113 原住民特考三等 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考的是測量儀器（經緯儀、全站儀、水準儀等）在架設（整置，setting up）過程中兩個最基本、最核心的操作程序：定平（leveling）與定心（centering，又稱對點）。這是測量學「儀器操作」章節的基礎觀念題，屬於各類測量考試必考的基本功，重點在於：

1. 定平與定心的定義。
2. 定平與定心的目的（為何要做），須從儀器軸系關係與觀測誤差來源說明。
3. 何種儀器不需要定心，以及背後的幾何原理。

要回答完整，必須掌握經緯儀（或全站儀）的四大軸系關係：

• 縱軸（豎軸，vertical axis, VV）
• 橫軸（水平軸，horizontal axis, HH）
• 視準軸（line of sight, CC）
• 水準管軸（level axis, LL）

儀器整置的目的就是要讓這些軸系滿足應有的幾何關係（縱軸鉛垂、橫軸水平、視準軸與橫軸垂直等），並使儀器的中心與測站點的鉛垂線重合，這樣觀測到的角度、方向才能正確代表地面點之間的幾何關係。

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解題方法（逐項作答）

一、何謂定平動作？

定平是利用儀器基座上的水準器（圓水準器與長水準管水準器）配合三支腳螺旋（或近年儀器的電子水準補償器），調整儀器使其縱軸（豎軸）呈鉛垂方向（與地球重力方向一致），也就是使儀器的水平度盤（或水平面）確實水平的操作程序。

操作步驟概念：

1. 先用腳架使圓水準器氣泡概略居中（粗略整平）。
2. 再轉動照準部，使水準管平行於任兩支腳螺旋連線，調整這兩支腳螺旋使氣泡居中。
3. 將照準部旋轉 90°，調整第三支腳螺旋使氣泡居中。
4. 反覆檢核，直到照準部轉到任何方向，水準管氣泡皆居中為止，此時縱軸即已鉛垂。

二、為何要做定平？

因為經緯儀（或全站儀）觀測水平角、垂直角的原理，是建立在縱軸鉛垂、水平度盤與水平面重合的假設上。若縱軸未鉛垂（儀器傾斜）：

• 水平度盤會傾斜，讀取的水平角將產生系統誤差，且此誤差會隨望遠鏡俯仰角（垂直角）增大而增大，是無法用正倒鏡取平均消除的誤差（因為傾斜方向固定，正倒鏡觀測誤差同向出現）。
• 垂直角（豎直角）觀測也會受到指標差以外的額外誤差影響，量測結果失真。

因此定平的目的即在消除或避免因縱軸不鉛垂所產生的水平角與垂直角觀測誤差，確保度盤所量得的角度確實代表水平面上與鉛垂面上的真實夾角。

三、何謂定心動作？

定心（又稱對點、對中，centering）是利用儀器基座下方的垂球（吊錘）或現代儀器內建的光學對點器（optical plummet）／雷射對點器（laser plummet），調整儀器（或利用平移基座、伸縮腳架）使儀器中心（縱軸與地面的交點）與測站標示點（地面樁位中心）位於同一鉛垂線上的操作程序。

操作重點：先概略對點（移動腳架腳使對點器大致對準測站點），再進行精確定平，最後利用移動式基座（平移螺旋）作微量水平移動做精確對中，且此過程須與定平交替反覆進行，直到「氣泡居中」與「對點器對準點位」同時滿足為止。

四、為何要做定心？

因為觀測角度、距離的目的，是要求得地面點之間的水平角、水平距離或方向。若儀器中心與測站點不重合（存在偏心，即所謂的歸心誤差／偏心誤差，centering error），則：

核心觀念

本題考的是「e-GNSS 即時動態定位系統（Network RTK）」在實務放樣作業中的應用層面知識，屬於「測量儀器與工程應用」的整合題型，而非單純的定位原理計算題。考生需掌握三個層次：

