109 原住民特考三等 土木工程 結構學與鋼筋混凝土學 考古題詳解

核心觀念

此題考固定端剛架在「不考慮軸向變形」下的斜率位移法。$a$、$c$ 兩端固定，且無節點平移，因此未知自由度只有 $b$ 點轉角 $\theta_b$。各桿件在 $b$ 點的轉動剛度為 $4EI/L$；固定端的另一端彎矩則為該桿件 $b$ 端彎矩的一半，稱為傳遞彎矩。

以下以順時針為正表示轉角及構件端彎矩。

解題方法

圖中 $ab=3\ \mathrm{m}$、$bc=2\ \mathrm{m}$，$b$ 點受順時針力矩 $30\ \mathrm{kN\cdot m}$。兩桿對 $b$ 點的總轉動剛度為

由力矩平衡，兩桿提供的抗力矩總和等於外加力矩：

故 $b$ 點轉角為順時針 $0.009\ \mathrm{rad}$。

$ab$ 桿件端點彎矩

$ab$ 桿在 $b$ 端的端彎矩為

$a$ 端固定，傳遞彎矩為 $b$ 端的一半：

核心觀念

此題考連續梁的撓度相容與節點轉角相容。支承點 $a、b、c$ 的垂直位移皆為零，但連續梁在 $b$ 點可轉動；以共同轉角 $\theta_b$ 建立梁的勁度方程，再由端彎矩與靜力平衡求支承反力。

依圖，$ab=4\,\mathrm m$，集中載重位於距 $a$ 點 $2\,\mathrm m$ 處；$bc=2\,\mathrm m$。以下取逆時針轉角為正，彎矩圖以撓曲正彎矩為正。

解題方法

採梁元素勁度法。對長度為 $L$ 的梁元素，其轉角勁度矩陣為

$ab$ 跨承受跨中集中載重，其固定端等效節點彎矩大小為

在 $a、b$ 端的等效節點彎矩分別為 $-6、+6\ \mathrm{kN\cdot m}$。由 $EI=2000\ \mathrm{kN\cdot m^2}$，兩跨的轉角勁度方程為

由第一式與第三式得

代入 $b$ 點方程：

即 $b$ 點逆時針轉角為 $0.002\ \mathrm{rad}$。

$bc$ 跨沒有跨內載重。其 $b$ 端轉角方向對應的梁端節點彎矩為

核心觀念

本題考混凝土梁的應變相容與名目彎矩強度。極限狀態下，截面應變沿深度呈線性分布；拉力筋應變以中性軸深度 $c$ 計算。混凝土壓力則以等值矩形壓力塊計算，其深度為 $a=\beta_1c$，再由壓力合力對拉力筋取矩求 $M_n$。

解題方法

圖 3 中翼版寬 $b_f=60\ \mathrm{cm}$、厚 $h_f=10\ \mathrm{cm}$，腹板寬 $b_w=30\ \mathrm{cm}$。已知 $c=16.26\ \mathrm{cm}$、$d=50\ \mathrm{cm}$。本題 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，取 $\beta_1=0.85$，故

因 $a>h_f$，矩形壓力塊涵蓋整個翼版，並延伸進腹板 $13.821-10=3.821\ \mathrm{cm}$。

拉力筋應變由線性應變分布求得：

鋼筋降伏應變為

因 $\varepsilon_s>\varepsilon_y$，拉力筋已降伏。

曲率為

核心觀念

本題考應變相容與斷面內力平衡。假設平面保持平面，極限狀態下混凝土最外側壓應變為 $\varepsilon_c=0.003$，依中性軸深度 $c$ 求鋼筋應變，再判斷鋼筋是否降伏。混凝土壓力以等值矩形應力塊計算；若壓力鋼筋位於應力塊內，計算鋼筋內力時須扣除其所取代的混凝土壓力。

解題方法

取頂面為混凝土壓力側，$c=18\ \mathrm{cm}$；壓力筋距頂面 $d'=6.5\ \mathrm{cm}$，拉力筋距頂面 $d=33.5\ \mathrm{cm}$。由線性應變分布：

鋼筋降伏應變為：

因此，拉力筋應變大於降伏應變，拉力筋已降伏，$f_s=f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$；壓力筋應變小於降伏應變，尚未降伏：

採用 $\beta_1=0.85$，等值矩形應力塊深度為：

壓力筋距頂面 $6.5\ \mathrm{cm}<a$，位於應力塊內。每側三根 D25 的鋼筋面積為：

混凝土壓力、壓力筋淨壓力及拉力筋拉力分別為：