110 原住民特考三等 土木工程 工程力學（包括流體力學與材料力學） 考古題詳解

110 年・原住民特考・三等・土木工程
試題代碼 工程力學（包括流體力學與材料力學）

第 一 題20 分

圖一之靜定結構於 AA、BB、DD 處設置鉸接，結構尺寸配置如圖所示。今分別於 CC 點及 EE 點施加載重 P1P_1 為 56 kN56\ \mathrm{kN} 及 P2P_2 為 70 kN70\ \mathrm{kN}，試求在此外力作用下，支承 AA 及支承 BB 之反力 AxA_x、AyA_y 與 BxB_x、ByB_y 之大小及方向。

圖中尺寸及受力配置如下：

  • AA 點至 CC 點之水平距離為 8 m8\ \mathrm{m}。
  • CC 點至 DD 點之水平距離為 3 m3\ \mathrm{m}。
  • DD 點至 EE 點之水平距離為 3 m3\ \mathrm{m}。
  • DD 點至 BB 點之水平距離為 3 m3\ \mathrm{m}。
  • CC、DD、EE 位於同一水平線上。
  • CC、EE 點分別受垂直向下之載重 P1P_1、P2P_2。
  • AA 點與 BB 點之高程差為 1.4 m1.4\ \mathrm{m}。
  • CC、DD、EE 點與 BB 點之高程差為 1.8 m1.8\ \mathrm{m}。
  • AA 點設有水平反力 AxA_x 及垂直反力 AyA_y。
  • BB 點設有水平反力 BxB_x 及垂直反力 ByB_y。

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核心觀念

本題考查三鉸式靜定結構的平面平衡。支承 AA、BB 與內鉸 DD 均不傳遞彎矩，因此可將結構在 DD 點切開，分別對左右兩部分取力矩。以 DD 點取矩可消去內鉸力，再搭配整體的水平、垂直力平衡求出支承反力。

解題方法

依原卷圖示讀取尺寸：AA 至 DD 的水平距離為 8 m8\ \mathrm{m}，DD 至 BB 為 6 m6\ \mathrm{m}，CC 至 DD 與 DD 至 EE 各為 3 m3\ \mathrm{m}。圖示中 DD 比 BB 高 1.8 m1.8\ \mathrm{m}，BB 比 AA 高 1.4 m1.4\ \mathrm{m}，所以 DD 比 AA 高 3.2 m3.2\ \mathrm{m}。

以下取向右、向上為正，逆時針力矩為正。

一、對整體列水平與垂直力平衡

∑Fx=0:Ax+Bx=0\sum F_x=0:\qquad A_x+B_x=0 ∑Fy=0:Ay+By−56−70=0\sum F_y=0:\qquad A_y+B_y-56-70=0

因此：

Ax=−Bx,Ay+By=126A_x=-B_x,\qquad A_y+B_y=126

二、對左半部以 DD 點取矩

AA 點相對於 DD 的位置為左 8 m8\ \mathrm{m}、下 3.2 m3.2\ \mathrm{m}；P1P_1 的作用點 CC 位於 DD 左方 3 m3\ \mathrm{m}。因此：

∑MD=0:−8Ay+3.2Ax+3(56)=0\sum M_D=0:\qquad -8A_y+3.2A_x+3(56)=0

整理得：

8Ay−3.2Ax=1688A_y-3.2A_x=168

三、對右半部以 DD 點取矩

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第 二 題20 分

圖二顯示一重量 WW 為 147 N147\ \mathrm{N} 之物體，將其由靜止釋放後沿著角度 θ\theta 為 30∘30^\circ 之斜面往下滑動。當滑動 dd 距離後開始碰觸彈簧，彈簧係數為 ks=185 N/cmk_s=185\ \mathrm{N/cm} 之彈簧，造成彈簧最大壓縮量 Δ\Delta 為 3 cm3\ \mathrm{cm}。已知物體 WW 與斜面間的摩擦係數 μ\mu 為 0.250.25，試求距離 dd。

