111 原住民特考三等 土木工程 工程力學（包括流體力學與材料力學） 考古題詳解

111 年・原住民特考・三等・土木工程
試題代碼 工程力學（包括流體力學與材料力學）

第 一 題25 分

圖一所示矩形閘門 AB\text{AB}，高 3 m3\text{ m}，寬度（垂直於圖面）為 2.5 m2.5\text{ m}，A\text{A} 和 B\text{B} 兩點處皆以螺絲鎖緊。若水的密度 ρw=1000 kg/m3\rho_w = 1000\text{ kg}/\text{m}^3。試求作用在閘門 AB\text{AB} 上的水壓力之合力 FRF_R 的大小，並求水壓合力 FRF_R 的作用點到 B\text{B} 點的距離 h=?h=\text{?}

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核心觀念

本題考查垂直平面閘門所受的靜水壓合力及其作用點。

靜水壓力隨水深線性增加：

p=ρwgyp=\rho_w g y

矩形平面所受合力為：

FR=ρwgyˉAF_R=\rho_w g \bar{y}A

其中：

  • yˉ\bar{y}：閘門形心距自由液面的垂直深度
  • AA：閘門受水面積
  • ρw=1000 kg/m3\rho_w=1000\ \text{kg/m}^3
  • g=9.81 m/s2g=9.81\ \text{m/s}^2

解題方法

閘門 ABAB 高度為 3 m3\ \text{m}，寬度為 2.5 m2.5\ \text{m}，且點 AA 位於自由液面下 2 m2\ \text{m}。

因此：

A=3(2.5)=7.5 m2A=3(2.5)=7.5\ \text{m}^2

閘門形心位於 ABAB 中點，距自由液面深度為：

yˉ=2+32=3.5 m\bar{y}=2+\frac{3}{2}=3.5\ \text{m}

1. 水壓合力大小

FR=ρwgyˉAF_R=\rho_w g\bar{y}A FR=(1000)(9.81)(3.5)(7.5)F_R=(1000)(9.81)(3.5)(7.5) FR=257512.5 NF_R=257512.5\ \text{N}

所以：

FR≈257.5 kN\boxed{F_R\approx257.5\ \text{kN}}

2. 水壓合力作用點

垂直矩形平面的壓力中心深度為：

yR=yˉ+IGyˉAy_R=\bar{y}+\frac{I_G}{\bar{y}A}

矩形對形心水平軸的面積慣性矩：

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第 二 題25 分

圖二所示為等截面實心圓桿，圓桿直徑為 50 mm50\text{ mm}，長 L=2 mL=2\text{ m}，楊氏模數 E=5 GPaE=5\text{ GPa}。圓桿之 A\text{A}、B\text{B} 兩端為固定端，在 A\text{A} 點的接頭是由平板構件、U\text{U} 形夾，及直徑為 10 mm10\text{ mm} 之螺栓（bolt）組合而成的。若軸力 P=30 kNP=30\text{ kN} 作用於 C\text{C} 點，則 A\text{A} 端之螺栓所承受的剪應力 τ=?\tau=\text{?} 又，C\text{C} 點之水平位移 δC=?\delta_C=\text{?}

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核心觀念

本題考查兩端固定之軸向受力桿件：

  1. 利用各段軸向變形公式 δ=NLAE\delta=\frac{NL}{AE}
  2. 兩端固定表示總伸縮量為零： δAC+δCB=0\delta_{AC}+\delta_{CB}=0
  3. A 點螺栓位於 U 形夾中，依圖為雙剪情況，螺栓剪應力為 τ=V2Ab,Ab=πd24\tau=\frac{V}{2A_b},\qquad A_b=\frac{\pi d^2}{4}

已知：

LAC=1.2 m,LCB=0.8 m,L=2 mL_{AC}=1.2\text{ m},\qquad L_{CB}=0.8\text{ m},\qquad L=2\text{ m}

d桿=50 mm,E=5 GPa,P=30 kNd_{\text{桿}}=50\text{ mm},\quad E=5\text{ GPa},\quad P=30\text{ kN}

解題方法

設 A–C 段軸力為 N1N_1，C–B 段軸力為 N2N_2。由於 C 點受向右之集中力，兩段桿件的軸力方向相反。

固定端相容條件：

N1LACAE+N2LCBAE=0\frac{N_1L_{AC}}{AE}+\frac{N_2L_{CB}}{AE}=0

因此：

N1(1.2)+N2(0.8)=0N_1(1.2)+N_2(0.8)=0

C 點平衡條件：

N1−N2=P=30 kNN_1-N_2=P=30\text{ kN}

由第一式：

N2=−1.5N1N_2=-1.5N_1

代入平衡式：

N1−(−1.5N1)=30N_1-(-1.5N_1)=30

2.5N1=302.5N_1=30

N1=12 kNN_1=12\text{ kN}

N2=−18 kNN_2=-18\text{ kN}

故 A 端所傳遞之剪力大小為：

VA=12 kNV_A=12\text{ kN}

A 端螺栓剪應力

螺栓直徑：

db=10 mmd_b=10\text{ mm}

單一剪切面面積：

Ab=πdb24=π(10)24=78.54 mm2A_b=\frac{\pi d_b^2}{4} =\frac{\pi(10)^2}{4} =78.54\text{ mm}^2

