112 原住民特考三等 土木工程 結構學與鋼筋混凝土學 考古題詳解

112 年・原住民特考・三等・土木工程
試題代碼 結構學與鋼筋混凝土學

第 一 題25 分

如圖 1 所示平面桁架承受垂直載重，AA 點為鉸支承，BB 點為滾支承，試求 CDCD 桿件之軸力，並敘明受拉力或壓力。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中資料：桁架全跨為 6@2 m=12 m6@2\,\text{m}=12\,\text{m}；各節點高程依序為 1.5 m1.5\,\text{m}、1 m1\,\text{m} 及 0.5 m0.5\,\text{m}；垂直載重由左至右依序為 10 kN10\,\text{kN}、20 kN20\,\text{kN}、30 kN30\,\text{kN}、20 kN20\,\text{kN} 及 10 kN10\,\text{kN}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查平面桁架的：

  • 支承反力計算
  • 節點法（Method of Joints）
  • 二力桿件之軸力判定
  • 由正負號判斷桿件受拉或受壓

桁架桿件僅承受軸力，計算時可先假設各桿件均受拉，若求得軸力為負值，表示實際受壓。

一、計算支承反力

全桁架承受垂直載重：

10+20+30+20+10=90 kN10+20+30+20+10=90\ \text{kN}

由於載重及桁架幾何形狀左右對稱：

Ay=By=45 kNA_y=B_y=45\ \text{kN}

水平方向無外力，因此：

Ax=0A_x=0

二、求右端斜桿及底 chord 桿件軸力

設右端底節點為 BB，其左鄰底節點為 x=10x=10 m，高度 1.51.5 m。

斜桿幾何長度為：

22+1.52=2.5 m\sqrt{2^2+1.5^2}=2.5\ \text{m}

方向餘弦為：

cos⁡θ=22.5=0.8,sin⁡θ=1.52.5=0.6\cos\theta=\frac{2}{2.5}=0.8,\qquad \sin\theta=\frac{1.5}{2.5}=0.6

於節點 BB：

垂直方向平衡

45+0.6NB−10=045+0.6N_{B-10}=0 NB−10=−75 kNN_{B-10}=-75\ \text{kN}

故斜桿 BB 至右側上弦節點受壓 7575 kN。

水平方向平衡

N10−B−0.8(75)=0N_{10-B}-0.8(75)=0 N10−B=60 kNN_{10-B}=60\ \text{kN}

故右端底 chord 桿件受拉 6060 kN。

三、求右側上弦節點至 DD 之斜桿軸力

右側上弦節點座標可取為 (10,1.5)(10,1.5)，其左上節點為 (8,2.5)(8,2.5)，而 D=(8,0)D=(8,0)。

底部 x=10x=10 m 節點沒有外力，且左右兩根底部桿件共線，因此其垂直桿件軸力為零。

於右側上弦節點，設：

  • N1N_1：至左上節點之桿件軸力
  • N2N_2：至 DD 之斜桿軸力

其中：

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第 二 題25 分

如圖 2 所示靜不定梁，AA 點為固定端，BB 點為滾支承，桿件 EIEI 為常數，跨度為 LL，梁承受均佈載重 ww，試求支承反力並繪製剪力圖及彎矩圖，不限分析方法。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中資料：AA、BB 間跨度為 LL，全跨承受向下均佈載重 ww。

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核心觀念

此梁為一度靜不定結構。未知支承反力包括：

  • 固定端 AA：水平反力 AxA_x、垂直反力 AyA_y、固定端彎矩 MAM_A
  • 滾支承 BB：垂直反力 ByB_y

由於全梁僅承受鉛直均佈載重，因此：

Ax=0A_x=0

本題採用力法，以 ByB_y 為超靜定力，利用 BB 點撓度為零的相容條件求解。

解題方法：力法

1. 解除 BB 點支承

將 BB 點滾支承解除，基本結構成為 AA 點固定之懸臂梁。

原均佈載重 ww 造成自由端 BB 的向下撓度：

δB(w)=wL48EI\delta_B^{(w)}=\frac{wL^4}{8EI}

將未知反力 ByB_y 施加於自由端，造成向上撓度：

δB(By)=ByL33EI\delta_B^{(B_y)}=\frac{B_yL^3}{3EI}

因 BB 點為滾支承，該點撓度必須為零，因此：

δB(w)−δB(By)=0\delta_B^{(w)}-\delta_B^{(B_y)}=0 wL48EI−ByL33EI=0\frac{wL^4}{8EI} - \frac{B_yL^3}{3EI} =0

