鏈。
• 2-甲基庚烷：$8$ 個碳，但有支鏈。

碳數較多通常有較強的分散力；碳數相同時，直鏈分子通常比支鏈分子黏度高。因此，正辛烷兼具選項中最多的碳數與直鏈結構，黏度最大。

選項分析

核心觀念

本題考查理想氣體方程式：

$PV=nRT$

在壓力 $P$、物質的量 $n$ 固定時，體積 $V$ 與絕對溫度 $T$ 成正比：

$V=\frac{nR}{P}T$

因此，$V$－$T$ 圖應為通過原點的直線，斜率為：

選項分析

• (A) 圖線通過原點，且斜率為 $0.082$，符合理想氣體方程式，正確。

核心觀念

電解質溶於水後能形成可移動的離子，使水溶液導電。強電解質在水中幾乎完全解離或電離；弱電解質只部分形成離子；純水的離子極少，導電能力極弱。

解題方法

判斷各物質溶於水後是否大量形成離子：

• 可溶性離子化合物，如氯化鈉，溶於水後解離成離子，屬強電解質。
• 強酸、強鹼在水中幾乎完全電離或解離，屬強電解質。
• 純水僅有極少量分子自解離成離子，不屬強電解質。

選項分析

• (A) 純水（$\mathrm{H_2O}$）：水的自解離程度極低，形成的 $\mathrm{H_3O^+}$ 與 $\mathrm{OH^-}$ 很少，導電性極弱，非強電解質。

核心觀念

本題考溶液濃度的不同表示法，以及加入非揮發性溶質對沸點的影響。體積莫耳濃度以溶液體積為分母；重量百分比以溶質質量除以溶液質量；重量比百萬分濃度（ppm）則以溶質質量除以溶液質量，再乘上 $10^6$。

解題方法

先由乙醇體積與密度求出乙醇質量，再求莫耳數。題目給的 $100\ \mathrm{mL}$ 是溶液體積，而 $0.982\ \mathrm{g/mL}$ 是溶液密度，可進一步求溶液總質量。

乙醇質量：

乙醇莫耳數：

體積莫耳濃度：

因此，乙醇的體積莫耳濃度為 $3.43\ \mathrm{M}$。

選項分析

(A) 正確。 依上述計算，乙醇莫耳數約為 $0.3425\ \mathrm{mol}$，溶液體積為 $0.100\ \mathrm{L}$，故莫耳濃度約為 $3.43\ \mathrm{M}$。

核心觀念

本題考青銅與純銅的材料性質差異。青銅主要是銅與錫組成的合金，加入其他元素後，材料的硬度、強度、延展性與導電性都會改變。一般而言，青銅比純銅硬，但導電性較差；其韌性與脆性則會隨合金成分及比例而變化，不能一概而論。

解題方法

先比較合金化對金屬性質的典型影響：溶入合金元素會妨礙金屬原子層滑動，因此通常能提高硬度與強度；但原子排列受到干擾，電子傳導也會受阻，使導電性通常下降。再逐項檢視選項，避免把「硬度增加」直接推論成「一定脆而易碎」，或把耐久性與完全不銹蝕混為一談。

選項分析

核心觀念

本題考查離子化合物的電荷平衡與元素的氧化數判定。化合物整體呈電中性，因此陽離子的總正電荷必須等於陰離子的總負電荷。常見離子電荷包括：

• $\mathrm{Na^+}$：$+1$
• $\mathrm{Cl^-}$：$-1$
• $\mathrm{S^{2-}}$：$-2$
• $\mathrm{SO_4^{2-}}$：$-2$

解題方法

逐一判定各化合物中的陰離子電荷，再依化學式的原子個數，求出陽離子的價數：

• $\mathrm{NaCl}$ 中，$\mathrm{Cl^-}$ 帶 $-1$ 電，故 $\mathrm{Na^+}$ 帶 $+1$ 電。
• $\mathrm{CrS}$ 中，$\mathrm{S^{2-}}$ 帶 $-2$ 電，化學式中鉻與硫各一個，故鉻離子帶 $+2$ 電。
• $\mathrm{CuSO_4}$ 中，硫酸根 $\mathrm{SO_4^{2-}}$ 帶 $-2$ 電，故銅離子帶 $+2$ 電。

核心觀念

本題考查重量百分率濃度與化學反應式的莫耳比例。漂白水中的有效成分是次氯酸鈉 $\mathrm{NaOCl}$；依重量百分率定義，溶液中 $\mathrm{NaOCl}$ 的質量占溶液總質量的比例為 $5\%$。

由反應式可知，$1$ 莫耳氯氣 $\mathrm{Cl_2}$ 會生成 $1$ 莫耳 $\mathrm{NaOCl}$，因此可先由漂白水中 $\mathrm{NaOCl}$ 的質量求出其莫耳數，再依反應比例求氯氣質量。

解題方法

$1$ 公斤漂白水的總質量為 $1000$ 克，其中次氯酸鈉的質量為：

次氯酸鈉的莫耳質量為：

因此，次氯酸鈉的莫耳數為：

反應式中 $\mathrm{Cl_2}$ 與 $\mathrm{NaOCl}$ 的莫耳比為 $1:1$，故所需氯氣莫耳數相同。氯氣的莫耳質量為：