因為圖示 U 形夾造成雙剪：

A剪=2Ab=157.08 mm2A_{\text{剪}}=2A_b=157.08\text{ mm}^2

因此：

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第 三 題25 分

均質等向性之彈性體，如圖三所示，此物體六個面都承受大小相同之均佈壓力 PP。已知此物體在 xx 方向之長度縮短量為 1.2×10−3 cm1.2\times 10^{-3}\text{ cm}，若此彈性體之楊氏模數 E=20 GPaE=20\text{ GPa}，包森比 ν=0.3\nu=0.3，則此物體之體積應變量（或稱膨脹 dilatation）e=?e=\text{?} 又，均佈壓力 P=?P=\text{?}

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核心觀念

六個面承受大小相同的均佈壓力，因此物體處於三向等值壓縮狀態：

σx=σy=σz=−P\sigma_x=\sigma_y=\sigma_z=-P

線彈性材料的三向應變關係為

εx=1E[σx−ν(σy+σz)]\varepsilon_x=\frac{1}{E}\left[\sigma_x-\nu(\sigma_y+\sigma_z)\right]

體積應變（膨脹量）定義為

e=εx+εy+εze=\varepsilon_x+\varepsilon_y+\varepsilon_z

圖三中，xx 方向長度為 3 cm3\text{ cm}。

解題方法

已知 xx 方向縮短量為

ΔLx=−1.2×10−3 cm\Delta L_x=-1.2\times10^{-3}\text{ cm}

因此

εx=ΔLxLx=−1.2×10−33=−4.0×10−4\varepsilon_x=\frac{\Delta L_x}{L_x} =\frac{-1.2\times10^{-3}}{3} =-4.0\times10^{-4}

由於三方向受力完全相同，且材料為均質等向性材料，所以三方向應變相同：

εx=εy=εz=−4.0×10−4\varepsilon_x=\varepsilon_y=\varepsilon_z=-4.0\times10^{-4}

故體積應變為

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第 四 題25 分

圖四 (a) 所示之簡支梁，受到 M0=2×104 N⋅cmM_0=2\times 10^4\text{ N}\cdot\text{cm} 之力矩作用，此梁之截面是由四片木材用四隻鐵釘所釘成的組合梁，如圖四 (b) 所示。求此梁之最大拉應力 σmax⁡=?\sigma_{\max}=\text{?} 若鐵釘在縱向（xx 向）之間距為 12 cm12\text{ cm}，求每一鐵釘所承受之剪力大小。

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核心觀念

本題考查：

  1. 端部力矩作用下簡支梁的支承反力與剪力。
  2. 組合梁截面的形心與慣性矩。
  3. 彎曲正應力公式
σ=MyI\sigma=\frac{My}{I}
  1. 組合梁鐵釘所承受的縱向剪力，使用剪流公式
q=VQIq=\frac{VQ}{I}

其中：

  • MM：梁內彎矩
  • VV：梁內剪力
  • II：整個組合截面對中性軸的慣性矩
  • QQ：欲求剪流之部分截面對中性軸的一次矩
  • qq：單位梁長的剪力

依圖四（b），截面可視為：

  • 中央兩片木板合成：6 cm×30 cm6\text{ cm}\times30\text{ cm}
  • 左、右兩側各一片：6 cm×18 cm6\text{ cm}\times18\text{ cm}

截面共有四片木材。

一、梁內剪力與彎矩

梁長為

L=2 m=200 cmL=2\text{ m}=200\text{ cm}

兩端力矩大小皆為

M0=2×104 N⋅cmM_0=2\times10^4\text{ N}\cdot\text{cm}

由整體平衡，支承反力形成力偶平衡外加力矩，因此剪力大小為

V=M0L=2×104200=100 NV=\frac{M_0}{L} =\frac{2\times10^4}{200} =100\text{ N}

梁內彎矩最大值為

Mmax⁡=M0=2×104 N⋅cmM_{\max}=M_0=2\times10^4\text{ N}\cdot\text{cm}

二、截面慣性矩

截面關於水平中性軸對稱，因此中性軸位於截面高度中央。

中央兩片木板

合併後尺寸為 6 cm×30 cm6\text{ cm}\times30\text{ cm}，其慣性矩為

I1=bh312=6(30)312=13 500 cm4I_1=\frac{bh^3}{12} =\frac{6(30)^3}{12} =13\,500\text{ cm}^4

左、右兩側木板

每片尺寸為 6 cm×18 cm6\text{ cm}\times18\text{ cm}，且形心位於中性軸上，因此不需使用平行軸定理。

每片慣性矩：

I2=6(18)312=2 916 cm4I_2=\frac{6(18)^3}{12} =2\,916\text{ cm}^4

兩片合計：

2I2=5 832 cm42I_2=5\,832\text{ cm}^4

所以整個組合截面的慣性矩為

I=13 500+5 832=19 332 cm4I=13\,500+5\,832 =19\,332\text{ cm}^4

三、最大拉應力

截面最外緣距離中性軸為

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