解得：

By=3wL8\boxed{B_y=\frac{3wL}{8}}

方向為向上。

2. 求固定端垂直反力 AyA_y

整體垂直力平衡：

∑Fy=0\sum F_y=0 Ay+By−wL=0A_y+B_y-wL=0

代入 By=3wL/8B_y=3wL/8：

Ay=wL−3wL8A_y=wL-\frac{3wL}{8} Ay=5wL8\boxed{A_y=\frac{5wL}{8}}

方向為向上。

3. 求固定端彎矩 MAM_A

以 AA 點取力矩，逆時針為正：

∑MA=0\sum M_A=0

均佈載重合力為 wLwL，作用於距離 AA 點 L/2L/2 處：

MA+ByL−wL(L2)=0M_A+B_yL-wL\left(\frac{L}{2}\right)=0

因此：

MA=wL22−3wL8LM_A=\frac{wL^2}{2}-\frac{3wL}{8}L MA=wL28\boxed{M_A=\frac{wL^2}{8}}

固定端對梁的反力矩方向為逆時針；梁內部靠近 AA 端呈負彎矩，即反曲彎矩。

剪力圖

取距離 AA 點 xx 處，且 0<x<L0<x<L。

截面左側的剪力為：

V(x)=Ay−wxV(x)=A_y-wx

代入 Ay=5wL/8A_y=5wL/8：

V(x)=5wL8−wx\boxed{V(x)=\frac{5wL}{8}-wx}

主要控制點如下：

  • AA 點右側：
V(0+)=5wL8V(0^+)=\frac{5wL}{8}
  • 剪力為零的位置：
5wL8−wx=0\frac{5wL}{8}-wx=0 x=5L8\boxed{x=\frac{5L}{8}}
  • BB 點左側：
V(L−)=5wL8−wL=−3wL8V(L^-)=\frac{5wL}{8}-wL =-\frac{3wL}{8}
  • 通過 BB 點時，由 By=3wL/8B_y=3wL/8 向上跳升至零：
V(L+)=0V(L^+)=0

因此剪力圖為一直線，從 AA 點的 5wL/85wL/8 線性下降，在 x=5L/8x=5L/8 處通過零，於 BB 點左側為 −3wL/8-3wL/8，再因支承反力跳回零。

彎矩圖

取距離 AA 點 xx 處：

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第 三 題25 分

如圖 3 所示鋼筋混凝土梁斷面標稱強度分析示意圖，已知此梁斷面擬承受設計彎矩 Mu=80 tf⋅mM_u=80\,\text{tf}\cdot\text{m}，建築限制梁寬 b=45 cmb=45\,\text{cm}，梁深度 h=60 cmh=60\,\text{cm}。

假設混凝土抗壓強度 fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\,\text{kgf}/\text{cm}^2，鋼筋降伏強度 fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\,\text{kgf}/\text{cm}^2，有效深度 d=53 cmd=53\,\text{cm}。以單筋梁設計，底層筋需用 5 支 D36 鋼筋，拉力鋼筋面積 As=50.35 cm2A_s=50.35\,\text{cm}^2。經分析單筋梁無法符合規範要求之「拉力控制斷面」，即拉力筋應變須達 0.0050.005 以上，強度折減係數 ϕ=0.90\phi=0.90。

若以 As=50.35 cm2A_s=50.35\,\text{cm}^2 為前提，設 d′=7 cmd'=7\,\text{cm}，試求此斷面需用之最少壓力鋼筋面積 As′A'_s，方能使斷面符合規範要求之「拉力控制斷面」。

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核心觀念

本題考查雙筋梁在「拉力控制斷面」下的應變相容、內力平衡與標稱彎矩計算。

依民國 112 年規範，拉力控制斷面須滿足：

εt≥0.005\varepsilon_t\geq 0.005

求最少壓力鋼筋量時，取臨界狀態：

εt=0.005\varepsilon_t=0.005

混凝土極限壓應變取：

εc=0.003\varepsilon_c=0.003

由應變相似三角形求中性軸深度 cc，再由內力平衡求 As′A'_s。

一、求臨界中性軸深度

由應變相容：

εtd−c=εcc\frac{\varepsilon_t}{d-c} = \frac{\varepsilon_c}{c}

代入 εt=0.005\varepsilon_t=0.005、εc=0.003\varepsilon_c=0.003、d=53 cmd=53\text{ cm}：

0.00553−c=0.003c\frac{0.005}{53-c} = \frac{0.003}{c} 0.005c=0.003(53−c)0.005c=0.003(53-c) c=0.003(53)0.003+0.005=19.875 cmc=\frac{0.003(53)}{0.003+0.005} =19.875\text{ cm}

