108 年原住民特考三等土木工程考古題與詳解

Question 1

圖（一）中，閘門 $ABC$ 寬度（垂直於圖面）為 $2\,\mathrm{m}$ ，靜置於水中， $C$ 點為鉸接。

若水的質量密度 $\rho_w=1.0\,\mathrm{Mg/m^3}$ ，求作用在閘門 $ABC$ 上的水壓合力 $\vec{F}_R$ 的大小，並求水壓合力 $\vec{F}_R$ 對 $C$ 點的力矩大小 $M_C$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 閘門由斜面 $AB$ 與水平面 $BC$ 組成。靜水壓力在各處垂直於受壓面，且壓力大小為 $p=\gamma h$，其中 $\gamma=\rhow g=9.81\,\mathrm{kN/m^3}$。兩個面的受壓方向不同，因此先分別計算各面水壓合力，再以向量相加求總合力；各面對 $C$ 點的力矩則相加求總力矩。 解題方法 取向右為 $x$ 正向、向上為 $y$ 正向。由圖可知 $B$、$C$ 位於水面下 $2\,\mathrm m$，而 $AB$ 的垂直高度為 $4\,\mathrm m$，斜面與水平夾角為 $60^\circ$。閘門寬度為 $b=2\,\mathrm m$。 斜面長度為 $$ L{AB}=\frac{4}{\sin60^\circ}=4.619\,\mathrm m. $$ 斜面上端深度為 $2\,\mathrm m$、下端深度為 $6\,\mathrm m$，故斜面面積形心深度為 $4\,\mathrm m$。斜面水壓合力大小為 $$ F{AB}=\gamma hc A =9.81(4)(2L{AB}) =362.48\,\mathrm{kN}. $$ 斜面受力垂直於斜面，方向向右下，因此 $$ \vec F{AB} =(F{AB}\sin60^\circ)\,\mathbf i -(F{AB}\cos60^\circ)\,\mathbf j =(313.92\,\mathbf i-181.24\,\mathbf j)\,\mathrm{kN}. $$ 水平面 $BC$ 長 $1.5\,\mathrm m$，位於水面下 $2\,\mathrm m$，所受壓力均勻且向下： $$ \vec F{BC} =-\gamma(2)(1.5)(2)\,\mathbf j =-58.86\,\mathbf j\,\mathrm{kN}. $$ 因此，作用於整個閘門的水壓合力為

Question 2

槽型截面如圖（二）所示，$x$ 軸及 $y$ 軸的原點位於截面的形心處，求此截面之主慣性矩之大小 $I{\max}$ 及 $I{\min}$。 截面尺寸：總高度為 $150\,\mathrm{mm}$，總寬度為 $120\,\mathrm{mm}$，上下翼板厚度均為 $30\,\mathrm{mm}$，圖示內部水平尺寸為 $40\,\mathrm{mm}$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 主慣性矩是形心軸方向上慣性矩的最大值與最小值。非對稱截面可由 $Ix$、$Iy$ 與慣性積 $I{xy}$ 求得： $$ I{\max,\min} = \frac{Ix+Iy}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{Ix-Iy}{2}ight)^2+I{xy}^2} $$ 本截面上下對稱，因此形心位於高度中點，且關於形心水平軸的慣性積 $I{xy}=0$；形心的水平與垂直軸即為主軸。 解題方法 依圖將 $40\,\mathrm{mm}$ 視為腹板厚度，並將截面分成一塊腹板與上下兩塊翼板。翼板只取腹板外側的部分，避免重複計算。 腹板尺寸為 $40	imes150\,\mathrm{mm}$；每片翼板的外伸寬度為 $120-40=80\,\mathrm{mm}$，厚度為 $30\,\mathrm{mm}$。 先求形心水平位置。以截面左側外緣為 $x=0$： $$ \bar{x} = \frac{(40\cdot150)(20)+2(80\cdot30)(80)} {40\cdot150+2(80\cdot30)} = 46.67\,\mathrm{mm} $$ 由上下對稱，$\bar{y}=75\,\mathrm{mm}$。 形心水平軸的慣性矩為：