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核心觀念

使用功與能原理。物體由靜止出發，滑至彈簧最大壓縮時速度再次為零，因此重力沿斜面的作功扣除摩擦力作功，等於彈簧儲存的彈性位能：

Wsin⁡θ (d+Δ)−μWcos⁡θ (d+Δ)=12ksΔ2W\sin\theta\,(d+\Delta)-\mu W\cos\theta\,(d+\Delta) =\frac12 k_s\Delta^2

物體從釋放位置到最大壓縮位置，總共滑行 d+Δd+\Delta；摩擦力在這段路程中持續作功。

解題方法

將彈簧係數換成 N/m\mathrm{N/m}，並將壓縮量換成 m\mathrm{m}：

ks=185 N/cm=18,500 N/m,Δ=3 cm=0.03 mk_s=185\ \mathrm{N/cm}=18{,}500\ \mathrm{N/m}, \qquad \Delta=3\ \mathrm{cm}=0.03\ \mathrm{m}

沿斜面向下的重力分力為 Wsin⁡30∘W\sin30^\circ，摩擦力大小為 μWcos⁡30∘\mu W\cos30^\circ。代入能量方程：

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第 三 題20 分

圖三為一個受力狀態的平面應力元素。試求此元素之主應力及主平面、最大剪應力及其所在平面，並請繪製相應之應力元素圖以明確表示。

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核心觀念

本題考查平面應力的主應力、主平面與最大剪應力。圖中取 xx 向右、yy 向上：

  • xx 面的正向應力為壓縮 20 MPa20\ \text{MPa}，故 σx=−20 MPa\sigma_x=-20\ \text{MPa}。
  • yy 面的正向應力為拉伸 40 MPa40\ \text{MPa}，故 σy=40 MPa\sigma_y=40\ \text{MPa}。
  • 剪力方向依圖示為：右側（+x+x 面）向下、上側（+y+y 面）向左，因此依常用正號規約，τxy=−40 MPa\tau_{xy}=-40\ \text{MPa}。

平面應力的主應力為莫耳圓中心加、減半徑：

σavg=σx+σy2,R=(σx−σy2)2+τxy2\sigma_{\text{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2},\qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2} σ1,2=σavg±R\sigma_{1,2}=\sigma_{\text{avg}}\pm R

解題方法

先計算莫耳圓中心與半徑：

σavg=−20+402=10 MPa\sigma_{\text{avg}}=\frac{-20+40}{2}=10\ \text{MPa} R=(−20−402)2+(−40)2=302+402=50 MPaR=\sqrt{\left(\frac{-20-40}{2}\right)^2+(-40)^2} =\sqrt{30^2+40^2}=50\ \text{MPa}

因此：

σ1=10+50=60 MPa,σ2=10−50=−40 MPa\sigma_1=10+50=60\ \text{MPa},\qquad \sigma_2=10-50=-40\ \text{MPa}

σ1\sigma_1 為拉應力，σ2\sigma_2 為壓應力。主平面方向以旋轉後元素的 x′x' 軸（也就是該平面的法線）相對 +x+x 軸逆時針量角，並使用應力轉換式：

tan⁡2θp=2τxyσx−σy=−80−60=43\tan 2\theta_p=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y} =\frac{-80}{-60}=\frac{4}{3}

主方向相差 90∘90^\circ。代入應力轉換式判定哪一方向對應較大的主應力後：

  • σ1=60 MPa\sigma_1=60\ \text{MPa} 的主平面法線方向：θ1=116.565∘\theta_1=116.565^\circ。
  • σ2=−40 MPa\sigma_2=-40\ \text{MPa} 的主平面法線方向：θ2=26.565∘\theta_2=26.565^\circ。

主平面上剪應力為零。主應力元素可示意如下，箭頭表示正向應力的方向：

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第 四 題20 分

圖四為一個長度為 3L3L 的靜定梁，於 CC 點施加垂直載重 PP。已知此梁的 EIEI 值為常數，試求 CC 點之垂直位移 ΔC\Delta_C 及轉角 θC\theta_C。

