111 原住民特考三等 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考查「地面點高程」的測定原理及各方法的精度比較。

高程係指地面點沿鉛垂線至所採用高程基準面的距離。測定高程時，依所利用的物理原理及觀測方式，傳統測量學主要分為：

1. 水準測量（幾何高程測量）
2. 三角高程測量
3. 氣壓高程測量

現代測量亦可利用 GNSS 測定橢球高，再配合大地水準面模型換算正常高或正高；但本題依測量學傳統分類，主要作答上述三種方法。

解題方法

一、水準測量

水準測量係利用水準儀提供一條近似水平視準線，直接量取兩點標尺讀數差，以求兩點間的高程差。

設已知點 $A$ 高程為 $H_A$，在 $A$ 點標尺讀數為後視 $BS$，在未知點 $B$ 點標尺讀數為前視 $FS$，則：

$$\Delta H_{AB}=BS-FS$$

因此：

$$H_B=H_A+BS-FS$$

亦可先求儀器視線高：

$$HI=H_A+BS$$

再求未知點高程：

$$H_B=HI-FS$$

水準測量的主要優點是視準線保持水平，直接求得高程差，且可透過前後視距平衡消除視準軸誤差及部分地球曲率、大氣折光等影響。因此適合建立水準網及精密高程控制。

常見種類包括：

• 直接水準測量：利用水準儀及水準尺測定高程差。
• 精密水準測量：採用高精度儀器、嚴格控制觀測程序及前後視距，供高程控制使用。
• 斷面水準測量：配合道路、河川、渠道等工程測量，測定沿線各點高程。

二、三角高程測量

三角高程測量係利用經緯儀、全站儀測定兩點間的垂直角及距離，依三角函數計算高程差。

若已知測站 $A$ 與目標點 $B$ 間的水平距離為 $D$，垂直角為 $\alpha$，測站儀器高為 $i$，目標點標高為 $t$，則：

$$H_B-H_A=D\tan\alpha+i-t$$

所以：

$$H_B=H_A+D\tan\alpha+i-t$$

若使用斜距 $S$，則：

$$H_B-H_A=S\sin\alpha+i-t$$

當觀測距離較長時，必須考慮：

• 地球曲率改正
• 大氣折光改正
• 儀器高及目標高的量測誤差
• 垂直角及距離觀測誤差

核心觀念

GPS 衛星定位測量的基本原理，是利用衛星與接收儀之間的距離觀測值，配合衛星在軌道上的已知坐標，採空間後方交會求得接收儀的位置。

每一顆 GPS 衛星均持續播送：

• 衛星軌道資料與曆書資料；
• 衛星發射訊號的時間；
• 衛星識別資料；
• 衛星鐘差等相關資訊。

接收儀接收到衛星訊號後，依訊號傳播時間乘以光速，求得接收儀至衛星的距離。由於接收儀內部時鐘通常未與 GPS 系統時間完全同步，因此實際量得的是「虛擬距離」，稱為偽距（pseudorange）。

GPS 定位的未知數包括接收儀的三維坐標 $(X,Y,Z)$ 與接收儀鐘差 $\delta t$，共四個未知數。因此，至少需要同時觀測四顆衛星，才能求得接收儀的位置與鐘差。

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GPS 定位基本原理示意圖

 S1 衛星
 (X1,Y1,Z1)
 ●
 / \
 / \ ρ1
 / \
 / \
 S2 衛星 ●------/---------\------● S3 衛星
 (X2,Y2,Z2) / \ (X3,Y3,Z3)
 \ P /
 \ 接收儀 /
 \ /
 \ ρ4 /
 \ /
 \ /
 ●
 S4 衛星
 (X4,Y4,Z4)

 P = (X,Y,Z)：待定接收儀位置

每顆衛星的坐標可由衛星所播送的軌道資料計算取得；衛星至接收儀的距離則由訊號傳播時間觀測得到。四個以上的距離條件聯立後，即可解算接收儀坐標。

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解題方法與數學推導

一、由訊號傳播時間求距離

設第 $i$ 顆衛星發射訊號時間為 $t_i$，接收儀接收時間為 $t_r$，則訊號傳播時間約為：

$$\Delta t_i=t_r-t_i$$

若接收儀時鐘與衛星時間完全同步，幾何距離為：

$$\rho_i=c\Delta t_i$$

其中：

• $\rho_i$：接收儀至第 $i$ 顆衛星的距離；
• $c$：電磁波傳播速度，約為光速；
• $\Delta t_i$：訊號傳播時間。

實際上，接收儀鐘差與衛星鐘差會造成時間誤差，因此觀測到的是偽距：

$$P_i=\rho_i+c(\delta t-\delta t_i)+I_i+T_i+\varepsilon_i$$

其中：

• $P_i$：第 $i$ 顆衛星的偽距觀測值；
• $\delta t$：接收儀鐘差；
• $\delta t_i$：第 $i$ 顆衛星鐘差；
• $I_i$：電離層延遲；
• $T_i$：對流層延遲；
• $\varepsilon_i$：多路徑效應、儀器誤差與其他隨機誤差。