1. e-GNSS 系統的本質：內政部國土測繪中心建置的 e-GNSS（e-GNSS：electronic-GNSS，網路即時動態定位系統）是一種 Network RTK（VRS，Virtual Reference Station，虛擬參考站） 服務。其原理是利用全台密布的固定基準站（約 50 餘座），透過網際網路即時計算流動站鄰近位置的「虛擬基準站」改正參數（含電離層、對流層延遲、軌道誤差等），再以 RTCM（Radio Technical Commission for Maritime Services）格式將差分改正資料經行動網路（GPRS/4G）傳送給流動站接收機，使流動站在**單機作業（不需自架固定基準站）**下即可達到公分級即時定位精度。
2. 放樣作業的定義：放樣（Setting-out / Stake-out）是測量的逆運算——已知設計座標（或設計線、設計高程），透過儀器在地面上標定出對應的實際位置，供工程施工使用，其精度要求與一般測繪點位測定相同，但作業流程是「反算方位角與距離（或直接比對座標差）」而非單純觀測後計算座標。
3. e-GNSS 用於放樣的優勢與限制：優勢是免架設基準站、單人即可作業、效率高；限制是需有行動通訊訊號、上空遮蔽（樹林、高樓、隧道、地下室）不可使用，且精度略低於長距離靜態測量或傳統 RTK（架設己方基準站）。

解題方法

本題屬「條列說明題」，答題架構應分兩大部分：（一）硬體設備、（二）放樣步驟，且每一部分內部需依「儀器功能」與「作業邏輯」分層鋪陳，方能展現對整套作業流程的掌握，而非零散羅列。

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一、所需測量硬體設備

放樣作業的硬體可分為「定位主體設備」、「通訊傳輸設備」與「輔助設備」三類：

1. GNSS 流動站接收機（Rover Receiver） 可接收 GPS、GLONASS、Galileo、BeiDou 等多系統衛星訊號之大地測量型（Geodetic-grade）GNSS 接收機，為放樣定位之核心主體。

2. 天線（含量高附件） 接收機天線通常架設於基座頂端或直接整合於接收機本體（一體式手持桿），需配合**量取儀器高（天線相位中心至地面點之高度）**之量尺或定製之伸縮桿（Pole），確保高程改正無誤。

3. 行動數據通訊模組（NTRIP 用戶端） 接收機須內建或外接支援 NTRIP（Networked Transport of RTCM via Internet Protocol） 協定之通訊模組（3G/4G SIM 卡或行動熱點），用以連線至國土測繪中心的 e-GNSS 網路即時動態定位系統伺服器，接收 VRS 虛擬觀測值或改正參數。

4. 手持控制器（Controller / Data Collector） 內建放樣軟體之掌上型電腦或平板，用以： （1）設定連線帳號密碼、選擇坐標系統（如 TWD97）； （2）輸入設計放樣點座標； （3）即時顯示流動站現在位置與目標點之偏移方向、距離，引導操作員移動至正確位置； （4）記錄與儲存放樣成果。

5. 三腳架、對中桿與水平氣泡（輔助定平定心設備） 用以確保天線在觀測瞬間精確對準地面標定點鉛垂線上，避免傾斜誤差。

6. 電源設備（電池組） 供接收機與控制器持續運作之電力來源，長時間作業須備妥備用電池。

7. 現場標定工具 如樁釘、噴漆、旗標等，用於將計算求得之正確位置實際標示於地面。

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二、放樣作業步驟

放樣的邏輯是：先取得即時座標 → 與設計座標比對差值 → 依差值引導移動 → 收斂至容許誤差內 → 標定。具體步驟如下：

步驟 1：作業前置準備 （1）確認欲放樣點之設計座標（三維座標 $(X, Y, H)$ 或 $(E, N, h)$）已輸入控制器放樣軟體，並確認坐標系統（如 TWD97 二度分帶）、投影參數與大地起伏模型（Geoid Model）設定正確，以確保橢球高換算至正高（海拔高）無誤。

核心觀念

誤差傳播（Error Propagation / Propagation of Errors）是測量學中，由「觀測量的誤差」推求「經計算後所得函數值之誤差」的理論。其數學基礎為微分與變異數（方差）合成原理。

測量工作中，觀測值 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 本身都帶有觀測誤差（以標準差 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n$ 表示其精度），而我們常需要利用這些觀測值透過某個函數關係

$Z = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

計算出另一個量 $Z$（例如：由角度、邊長算面積、算座標、算高程等）。由於 $x_i$ 有誤差，$Z$ 必然也帶有誤差，此誤差如何由 $x_i$ 的誤差「傳播」而來，即為誤差傳播理論所要解決的問題。