圖中梁配置如下：

  • AA 點為鉸支承，BB 點為滾支承。
  • AA 點至 BB 點之距離為 2L2L。
  • BB 點至 CC 點之距離為 LL。
  • CC 點施加垂直向下之載重 PP。

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核心觀念

本題考懸臂外伸梁的支承反力、彎矩分段，以及以彎矩曲率關係求位移與轉角。採用

EI v′′(x)=M(x)EI\,v''(x)=M(x)

其中 xx 軸由 A 向右，vv 向上為正，逆時針轉角為正，正彎矩採撓曲（下凹）為正。題目所求垂直位移另以向下為正表示。

解題方法

先由整體平衡求支承反力。以 A 點取力矩：

∑MA=0:2LRB−3LP=0⇒RB=3P2\sum M_A=0:\quad 2L R_B-3LP=0 \quad\Rightarrow\quad R_B=\frac{3P}{2}

由垂直力平衡：

∑Fy=0:RA+RB−P=0⇒RA=−P2\sum F_y=0:\quad R_A+R_B-P=0 \quad\Rightarrow\quad R_A=-\frac{P}{2}

RAR_A 為負，表示 A 點反力方向向下。

以奇異函數表示梁的彎矩，對 0≤x≤3L0\le x\le 3L：

M(x)=−P2x+3P2⟨x−2L⟩M(x)=-\frac{P}{2}x+\frac{3P}{2}\langle x-2L\rangle

其中 ⟨x−2L⟩=0\langle x-2L\rangle=0（x<2Lx<2L），x−2Lx-2L（x≥2Lx\ge 2L）。因此：

EI v′′(x)=−P2x+3P2⟨x−2L⟩EI\,v''(x)=-\frac{P}{2}x+\frac{3P}{2}\langle x-2L\rangle

積分兩次：

EI v′(x)=−P4x2+3P4⟨x−2L⟩2+C1EI\,v'(x)=-\frac{P}{4}x^2+\frac{3P}{4}\langle x-2L\rangle^2+C_1

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第 五 題20 分

圖五所示水管配置，水流由①處流入管內，水管於②處後分為二管，水流於管③及管④分別流出。已知水流在②處之速度 V2V_2 為 0.6 m/sec0.6\ \mathrm{m/sec}，在③處之速度 V3V_3 為 2.75 m/sec2.75\ \mathrm{m/sec}；斷面①處半徑 R1R_1 為 7.5 cm7.5\ \mathrm{cm}、斷面②處半徑 R2R_2 為 15 cm15\ \mathrm{cm}、斷面③處半徑 R3R_3 為 5 cm5\ \mathrm{cm}、斷面④處半徑 R4R_4 為 2.5 cm2.5\ \mathrm{cm}。若不計摩擦，試求水管流量，及①處及④處的流速 V1V_1、V4V_4。

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核心觀念

本題使用穩定、不可壓縮流體的連續方程：流量等於截面積乘以平均流速，且分流處的流入流量等於各支管流出流量之和。

Q=AV=πR2V,Q2=Q3+Q4Q=AV=\pi R^2V,\qquad Q_2=Q_3+Q_4

題目給定「不計摩擦」不影響本題的流量計算，因為所需關係是質量守恆。

解題方法

先用②處的半徑與流速求總流量，再由分流關係求④管流量，最後分別套用連續方程求①、④處流速。半徑換算為公尺：

R1=0.075 m,R2=0.15 m,R3=0.05 m,R4=0.025 mR_1=0.075\ \mathrm{m},\quad R_2=0.15\ \mathrm{m},\quad R_3=0.05\ \mathrm{m},\quad R_4=0.025\ \mathrm{m}

1. 求管內總流量

Q2=πR22V2=π(0.15)2(0.6)=0.0135π≈0.04241 m3/sQ_2=\pi R_2^2V_2 =\pi(0.15)^2(0.6) =0.0135\pi \approx 0.04241\ \mathrm{m^3/s}

因此水管總流量為 0.04241 m3/s0.04241\ \mathrm{m^3/s}。

2. 求③管流量及④管流量

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