113 原住民特考三等 土木工程 結構學與鋼筋混凝土學 考古題詳解

核心觀念

本題考查靜定梁的影響線。令一個大小為 $1$ 的集中活載由 $A$ 向 $D$ 移動，位置以 $x$ 表示：

採用下列正號約定：

• 彎矩：下凹（正彎矩）為正；
• 剪力：左截面向上為正；
• 支承反力：向上為正。

圖中 $B$ 為內鉸，故

且可將梁於 $B$ 點分開分析。

解題方法

一、$A$ 點彎矩 $M_A$ 之影響線

$A$ 點為鉸支承，不傳遞彎矩，因此不論單位載重位於何處：

故其影響線為全線重合於基準線。

二、$D$ 點向上反力 $R_D$ 之影響線

當單位載重位於 $AB$ 段，即 $0\leq x\leq5$ 時，對左段 $AB$ 取 $B$ 點力矩：

因此

左段對右段在 $B$ 點作用向下的力為 $x/5$。對右段取 $C$ 點力矩：

所以

當單位載重位於 $BC$ 或 $CD$ 段時，左段 $AB$ 無外力，$B$ 點鉸接力為零。對右段取 $C$ 點力矩：

因此

主要縱座標為：

三、$C$ 點彎矩 $M_C$ 之影響線

當載重位於 $AB$ 段時，$B$ 點傳至右段的向下力為 $x/5$，故：

當載重位於 $BC$ 段時，直接對 $C$ 點取左側力矩：

當載重位於 $CD$ 段時，$C$ 點左側沒有載重造成的力矩，因此：

主要縱座標為：

核心觀念

本題判斷兩件事：

1. 穩定性：結構是否能限制平面剛體的三個自由度，即水平平移、垂直平移及轉動。
2. 靜定性：未知反力與內力是否可僅用平衡方程式求得。

平面剛架可採用：

其中：

• $r$：外部支承反力數
• $h$：內部鉸數
• $b$：剛體數
• $D_s$：靜不定度

若為桁架，採用：

其中：

• $m$：桿件數
• $r$：支承反力數
• $j$：節點數

（a）

判斷

不穩定，且非靜不定。

理由

圖中左右兩端均為滾輪支承，每一個滾輪只能提供一個方向的反力，因此：

但平面剛體需要三個獨立約束，才能限制兩個平移自由度及一個轉動自由度。此結構只有兩個支承反力，約束不足，仍存在一個自由運動方向，故為不穩定結構。

以剛體公式表示：

負值代表約束不足一個，並非靜不定。

快速判斷

單一平面剛體若僅由兩個滾輪支承，通常無法同時限制水平、垂直及轉動，應直接判定為不穩定。

（b）

判斷

穩定，靜不定二度。

解題方法

內部鉸將結構分成兩個剛體：

• 左側水平構架及中間柱：一個剛體
• 內部鉸右側之水平構件：一個剛體

因此：

左右兩端及中間柱底部均為鉸支承，每一鉸支承提供兩個反力分量：

故：

所以為靜不定二度。

穩定性說明

左端與右端支承限制水平、垂直位移，中間柱支承提供額外垂直及水平約束；內部鉸雖可自由轉動，但不會造成整體機構運動，因此結構穩定。

（c）

判斷

穩定，靜定。

解題方法

內部鉸將結構分成兩個剛體：

• 左側斜桿：一個剛體
• 右側剛架：一個剛體

故：

左下及右下均為鉸支承，每個提供兩個反力分量：

因此：

所以為靜定結構。

穩定性說明

核心觀念

本題為矩形繫筋柱之軸力—彎矩強度分析，依民國 113 年鋼筋混凝土設計規定：

1. 繫筋柱標稱最大軸向強度：

2. 標稱最大彎矩強度採用應變相容法與 Whitney 等效矩形壓力塊：

其中 $a=\beta_1c$。因本題 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，取 $\beta_1=0.85$。

一、標稱最大軸向強度

柱斷面面積：

上下各配置 $5$ 支 D32，因此：

代入公式：

換算為 tf：

二、標稱最大彎矩強度

上下排鋼筋中心位置距離：

柱截面重心距頂面：

由於上下鋼筋數量及面積相同，最大彎矩發生於中性軸位於截面中央：

此時兩排鋼筋之應變大小相同：

鋼筋降伏應變約為：

因此上下兩排鋼筋皆已降伏。

混凝土壓力

等效壓力塊深度：

混凝土壓力：

其作用線距截面重心：

核心觀念

本題考查簡支梁在均佈載重下的最大彎矩、鋼筋混凝土梁的單筋矩形斷面強度設計，以及主筋配置的淨距檢核。

依命題當年（民國 113 年）適用的《建築物混凝土結構設計規範》，載重組合採 $U=1.2D+1.6L$。梁的設計彎矩須由鋼筋提供的設計強度抵抗，即 $\phi M_n\ge M_u$。單筋矩形梁採用：

本題採拉力控制斷面的強度折減係數 $\phi=0.90$。

解題方法

先將載重因數化：

簡支梁承受全跨均佈載重時，最大彎矩在跨中：

要求名義彎矩強度：

將 $a=A_sf_y/(0.85f'_c b)$ 代入彎矩公式，使用 $b=40\ \mathrm{cm}$、$d=63\ \mathrm{cm}$、$f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$，求得所需鋼筋量：

解得：

依各號鋼筋面積計算根數，根數均須向上取整：