在基本原理說明中，先忽略各項改正及誤差，可寫為：

$$P_i\approx \rho_i+c\delta t$$

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二、建立衛星與接收儀間的距離方程式

設第 $i$ 顆衛星坐標為 $(X_i,Y_i,Z_i)$，接收儀坐標為 $(X,Y,Z)$，則幾何距離為：

$$\rho_i= \sqrt{(X-X_i)^2+(Y-Y_i)^2+(Z-Z_i)^2}$$

考慮接收儀鐘差後，第 $i$ 顆衛星的觀測方程式為：

$$P_i= \sqrt{(X-X_i)^2+(Y-Y_i)^2+(Z-Z_i)^2} +c\delta t$$

對四顆衛星建立四個方程式：

核心觀念

長方形面積為兩鄰邊長的乘積：

$$A=xy$$

其中：

• $x=20\text{ m}$，其中誤差 $m_x=\pm 4\text{ mm}=\pm 0.004\text{ m}$
• $y=15\text{ m}$，其中誤差 $m_y=\pm 3\text{ mm}=\pm 0.003\text{ m}$

本題考查誤差傳播定律。假設兩邊長的測量誤差彼此獨立，則函數 $A=f(x,y)$ 的中誤差為：

$$m_A^2= \left(\frac{\partial A}{\partial x}m_x\right)^2+ \left(\frac{\partial A}{\partial y}m_y\right)^2$$

解題方法

先計算長方形面積：

$$A=xy=20\times 15=300\text{ m}^2$$

因為：

$$A=xy$$

所以偏微分為：

$$\frac{\partial A}{\partial x}=y=15$$ $$\frac{\partial A}{\partial y}=x=20$$

代入誤差傳播公式：

$$m_A^2=(15\times 0.004)^2+(20\times 0.003)^2$$ $$m_A^2=(0.060)^2+(0.060)^2$$ $$m_A^2=0.0036+0.0036=0.0072$$

因此：

$$m_A=\sqrt{0.0072}=0.08485\text{ m}^2$$

取適當有效位數：

$$m_A\approx 0.085\text{ m}^2$$

故面積及其中誤差為：

$$A=300\pm 0.085\text{ m}^2$$

相對中誤差驗算

面積的相對中誤差也可寫成：

核心觀念

本題考查**地形測量學（Topographic Surveying）**中關於「地形圖精度（Accuracy of Topographic Maps）」之影響因素。

地形圖精度指地圖上各要素之點位平面位置與高程相對於真實地理位置的符合程度，主要包含平面位置精度（Planimetric Accuracy）與高程精度（Vertical Accuracy）。地形圖之製作從基礎控制測量、碎部細部點採集、圖案繪製/數值展點，到等高線內插與資料解算，各階段所產生的誤差均會依據誤差傳播定律（Law of Error Propagation）進行累積，最終決定地形圖的品質與精度。

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解題方法

本題為經典的申論題（問答題），作答切入點必須具備系統性與結構化，切忌零散條列。合理的切入點應涵蓋地形圖製作全生命週期的五大層面：

1. 圖學與比例尺限制（地圖解析極限與圖紙/繪圖變形）
2. 控制測量基準（整體控制網之平面與高程累積誤差）
3. 碎部測量觀測與儀器精度（測繪儀器、觀測方法與人為誤差）
4. 地形地貌與等高線設定（地形起伏複雜度、特徵點密度與等高線間距）
5. 作業環境與地表覆蓋（植被遮蔽與大氣折光等環境效應）

作答時需明確說明各因素如何影響平面或高程精度，並帶入專業測量公式（如圖上最小圖劃精度與實地極限誤差之關係式 $m_p = \pm 0.2 \text{ mm} \times M$），展現資深考生的答題深度。

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選項分析

本題屬於非選擇題（申論題），無單一固定選項。以下將地形圖精度的五大核心影響因素進行逐項深入剖析：

1. 地圖比例尺與圖劃解析限制（Map Scale and Drawing Errors）

• 比例尺分母 $M$：地形圖之平面極限精度直接受限於比例尺。一般肉眼於圖上之最小視覺解析度（圖劃精度）約為 $0.1 \sim 0.2 \text{ mm}$。若地圖比例尺為 $1 : M$，則圖上 $0.2 \text{ mm}$ 在實地所對應之誤差極限為： $m_{p,\text{limit}} = \pm 0.2 \text{ mm} \times M$ 例如 $1:1,000$ 地形圖，圖上 $0.2 \text{ mm}$ 即代表實地 $\pm 0.2 \text{ m}$ 的誤差。
• 展點與圖紙伸縮：紙本圖受環境溫濕度影響產生之張縮變形，以及人工展點或自動繪圖機之機械展點誤差，皆會降低平面精度。

2. 控制測量之精度（Accuracy of Control Surveys）

• 整體框架誤差：地形測量嚴格遵循「由整體至局部（From Whole to Part）」之原則。平面控制網（如三角測量、導線測量、GNSS 控制網）與高程控制網（如水準測量、三角高程測量）為所有細部點之測繪基準。若控制點本身存在閉合差或框架位移，其誤差將直接傳播並疊加至圖上所有地形要素。

3. 碎部測量採集誤差與儀器精度（Detail Survey and Instrumental Errors）

• 儀器與觀測誤差：採用全站儀（Total Station）、光達（LiDAR）或無人機航測（UAV Photogrammetry）時，儀器本身之角測與距測精度、定心整平誤差、標尺/稜鏡瞄準誤差等。