110 原住民特考三等 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考查平面坐標的方位角與坐標增量計算，並以誤差傳播律求新點 $C$ 的坐標中誤差。坐標順序為 $(E,N)$，方位角由北方向起算、順時針量至測線方向。

由已知點 $A、B$ 求出 $AB$ 的方位角後，須依 $\angle BAC$ 的轉向求 $AC$ 方位角。題目未另行指定夾角位於 $AB$ 的左側或右側；以下依測量學常用的順時針水平角觀測慣例，將 $\angle BAC$ 加至 $AB$ 方位角。

解題方法

先求 $AB$ 的坐標增量：

$$\Delta E_{AB}=224702.36-224567.21=135.15\ \mathrm{m}$$ $$\Delta N_{AB}=2587433.72-2587321.36=112.36\ \mathrm{m}$$

因此 $AB$ 方位角為

$$\alpha_{AB} =\tan^{-1}\left(\frac{\Delta E_{AB}}{\Delta N_{AB}}\right) =50^\circ16'27.5''$$

已知夾角

$$\beta=\angle BAC=102^\circ15'30''$$

依順時針量角慣例，$AC$ 方位角為

$$\alpha_{AC}=\alpha_{AB}+\beta =152^\circ31'57.5''$$

以方位角計算坐標增量：

$$\Delta E_{AC}=S\sin\alpha_{AC}$$ $$\Delta N_{AC}=S\cos\alpha_{AC}$$

其中 $S=147.36\ \mathrm{m}$。代入得

$$\Delta E_{AC}=68.06\ \mathrm{m},\qquad \Delta N_{AC}=-130.71\ \mathrm{m}$$

所以

$$E_C=E_A+\Delta E_{AC}=224635.27\ \mathrm{m}$$ $$N_C=N_A+\Delta N_{AC}=2587190.65\ \mathrm{m}$$

坐標中誤差

將 $AC$ 距離中誤差記為 $m_S=0.02\ \mathrm{m}$，角度中誤差記為

$$m_\alpha=10''=\frac{10}{206265}\ \mathrm{rad}$$

坐標為 $E_C=E_A+S\sin\alpha$、$N_C=N_A+S\cos\alpha$。

核心觀念

本題考查水準測量閉合差的計算，以及依路線長度比例分配閉合差。

水準路線由已知高程點 BM1 出發，最後回到 BM1，理論上各段高差總和應為零。實測高差總和與零的差值即為閉合差：

$$f_h=\sum \Delta h$$

題目指定誤差與路線長成正比，因此各段高差改正數按該段長度比例分配：

$$c_i=-f_h\frac{L_i}{\sum L}$$

其中 $c_i$ 為第 $i$ 段的改正數，$L_i$ 為該段長度。改正後高差為 $\Delta h_i+c_i$。

解題方法

一、計算總長與閉合差

總路線長：

$$\sum L=1.600+2.000+1.600+3.000+1.800=10.000\ \mathrm{km}$$

實測高差總和：

$$\sum \Delta h =-1.376+3.562-1.125+0.672-1.753 =-0.020\ \mathrm{m}$$

因此閉合差為 $-0.020\ \mathrm{m}=-20\ \mathrm{mm}$。其絕對值為 $20\ \mathrm{mm}$。

規範容許閉合差為：

$$|f_{h,\mathrm{容}}|=20\sqrt{K} =20\sqrt{10} \approx63.25\ \mathrm{mm}$$

實測閉合差 $20\ \mathrm{mm}$ 小於容許值，符合規範要求。

二、按路線長度比例分配改正數

因總長為 $10.000\ \mathrm{km}$，且 $f_h=-0.020\ \mathrm{m}$：

$$c_i=-(-0.020)\frac{L_i}{10.000} =0.020\frac{L_i}{10.000}$$

各段改正數及改正後高差如下：

測段	長度（km）	實測高差（m）	改正數（m）	改正後高差（m）
BM1–A	1.600	$-1.376$	$+0.0032$	$-1.3728$

核心觀念

經緯儀觀測水平角，是以儀器的垂直軸為頂點，量取兩目標方向所形成的水平角。觀測成果會受到儀器本身、觀測者操作，以及外界環境影響；改善的重點是先消除可避免的誤差，再以正倒鏡觀測、重複觀測或改變度盤位置，削弱無法完全消除的系統誤差。

誤差來源與改善方法

一、儀器誤差

1. 視準軸誤差 視準軸未與水平軸垂直，會使正鏡與倒鏡觀測同一方向時產生差異，尤其在目標高度角不相同時影響較明顯。 **改善：**每一測回採正、倒鏡觀測，取平均以抵消其主要影響；並定期檢校視準軸。

2. 水平軸誤差 水平軸未與垂直軸垂直，導致望遠鏡轉動時視準面偏離應有位置。目標高度角較大時，對水平角的影響較明顯。 **改善：**採正、倒鏡觀測並取平均，且定期檢校儀器軸系。

3. 垂直軸傾斜 儀器未整平時，垂直軸不真正鉛直，水平度盤所量的角度會產生偏差；兩目標高度角不同時，影響尤其明顯。 **改善：**架站後仔細整平，觀測前後檢查水準管；必要時重新整平並重測。

4. 度盤刻劃誤差與偏心誤差 度盤刻劃不均勻、度盤中心與旋轉軸不重合，均可能造成讀數偏差。 **改善：**以不同度盤位置進行多測回觀測，使度盤不同刻劃部位參與讀數，再取平均；維持儀器良好校正狀態。

二、觀測者誤差

1. 對中誤差 儀器垂直軸未通過測站點，或目標標杆未正確置於目標點上，會使觀測方向偏移。測站至目標距離愈短，影響通常愈大。 **改善：**以光學對點器或垂球精確對中；確認標杆直立並對準點位；短邊觀測時提高對中精度。

2. 整平誤差 儀器未整平會使垂直軸傾斜，影響水平角成果。 **改善：**先以腳螺旋整平，再轉動照準部檢查水準管氣泡；觀測期間若氣泡偏移，應重新整平。

3. 照準誤差 十字絲未精確對準目標中心，或不同測回照準位置不一致，會造成方向讀數差異。 **改善：**選取清晰、穩定的目標中心，精確照準；採多測回並平均，降低偶然照準誤差。

核心觀念

本題考全球衛星定位系統（GPS）的系統架構，也就是構成系統的三個部分及其功能：太空部分、控制部分、使用者部分。GPS 接收機接收衛星播送的訊號，利用衛星星曆與測得的訊號傳遞時間求得距離，再以多顆衛星的觀測量解算接收機位置與時間。

解題方法

作答時依「衛星在哪裡、誰負責管理、使用者如何定位」說明三部分，並補充各部分的主要功能：

1. 太空部分（Space Segment） 由 GPS 衛星星群組成。衛星在軌道上運行，持續播送載波、測距碼及導航訊息。導航訊息包含衛星星曆、衛星時鐘資料、衛星健康狀態及曆書等，供接收機辨識衛星、計算衛星位置與測定訊號傳遞時間。

2. 控制部分（Control Segment） 由地面監測站、主控站及地面天線等組成。監測站追蹤衛星訊號並蒐集觀測資料；主控站處理資料、估算衛星軌道與時鐘狀態，並編製更新的導航訊息；地面天線則將相關資料上傳至衛星。