109 原住民特考三等 土木工程 工程力學（包括流體力學與材料力學） 考古題詳解

核心觀念

本題考查不可壓縮流體在管線分流／合流處的連續方程。依圖中箭頭，管線 1、2 的流體流入交會處，管線 3 的流體流出，因此流入總流量等於流出流量：

圓管截面積為 $A=\frac{\pi D^2}{4}$，體積流量為 $Q=AV$。

解題方法

將各管線的直徑與流速代入連續方程：

解出 $V_3$：

核心觀念

光滑接觸面的反力垂直於接觸面。依圖示，桿件在 $A$ 點接觸半圓形面，在 $B$ 點接觸右側水平支承面，因此：

• $A$ 點反力沿半圓半徑，方向通過圓心 $O$。
• $B$ 點反力為鉛直方向。
• 桿件重量 $W$ 作用於中點，距 $A$ 點 $1.75R$。

平衡時，水平與鉛直方向的力總和，以及對任一點的力矩總和都必須為零。

解題方法與推導

令桿件與水平線的夾角為 $\theta$。由幾何關係，$A$ 到 $B$ 的桿長為

因此，從 $A$ 指向圓心的半徑方向與水平線夾角為 $2\theta$。設 $A、B$ 點反力分別為 $R_A、R_B$，則水平方向平衡要求

由於 $R_A\ne 0$，必須有 $\cos 2\theta=0$。配合圖示的銳角範圍，得

再以 $A$ 點取力矩。$B$ 點鉛直反力的力臂為 $AB\cos\theta=2R\cos^2\theta$；重量 $W$ 的力臂為 $1.75R\cos\theta$，所以

核心觀念

物體 $A$ 下滑的重力位能轉為動能；撞擊期間若無外水平衝量，水平方向動量守恆。完全彈性碰撞還必須滿足碰撞前後動能守恆。

令 $A$、$B$ 的質量分別為 $m_A$、$m_B$。由重量比可得

解題方法

取 $A$ 撞擊前的運動方向為正方向。由能量守恆，$A$ 自高度 $H$ 下滑至撞擊點的速度為

題目給定 $A$ 撞後反彈至 $\frac{2H}{3}$ 高度，因此其撞後速度大小為

撞後 $A$ 的速度方向與撞前相反，故其速度為 $-v_A'$。以撞擊期間的水平動量守恆：

代入 $m_B=6m_A$，可得依照題目所給反彈高度推算的 $B$ 速度：

條件檢核

核心觀念

這題考簡支梁受偏心集中力時的彎矩與彈性曲線。先由靜力平衡求支承反力，再用彎矩曲率關係

求撓度。此處取向下撓度為正，因此正彎矩使 $v''$ 為負。

解題方法

梁長為 $3L$，集中力 $3P$ 作用於距 A 點 $L$ 處。由平衡條件：

因此

令 $x$ 自 A 點向右量，彎矩分段為

在 $0\le x\le L$：

積分得

在 $L\le x\le 3L$：

積分得

核心觀念

本題考查懸臂梁的彈性曲線與梁的曲率關係：

其中 $v$ 為垂直位移，$M(x)$ 為彎矩。圖中 $AB=L$、$BC=L$，均佈載重 $w$ 只作用在 $AB$ 段；$C$ 點位於載重區以外。

解題方法

取 $A$ 點為 $x=0$，向右為正，垂直向上位移為正。由於載重向下，$AB$ 段的彎矩為

因此

懸臂固定端條件為 $v(0)=0$、$v'(0)=0$。積分得

在 $B$ 點（$x=L$）：