112 原住民特考三等 土木工程 測量學 考古題詳解

112 年・原住民特考・三等・土木工程
試題代碼 測量學

第 一 題25 分

如下圖三角形（未依比例繪製），測得觀測量 S1=200.030 mS_1=200.030\ \mathrm{m}、S2=210.352 mS_2=210.352\ \mathrm{m}、S3=156.592 mS_3=156.592\ \mathrm{m}、∠a=48.12′\angle a=48.12'，並已知測角精度為 ±10′′\pm10''、測距精度為 ±3 mm\pm3\ \mathrm{mm}。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

請設計兩種之面積計算方法並比較其精度高低。

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核心觀念

三角形面積可利用不同觀測量計算：

  1. 已知底邊與高： A=12S1S3A=\frac{1}{2}S_1S_3

  2. 已知兩邊及其夾角： A=12S1S2sin⁡aA=\frac{1}{2}S_1S_2\sin a

圖中角度實際為 a=48.12∘a=48.12^\circ；測角精度為 ±10′′\pm10''。若誤讀為 48.12′48.12'，計算結果將與圖示之高 S3S_3 明顯不符。

精度比較採一階誤差傳播，並假設各觀測量誤差彼此獨立。

方法一：底邊與高計算面積

A1=12S1S3A_1=\frac{1}{2}S_1S_3

代入：

A1=12(200.030)(156.592)=15661.549 m2A_1=\frac{1}{2}(200.030)(156.592) =15661.549\ \text{m}^2

對面積公式微分：

dA1=12S3 dS1+12S1 dS3dA_1=\frac{1}{2}S_3\,dS_1+\frac{1}{2}S_1\,dS_3

因此面積中誤差為：

mA1=(S32mS1)2+(S12mS3)2m_{A_1} = \sqrt{ \left(\frac{S_3}{2}m_{S_1}\right)^2+ \left(\frac{S_1}{2}m_{S_3}\right)^2 }

其中：

mS1=mS3=0.003 mm_{S_1}=m_{S_3}=0.003\ \text{m}

故：

mA1=(78.296×0.003)2+(100.015×0.003)2m_{A_1} = \sqrt{ (78.296\times0.003)^2+ (100.015\times0.003)^2 } mA1≈0.381 m2m_{A_1}\approx0.381\ \text{m}^2

相對精度為：

mA1A1=0.38115661.549≈2.43×10−5\frac{m_{A_1}}{A_1} = \frac{0.381}{15661.549} \approx2.43\times10^{-5}

所以：

A1=15661.549±0.381 m2\boxed{A_1=15661.549\pm0.381\ \text{m}^2}

方法二：兩邊夾角計算面積

A2=12S1S2sin⁡aA_2=\frac{1}{2}S_1S_2\sin a

代入 S1=200.030 mS_1=200.030\ \text{m}、S2=210.352 mS_2=210.352\ \text{m}、a=48.12∘a=48.12^\circ：

A2=12(200.030)(210.352)sin⁡48.12∘A_2 = \frac{1}{2}(200.030)(210.352)\sin48.12^\circ A2≈15663.994 m2A_2\approx15663.994\ \text{m}^2

角度誤差必須換算為弧度：

ma=10′′=10206265≈4.848×10−5 radm_a=10'' =\frac{10}{206265} \approx4.848\times10^{-5}\ \text{rad}

對面積公式微分：

dA2=12S2sin⁡a dS1+12S1sin⁡a dS2+12S1S2cos⁡a dadA_2 = \frac{1}{2}S_2\sin a\,dS_1 + \frac{1}{2}S_1\sin a\,dS_2 + \frac{1}{2}S_1S_2\cos a\,da

相對誤差形式為：

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第 二 題25 分

某人欲採用定樁法測定一水準儀之視準軸誤差，過程中觀測位於 AA、BB 兩固定位置之水準尺，並於測站 I 及 II 測得數據如下表（單位均為公尺），請計算該水準儀之視準軸誤差（以弧秒表示）。

🖼️【此處有附表，請對照原卷】

測站水準尺距離讀數
IA251.018
IB301.243
IIA10.985
IIB201.213
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核心觀念

本題考查「定樁法（兩點法）」測定水準儀視準軸誤差。

設視準軸相對於真正水平線的傾斜角為 cc，當水準尺距離測站越遠時，視準軸誤差所造成的讀數差越大。兩測站觀測同一組水準尺，可利用兩次讀數差相減，消除水準尺間的真實高程差。

視準軸誤差公式為

c=(aI−bI)−(aII−bII)(dAI−dBI)−(dAII−dBII)c= \frac{(a_I-b_I)-(a_{II}-b_{II})} {(d_{AI}-d_{BI})-(d_{AII}-d_{BII})}