二、求混凝土壓力合力

fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\text{ kgf/cm}^2 時，取：

β1=0.85\beta_1=0.85

等效矩形壓力塊深度：

a=β1c=0.85(19.875)=16.894 cma=\beta_1c =0.85(19.875) =16.894\text{ cm}

混凝土壓力合力：

Cc=0.85fc′baC_c=0.85f'_cb a Cc=0.85(280)(45)(16.894)=180,932 kgfC_c =0.85(280)(45)(16.894) =180,932\text{ kgf}

三、求拉力鋼筋拉力

因為拉力鋼筋應變為 0.0050.005，大於鋼筋降伏應變：

εy=fyEs=42002.04×106=0.00206\varepsilon_y=\frac{f_y}{E_s} =\frac{4200}{2.04\times10^6} =0.00206

所以拉力鋼筋已降伏：

T=Asfy=50.35(4200)=211,470 kgfT=A_sf_y =50.35(4200) =211,470\text{ kgf}

四、判斷壓力鋼筋應力

壓力鋼筋位置為 d′=7 cmd'=7\text{ cm}，其應變為：

εs′=0.003c−d′c\varepsilon'_s =0.003\frac{c-d'}{c} εs′=0.00319.875−719.875=0.001943\varepsilon'_s =0.003\frac{19.875-7}{19.875} =0.001943

由於：

0.001943<εy=0.002060.001943<\varepsilon_y=0.00206

壓力鋼筋尚未降伏，應採彈性應力：

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第 四 題25 分

如圖 4 所示鋼筋混凝土梁斷面，已知此梁斷面擬承受設計剪力 Vu=23,500 kgfV_u=23{,}500\,\text{kgf}。

假設混凝土抗壓強度 fc′=350 kgf/cm2f'_c=350\,\text{kgf}/\text{cm}^2，所有鋼筋降伏強度 fyf_y 或 fytf_{yt} 為 4200 kgf/cm24200\,\text{kgf}/\text{cm}^2，試設計梁抗剪力所需之肋筋間距 SS，限用 D10 鋼筋，單肢斷面積為 0.71 cm20.71\,\text{cm}^2，剪力強度折減係數 ϕ=0.75\phi=0.75。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖中資料：翼版寬度為 80 cm80\,\text{cm}，翼版厚度為 15 cm15\,\text{cm}，腹版寬度為 20 cm20\,\text{cm}，梁底寬度為 40 cm40\,\text{cm}，圖示高度為 51 cm51\,\text{cm}。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查鋼筋混凝土梁之剪力設計，採用名義剪力強度：

ϕVn=ϕ(Vc+Vs)≥Vu\phi V_n=\phi(V_c+V_s)\geq V_u

其中：

  • VcV_c：混凝土所能提供之剪力強度
  • VsV_s：肋筋所能提供之剪力強度
  • ϕ=0.75\phi=0.75
  • T形梁抗剪時，腹版寬度採 bw=20 cmb_w=20\text{ cm}
  • 圖示有效深度採 d=51 cmd=51\text{ cm}

以下以命題當年（民國112年）鋼筋混凝土設計規範為準。

解題方法

1. 計算混凝土剪力強度 VcV_c

採用非預力構材之剪力公式：

Vc=0.53fc′ bwdV_c=0.53\sqrt{f'_c}\,b_wd

代入：

Vc=0.53350(20)(51)V_c =0.53\sqrt{350}(20)(51) Vc≈10,080 kgfV_c\approx 10,080\text{ kgf}

2. 計算肋筋所需剪力強度

由設計條件：

ϕ(Vc+Vs)≥Vu\phi(V_c+V_s)\geq V_u

因此：

Vs≥Vuϕ−VcV_s\geq \frac{V_u}{\phi}-V_c Vs≥23,5000.75−10,080V_s\geq \frac{23,500}{0.75}-10,080 Vs≥21,253 kgfV_s\geq 21,253\text{ kgf}

3. 決定肋筋型式及面積

圖示採用封閉式肋筋，剪力方向有兩支有效肋筋肢。

單肢 D10 面積為：

Abar=0.71 cm2A_{bar}=0.71\text{ cm}^2

因此：

Av=2(0.71)=1.42 cm2A_v=2(0.71)=1.42\text{ cm}^2

肋筋剪力強度為：

Vs=AvfytdSV_s=\frac{A_vf_{yt}d}{S}

故所需間距：

S≤AvfytdVsS\leq\frac{A_vf_{yt}d}{V_s}

代入：

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