112 原住民特考三等 土木工程 工程力學(包括流體力學與材料力學) 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

• 靜摩擦力的最大值：$f_{\max}=\mu_s N$
• 物體即將運動時，靜摩擦力達到最大值
• 滑輪繩長不變，因此 $A$、$B$ 的運動方向相反
• 分別對 $A$、$B$ 作水平力平衡

圖中繩索一端連接 $A$，繞過右側固定滑輪後，另一端連接 $B$。力 $P$ 向左拉動 $B$。

解題方法

設 $B$ 即將向左運動。由繩長約束，$A$ 必須向右運動。

因此：

• $A$ 相對於 $B$ 有向右運動的趨勢，故 $A$ 所受摩擦力向左，$B$ 所受接觸摩擦力向右。
• $B$ 與地面間有向左運動趨勢，故地面對 $B$ 的摩擦力向右。

取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$。

1. 求 $A$、$B$ 間的摩擦力

對 $A$ 鉛直方向平衡：

即將相對滑動時：

2. 求 $B$ 與地面間的摩擦力

地面对 $B$ 的正向力承受 $A$、$B$ 兩物體重量：

因此：

3. 對 $A$ 作水平力平衡

核心觀念

本題利用組合截面的形心與平行軸定理，求通過整體形心之 $x$ 軸的面積慣性矩。

矩形對自身形心軸的面積慣性矩為

利用平行軸定理：

其中 $d$ 為各矩形形心至整體形心軸的垂直距離。

解題方法

將截面分為兩個不重疊矩形：

• 上方翼板：$b_1=8\ \mathrm{cm}$，$h_1=3\ \mathrm{cm}$
• 下方腹板：$b_2=3\ \mathrm{cm}$，$h_2=5\ \mathrm{cm}$

取截面底部為基準，計算各矩形形心位置。

1. 計算各部分面積與形心位置

上方矩形：

其形心距底部：

下方矩形：

其形心距底部：

整體形心位置為

2. 計算各矩形對自身形心軸的慣性矩

上方矩形：

下方矩形：

核心觀念

本題考查：

1. 剛性桿維持水平的變形相容條件：兩端垂直位移相同，因此兩鋼線伸長量相同。
2. 軸向鋼線伸長公式：

3. 剛性桿的靜力平衡：包含垂直力平衡與力矩平衡。

解題方法

設 $a$、$b$ 兩端鋼線張力分別為 $T_a$、$T_b$。

1. 利用變形相容條件

因為剛性桿 $ab$ 維持水平，兩端下降量相同，因此

其中

而 $b$ 端鋼線的斷面積為 $2A$、長度為 $2L$，故

令兩者相等：

因此

可見兩條鋼線雖然長度與斷面積不同，但其軸向勁度相同：

核心觀念

本題考察靜水壓力分布及平面浸水面之壓力中心。

水壓隨深度呈線性增加：

其中水之單位重為

壩面為垂直矩形面，水深 $h=4\ \mathrm{m}$，寬度 $b=10\ \mathrm{m}$。

（一）作用於水壩上之合力 $F_R$

壩面上的水壓分布為三角形，水面處壓力為零，底部壓力最大：

合力等於壓力圖形之面積：

代入數值：

亦可直接使用垂直矩形面之公式：

其中

因此

（二）壓力中心位置 $Y_p$