誤差傳播的一般公式（General Law of Propagation of Variance）：

對函數 $Z = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，先取全微分（線性化）：

$dZ = \frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}dx_2 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n$

若各觀測值 $x_i$ 彼此獨立（互不相關），依變異數合成法則，$Z$ 之變異數為：

$\sigma_Z^2 = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)^2 \sigma_1^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)^2 \sigma_2^2 + \cdots + \left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^2 \sigma_n^2$

即

$\sigma_Z^2 = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_i^2$

若各觀測值間存在相關性（協變異數 $\sigma_{ij} \neq 0$），則須加入交叉項：

$\sigma_Z^2 = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_i^2 + 2\sum_{i<j}\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial f}{\partial x_j}\sigma_{ij}$

線性函數時（如 $Z = a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots$），偏微分即為常數係數 $a_i$，公式直接套用即得精確結果，此為考生最熟悉的情形（如水準測量高程和、多角形內角和誤差等）。

非線性函數時（如含三角函數、乘積、開根號、對數等），偏微分係數會隨觀測值本身的數值而變（即係數本身也是變數的函數），因此必須先對函數在觀測值（近似值）處求偏導數並代入該點數值，才能得到局部線性化後的誤差傳播係數，此即「非線性誤差傳播」與線性誤差傳播最本質的差異——非線性情形的誤差傳播係數不是常數，而是隨觀測值大小改變的「局部線性化係數」，這也正是本題要求考生舉非線性例子的核心考點。

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解題方法

答題架構分為兩部分：(1) 定義誤差傳播、(2) 舉一非線性範例並詳細推導。以下以測量學中最常見、最具代表性的非線性誤差傳播範例——「以斜距與垂直角計算水平距離（或高差）」，或更基本的**「三角形面積公式（以兩邊夾一角）」為例。這裡採用「由觀測邊長與觀測角度計算三角形面積」**作為範例，因其同時涉及乘積與三角函數，非線性特徵明顯，且是測量學考試常見題型。

範例：以兩邊夾一角公式計算三角形面積之誤差傳播

設三角形兩邊長 $a$、$b$ 及其夾角 $C$ 均為觀測值，觀測值與其標準差為：

$a = 100.00\text{ m}, \quad \sigma_a = \pm 0.02\text{ m}$ $b = 80.00\text{ m}, \quad \sigma_b = \pm 0.02\text{ m}$ $C = 60^\circ00'00'', \quad \sigma_C = \pm 10''$

面積公式（非線性函數，含乘積與正弦函數）：

$Z = \frac{1}{2}ab\sin C$

步驟一：對各變數求偏導數

$\frac{\partial Z}{\partial a} = \frac{1}{2}b\sin C$

$\frac{\partial Z}{\partial b} = \frac{1}{2}a\sin C$

$\frac{\partial Z}{\partial C} = \frac{1}{2}ab\cos C$

由於 $\sin C$、$\cos C$ 皆為 $C$ 之非線性函數，且偏導數中含 $a$、$b$ 之乘積，故此三個偏導數（即誤差傳播係數）皆非常數，而是與觀測值本身數值有關——這正是非線性函數誤差傳播的關鍵特徵。

步驟二：代入觀測值數值，求出各偏導數在該點之數值

$C = 60^\circ$，故 $\sin C = \sin 60^\circ = 0.8660$，$\cos C = \cos 60^\circ = 0.5000$。

$\frac{\partial Z}{\partial a} = \frac{1}{2}(80.00)(0.8660) = 34.64$

$\frac{\partial Z}{\partial b} = \frac{1}{2}(100.00)(0.8660) = 43.30$

$\frac{\partial Z}{\partial C} = \frac{1}{2}(100.00)(80.00)(0.5000) = 2000.0 \text{（單位：m}^2\text{/rad）}$

