111 原住民特考三等 土木工程 結構學與鋼筋混凝土學 考古題詳解

核心觀念

本題採用「斜率－位移法」分析無荷重之 prismatic 梁段。由於 $a、c$ 為固定端：

而 $b$ 為鉸支承，但梁桿件在 $b$ 點連續，因此 $b$ 點具有相同轉角 $\theta_b$。

無分布荷重、無集中荷重之桿件，其斜率－位移方程式為

以下採「桿端彎矩順時針為正」。

一、由 $ab$ 桿件求 $b$ 點轉角

已知

題目給定

因此

所以

再求 $ab$ 桿件在 $b$ 端的桿端彎矩：

故

二、求 $bc$ 桿件端點彎矩

$bc$ 桿件長度為

且 $\theta_c=0$，因此

代入 $EI\theta_b=25$：

同理，

因此

故 $bc$ 桿件的桿端彎矩為

亦可由 $b$ 點力矩平衡驗證：

核心觀念

本題考查：

• 靜定梁的支承反力
• 剪力圖與彎矩圖
• 梁的撓曲微分方程
• 由兩支承點撓度均為零求支承點轉角

梁長度與荷載位置為：

且

一、支承反力

設鉸支承 $b$ 的垂直反力為 $R_b$，滾支承 $c$ 的垂直反力為 $R_c$。

由垂直力平衡：

以 $b$ 點取力矩：

因此：

代回垂直力平衡式：

二、剪力圖

由左端 $a$ 開始：

1. 在 $a$ 點受向下集中力 $5\text{ kN}$，剪力降為 $-5\text{ kN}$。
2. $a$ 至 $b$ 間無其他荷載，因此剪力保持 $-5\text{ kN}$。
3. 在 $b$ 點受到向上反力 $5\text{ kN}$，剪力跳升至 $0$。
4. $b$ 至 $c$ 間無荷載，剪力維持 $0$。
5. 在 $c$ 點受到向上反力 $5\text{ kN}$，剪力跳升至 $+5\text{ kN}$。
6. $c$ 至 $d$ 間剪力維持 $+5\text{ kN}$。
7. 在 $d$ 點受向下集中力 $5\text{ kN}$，剪力降回 $0$。

剪力圖主要數值為：

三、彎矩圖

由自由端 $a$ 開始，因 $a$ 為自由端且無外加集中力矩：

$a$ 至 $b$

剪力為 $-5\text{ kN}$，故彎矩線性下降：

$b$ 至 $c$

此段剪力為零，因此彎矩保持常數：

所以：

$c$ 至 $d$

剪力為 $+5\text{ kN}$，彎矩線性上升：

因此彎矩圖為：

• $a$ 點：$0$
• $b$ 點：$-10\text{ kN}\cdot\text{m}$

核心觀念

本題考查梁之剪力強度設計。垂直箍筋所提供的剪力強度為

設計剪力須滿足

其中梁剪力之強度折減係數取 $\phi=0.75$。依圖 3，封閉箍筋有兩支垂直肋筋參與抗剪，因此

解題方法

1. 計算混凝土剪力強度 $V_c$

代入資料：

2. 求箍筋需提供之剪力強度 $V_s$

設計條件為

故所需名義剪力強度為

因此

3. 由箍筋剪力公式求間距

題目給定

整理得

注意 $V_s$ 須換算為 kgf：

代入：

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土柱在無偏心軸壓作用下之軸壓力計算強度。依題目提供公式：

其中：

• $A_c$：混凝土有效面積，即柱總面積扣除 longitudinal 鋼筋面積
• $A_{st}$：縱向鋼筋總面積
• $0.85f'_cA_c$：混凝土承擔之軸壓力
• $f_yA_{st}$：鋼筋降伏時承擔之軸力

解題方法

1. 柱總斷面積

2. 縱向鋼筋總面積

圖 4 配置 4 根 D25 鋼筋，單根面積為 $5.067\text{ cm}^2$：

3. 混凝土有效面積

4. 計算軸壓力強度

混凝土部分：

核心觀念

本題考查兩個基本概念：

1. 鋼筋混凝土梁的開裂彎矩 $M_{cr}$：梁受彎時，混凝土拉應力達到混凝土抗折強度，受拉區開始開裂時的彎矩。
2. 撓曲構件最少受拉鋼筋量 $A_{s,\min}$：梁在混凝土開裂後，仍須具有足夠的受彎承載能力，避免混凝土一開裂便發生突然破壞。

以下以命題當年（民國111年）適用之鋼筋混凝土設計規範為準。

一、鋼筋混凝土梁的開裂彎矩

梁尚未開裂時，可依未開裂的彈性分析計算。當受拉邊緣混凝土應力達到抗折強度 $f_r$ 時，即發生開裂。

開裂彎矩為

其中：

• $I_g$：梁全斷面對中性軸之慣性矩；
• $y_t$：全斷面中性軸至受拉邊緣之距離；
• $f_r$：混凝土抗折強度。

普通重混凝土通常採用

普通重混凝土 $\lambda=1$，因此

開裂前，混凝土受拉區仍參與抗彎；開裂後，受拉區混凝土的抗拉作用大幅降低，主要由受拉鋼筋承擔拉力。

二、規範規定的最少鋼筋量

對一般撓曲梁，規範規定最少受拉鋼筋量為

其中：

• $A_{s,\min}$：最少受拉鋼筋量；
• $f'_c$：混凝土抗壓強度；
• $f_y$：受拉鋼筋降伏強度；
• $b_w$：梁腹寬；
• $d$：受拉鋼筋有效深度。

設計時，實際配置的受拉鋼筋面積應滿足

最少鋼筋量的目的，不是單純增加梁的強度，而是確保梁在混凝土受拉區開裂後，仍能由鋼筋接續承擔彎矩，避免「混凝土剛開裂、梁即突然失去承載能力」的脆性破壞。

三、最少鋼筋量與開裂彎矩的規範關係

規範設置最少鋼筋量的核心要求為：

也就是說，梁配置最少受拉鋼筋後，其標稱撓曲強度至少應為開裂彎矩的 $1.2$ 倍。

其中：

• $M_{n,\min}$：配置最少鋼筋量時的標稱彎矩強度；
• $M_{cr}$：梁的開裂彎矩。

因此，最少鋼筋量並非只要求「鋼筋能承受開裂瞬間的彎矩」，而是要求開裂後仍保有至少 $20\%$ 的標稱強度裕度。

以單筋矩形梁為例，標稱彎矩可表示為