其中：

  • a,ba,b：水準尺 A、B 的讀數
  • dA,dBd_A,d_B：測站至水準尺 A、B 的距離
  • cc：視準軸誤差，單位為弧度

解題方法

1. 計算兩測站的讀數差

測站 I：

aI−bI=1.018−1.243=−0.225 ma_I-b_I=1.018-1.243=-0.225\text{ m}

測站 II：

aII−bII=0.985−1.213=−0.228 ma_{II}-b_{II}=0.985-1.213=-0.228\text{ m}

兩次讀數差之差為

(aI−bI)−(aII−bII)=(−0.225)−(−0.228)=0.003 m(a_I-b_I)-(a_{II}-b_{II}) =(-0.225)-(-0.228) =0.003\text{ m}

2. 計算距離差之差

測站 I：

dAI−dBI=25−30=−5 md_{AI}-d_{BI}=25-30=-5\text{ m}

測站 II：

dAII−dBII=1−20=−19 md_{AII}-d_{BII}=1-20=-19\text{ m}

因此

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第 三 題25 分

一部電子測距儀，其測距精度為 ±(3 mm+2 ppm)\pm(3\ \mathrm{mm}+2\ \mathrm{ppm})，欲以該儀器施測一段長約 500 m500\ \mathrm{m} 之導線邊，則該如何施測可使該距離之估計精度不大於 ±1 mm\pm1\ \mathrm{mm}？並請說明精度估計過程之假設條件。

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核心觀念

電子測距儀的標稱精度為 ±(a+b ppm)\pm(a+b\,\mathrm{ppm})，其中 aa 是固定誤差項，b ppmb\,\mathrm{ppm} 是隨距離增加的比例誤差項。對約 500 m500\ \mathrm{m} 的單次觀測，其標稱誤差為

±(3 mm+2×10−6×500 m)=±4 mm.\pm\left(3\ \mathrm{mm}+2\times10^{-6}\times500\ \mathrm{m}\right) =\pm4\ \mathrm{mm}.

題目要求的 ±1 mm\pm1\ \mathrm{mm} 是距離估計值的精度，因此須藉由多次獨立觀測取平均，降低隨機誤差。若各次觀測精度相同且彼此獨立，平均值的標準誤差為單次標準誤差除以 n\sqrt{n}。

解題方法

設單次距離觀測的標準差為 σ=4 mm\sigma=4\ \mathrm{mm}，以相同條件重複觀測 nn 次，取算術平均：

Dˉ=1n∑i=1nDi.\bar{D}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}D_i.

在各次觀測相互獨立、同精度且沒有未改正系統誤差的假設下，

σDˉ=σn=4n mm.\sigma_{\bar{D}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{4}{\sqrt{n}}\ \mathrm{mm}.

要求估計精度不大於 1 mm1\ \mathrm{mm}，故

4n≤1⟹n≥16.\frac{4}{\sqrt{n}}\leq1 \quad\Longrightarrow\quad n\geq16.

因此至少須施測 16 次獨立距離觀測，並以其算術平均作為該導線邊的估計距離。此時

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第 四 題25 分

如下圖導線（未依比例繪製），已知二點之 EE-NN 坐標分別為 O(125.0 m, 130.8 m)O(125.0\ \mathrm{m},\ 130.8\ \mathrm{m})、A(145.6 m, 170.3 m)A(145.6\ \mathrm{m},\ 170.3\ \mathrm{m})，並測得水平角 d=65.150∘d=65.150^\circ，ABAB 邊長 30.65 m30.65\ \mathrm{m}，請計算 BB 點坐標。

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核心觀念

本題考查平面坐標法與方位角計算：

  • 方位角以北方向為 0∘0^\circ，順時針量至測線方向。
  • 已知 O、AO、A 坐標，可先由坐標增量求出 OAOA 方位角。
  • 依附圖，水平角 dd 是由 OAOA 延長方向順時針量至 ABAB，因此：
αAB=αOA+d\alpha_{AB}=\alpha_{OA}+d

測線增量公式為：

ΔE=ABsin⁡αAB\Delta E=AB\sin\alpha_{AB} ΔN=ABcos⁡αAB\Delta N=AB\cos\alpha_{AB}

解題方法

已知：

O(125.0, 130.8),A(145.6, 170.3)O(125.0,\ 130.8),\qquad A(145.6,\ 170.3)

其中坐標順序為 (E,N)(E,N)。

由 OO 至 AA 的坐標增量：

ΔEOA=145.6−125.0=20.6 m\Delta E_{OA}=145.6-125.0=20.6\ \text{m} ΔNOA=170.3−130.8=39.5 m\Delta N_{OA}=170.3-130.8=39.5\ \text{m}

因為 OAOA 位於第一象限，其方位角為：

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