特別注意：角度須換算為弧度（radian），因為微分中角度單位必為弧度制。

$\sigma_C = 10''$，換算為弧度：

核心觀念

本題考的是前方交會（三角測量的角度交會法），涉及下列基本工具：

1. 坐標反算：由 $A,B$ 已知坐標求邊長 $AB$ 與方位角 $\alpha_{AB}$。
2. 平面三角形正弦定理：由兩已知角求第三角，再求邊長 $AC,BC$。
3. 坐標正算（極坐標法）：由方位角＋邊長推求未知點坐標。
4. 前方交會唯一解的幾何原理：ASA（邊夾角）決定三角形。
5. 三角形內角和條件式：三角網平差中最基本的「角條件」，用來校核多餘觀測。

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解題方法

一、有幾組解？為什麼？

結論：恰有一組解。

原因：

• $A,B$ 為已知點，故基線 $AB$ 的邊長與方位角均為定值（相當於三角形已固定一邊的長度與絕對方向）。
• 再加上兩個鄰角 $\angle CAB,\angle ABC$，依平面幾何 ASA（一邊夾兩角）全等定理，三角形 $ABC$ 的形狀、大小已被唯一決定。
• 純就角度數值而言，理論上還存在一個以直線 $AB$ 為對稱軸的鏡射解同樣滿足這兩個角值；但野外觀測角度時，觀測者是站在 $A$（或 $B$）以 $AB$ 為起始邊，依固定方向（順時針或逆時針）照準 $C$，這個「觀測方向」已把 $C$ 所在的側別唯一固定下來，並非事後由角度大小去猜。
• 因此，只要依觀測記錄（或現場略圖）確定 $C$ 在 $AB$ 的哪一側，計算結果只有一組解，不會有正反兩解的疑慮。

（本題依常見教科書繪法，假設由 $A$ 望向 $B$ 時，$C$ 在其左側進行計算；此側別本應由現場略圖決定，題目未附圖，此為必要之合理假設。）

這也是「角度交會法」優於「距離交會法」之處：距離交會法（以 $AC,BC$ 為半徑畫兩弧）在數學上本來就會交於兩點（對稱於 $AB$），須另外靠概略坐標剔除錯解；角度交會法因觀測角度本身已隱含方向性，故直接得到單一解。

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二、計算 $C$ 點坐標

Step 1：求基線 $AB$ 的邊長與方位角

$\Delta E_{AB}=E_B-E_A=18348.962-17621.870=727.092\ \text{m}$ $\Delta N_{AB}=N_B-N_A=8165.604-8412.320=-246.716\ \text{m}$

$AB=\sqrt{727.092^2+246.716^2}=767.810\ \text{m}$

因 $\Delta E>0,\ \Delta N<0$，方位角落在第二象限（$90^\circ\sim180^\circ$）：

$\alpha_{AB}=180^\circ-\arctan\frac{727.092}{246.716}=180^\circ-71^\circ15'23''=108^\circ44'37''$

Step 2：求 $\angle ACB$

$\angle ACB=180^\circ-(\angle CAB+\angle ABC)=180^\circ-(17^\circ16'08''+80^\circ37'12'')=82^\circ06'40''$

Step 3：正弦定理求 $AC,BC$

$\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{BC}{\sin\angle CAB}=\frac{AB}{\sin\angle ACB}$

$AC=AB\cdot\frac{\sin80^\circ37'12''}{\sin82^\circ06'40''}=767.810\times\frac{0.98663}{0.99054}\approx764.78\ \text{m}$

$BC=AB\cdot\frac{\sin17^\circ16'08''}{\sin82^\circ06'40''}=767.810\times\frac{0.29686}{0.99054}\approx230.11\ \text{m}$

Step 4：推求方位角 $\alpha_{AC}$，並以極坐標法求 $C$

依假設（$C$ 在 $AB$ 左側）：

$\alpha_{AC}=\alpha_{AB}-\angle CAB=108^\circ44'37''-17^\circ16'08''=91^\circ28'29''$

$E_C=E_A+AC\sin\alpha_{AC}=17621.870+764.78\times\sin91^\circ28'29''\approx18386.40\ \text{m}$ $N_C=N_A+AC\cos\alpha_{AC}=8412.320+764.78\times\cos91^\circ28'29''\approx8392.64\ \text{m}$

Step 5：由 $B$ 點校核

$\alpha_{BC}=(\alpha_{AB}+180^\circ)+\angle ABC-360^\circ=9^\circ21'49''$