Question 3

圖（三）所示為矩形截面（寬為 $b$，高為 $h$）之懸臂梁，梁之自由端有力矩 $M$ 作用。 設此梁受拉部分之楊氏模數為 $40\,\mathrm{GPa}$，受壓部分之楊氏模數為 $120\,\mathrm{GPa}$，求此梁之中性軸到梁上緣距離 $y0$，及最大拉應力 $(\sigmat){\max}$。（以 $M$、$b$、$h$ 表之） 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 這題考「不同材料模數下的梁彎曲」。截面仍符合平面保持平面的假設，因此縱向應變沿高度線性變化；但拉、壓兩側的楊氏模數不同，應力分布也不對稱。中性軸位置須由軸力合力為零求得，不能直接取矩形截面的幾何中心。 依圖示力矩方向，梁上緣受拉、下緣受壓。令中性軸距上緣為 $y0$，曲率大小為 $\kappa$，則距中性軸 $y$ 處的應力大小為 $\sigma=E\kappa y$。 解題方法 上緣拉伸模數 $Et=40\,\mathrm{GPa}$，下緣壓縮模數 $Ec=120\,\mathrm{GPa}$。由截面軸力合力為零： $$ \intA \sigma\,dA=0 \quad\Longrightarrow\quad Et b\int0^{y0}y\,dy = Ec b\int0^{h-y0}y\,dy $$ 因此 $$ Et y0^2=Ec(h-y0)^2 $$ 代入 $Ec/Et=3$，得 $$ y0=\sqrt{3}(h-y0) \quad\Longrightarrow\quad \boxed{y0=\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}h} $$ 再由截面彎矩平衡求曲率。以中性軸為基準，截面抗彎剛度為 $$ M=\kappa b\left[ Et\int0^{y0}y^2\,dy+ Ec\int0^{h-y0}y^2\,dy \right] $$ 所以

Question 4

圖（四）所示之結構是由懸臂梁 $CD$ 及鋼索 $BC$ 組合而成。

懸臂梁之長度 $L$ 、撓曲剛度 $EI$ ，承受均佈載重 $q$ 作用；鋼索之長度 $L/2$ 、軸剛度 $AE$ 、熱膨脹係數 $\alpha$ ，受到溫度升高 $\Delta T$ 。

未承受均佈載重 $q$ 作用及溫度升高時，鋼索沒有任何張力。求鋼索 $BC$ 的張力 $T_{BC}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題用懸臂梁撓度與鋼索伸長量的變形相容條件求張力。梁端向下位移會使鋼索伸長；鋼索張力則向上拉梁端、減少梁的向下撓度。鋼索受升溫時的自由熱伸長，也會消耗梁端位移所造成的伸長量。 假設材料為線彈性、變形小，且鋼索保持垂直。鋼索只能受拉，不能承受壓力。 解題方法 令梁端 $C$ 向下位移為 $\deltaC$，鋼索張力為 $T{BC}$，並以向下為正。 均佈載重 $q$ 單獨作用時，懸臂梁自由端向下撓度為 $$ \deltaq=\frac{qL^4}{8EI}. $$ 鋼索張力 $T{BC}$ 對梁端施加向上的力，其造成的向上撓度量值為 $$ \deltaT=\frac{T{BC}L^3}{3EI}. $$ 因此梁端總位移為 $$ \deltaC=\frac{qL^4}{8EI}-\frac{T{BC}L^3}{3EI}. $$ 鋼索長度為 $L/2$。鋼索因張力產生的彈性伸長量為 $T{BC}L/(2AE)$，因升溫產生的自由熱伸長量為 $\alpha\Delta T(L/2)$。梁端向下位移等於鋼索的總伸長量，故 $$ \deltaC=\frac{T{BC}L}{2AE}+\frac{\alpha\Delta T\,L}{2}. $$ 代入梁端位移式並整理：

108 原住民特考三等土木工程工程力學(包括流體力學與材料力學) 考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分

其他考古題

土木工程《工程力學(包括流體力學與材料力學)》其他年度

108 原住民特考三等 土木工程 工程力學(包括流體力學與材料力學) 考古題詳解

第 一 題25 分

第 二 題25 分

第 三 題25 分

第 四 題25 分