109 原住民特考三等 土木工程 土壤力學（包括基礎工程） 考古題詳解

核心觀念

黏土的不排水剪力強度 $S_u$ 隨有效覆土應力增加。本題地下水位在地表，故土層中的垂直有效應力以浮重度計算：

依圖示圓柱形滑動面的半徑 $B$，以深度 $B$ 的有效覆土應力代表承載破壞區的強度，再套用承載力公式 $q_{\mathrm{ult}}=N_cS_u$。基礎為條形基礎，因此每公尺長度的極限荷重為 $Q_{\mathrm{ult}}=q_{\mathrm{ult}}B$。

解題方法

取 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$，先求浮重度：

在圖示代表深度 $B=4\ \mathrm{m}$ 處，垂直有效覆土應力為：

由正規化不排水剪力強度：

核心觀念

本題評量土壤力學最基礎且每年必考的**土壤三相系統（Three-Phase System）**物理性質指標與互換關係。

土壤由固相（土粒）、液相（水）與氣相（空氣）組成。解題仰賴以下基本定義與三相基本關係式：

1. 水的常態密度：常溫常壓下取 $\rho_w = 1000\ \mathrm{kg/m^3} = 1.0\ \mathrm{g/cm^3}$。
2. 統體密度（Bulk Density, $\rho$）：土樣總質量與總體積之比值： $\rho = \frac{M}{V}$
3. 乾土密度（Dry Density, $\rho_d$）：土粒烘乾後質量與土樣總體積之比值： $\rho_d = \frac{M_s}{V}$
4. 含水量（Water Content, $w$）：水之質量與土粒烘乾質量之比值（通常以百分比表示）： $w = \frac{M_w}{M_s} \times 100\% = \frac{M - M_s}{M_s} \times 100\%$
5. 孔隙比（Void Ratio, $e$）：孔隙體積與土粒體積之比值，可由乾密度與土粒比重公式導出： $e = \frac{V_v}{V_s} = \frac{G_s \rho_w}{\rho_d} - 1$
6. 飽和度（Degree of Saturation, $S$）：孔隙中水分體積佔總孔隙體積之百分比，可利用土壤三相恆等式快速求得： $S \cdot e = w \cdot G_s \implies S = \frac{w \cdot G_s}{e} \times 100\%$

解題方法

已知條件整理

• 土樣總質量：$M = 32.2\ \mathrm{kg}$
• 土樣總體積：$V = 0.0175\ \mathrm{m^3}$
• 烘乾土粒質量：$M_s = 27.5\ \mathrm{kg}$
• 土粒比重：$G_s = 2.65$
• 水的密度常數：$\rho_w = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$

（一）求統體密度（bulk density, $\rho$）

統體密度為未烘乾前的總質量除以總體積： $\rho = \frac{M}{V} = \frac{32.2\ \mathrm{kg}}{0.0175\ \mathrm{m^3}} = 1840\ \mathrm{kg/m^3} = 1.84\ \mathrm{g/cm^3}\ (\text{或 } 1.84\ \mathrm{t/m^3})$

（二）求乾土密度（$\rho_d$）

乾土密度為烘乾土粒質量除以試體總體積： $\rho_d = \frac{M_s}{V} = \frac{27.5\ \mathrm{kg}}{0.0175\ \mathrm{m^3}} \approx 1571.43\ \mathrm{kg/m^3} = 1.571\ \mathrm{g/cm^3}$

（三）求含水量（$w$）

1. 計算土中水分質量： $M_w = M - M_s = 32.2 - 27.5 = 4.7\ \mathrm{kg}$
2. 計算含水量： $w = \frac{M_w}{M_s} \times 100\% = \frac{4.7}{27.5} \times 100\% \approx 17.09\%$

（四）求孔隙比（$e$）

• 方法一：利用體積綜合法（最嚴謹）

1. 土粒實體體積： $V_s = \frac{M_s}{G_s \cdot \rho_w} = \frac{27.5}{2.65 \times 1000} \approx 0.010377\ \mathrm{m^3}$
2. 孔隙體積（水與空氣之體積合）： $V_v = V - V_s = 0.0175 - 0.010377 = 0.007123\ \mathrm{m^3}$
3. 孔隙比：

核心觀念

本題考查無限邊坡沿平行坡面的破壞面滑動時，如何以切片力平衡推導安全係數。安全係數定義為滑動面上的可提供抗剪力除以促使土體滑動的剪力：

依圖示，$H$ 為垂直方向的滑動土層厚度，$L$ 為水平切片寬度；地下水位在破壞面下方，因此破壞面上不計孔隙水壓。

解題方法

取單位出平面寬度的土體切片，並假設無限邊坡各切片條件相同、兩側水平力 $E_1$ 與 $E_2$ 相等而互相抵消。切片重量為

滑動面與水平面的夾角為 $\beta$，故重量沿滑動面方向及垂直滑動面方向的分力分別為

圖示的滑動面長度為 $L/\cos\beta$，因此單位出平面寬度的滑動面面積為

依莫爾－庫侖抗剪強度，滑動面可提供的抗剪力為

核心觀念

本題考查正常壓密黏土的主壓密沉陷。將黏土層分成數個薄層，對每層使用一維壓密公式，再加總各層沉陷：

其中 $\sigma'_{0i}$ 為該薄層中心的初始有效應力，$\Delta\sigma_i$ 為基礎載重造成的應力增量。

解題方法與計算

依圖示，基礎底面位於地表下 $3\ \mathrm{m}$，黏土層頂面位於地表下 $8\ \mathrm{m}$，因此黏土頂面在基礎底面下 $5\ \mathrm{m}$。取 $\gamma_w=10\ \mathrm{kN/m^3}$，並將 $12\ \mathrm{m}$ 黏土層分成 $12$ 個厚度各為 $1\ \mathrm{m}$ 的薄層，以各層中心計算。

基礎均佈載重與筏基自重合計為

令 $x$ 為薄層中心距黏土層頂面的深度，則該點距基礎底面的深度為 $z=5+x$。依 $2:1$ 傳遞法，方形基礎 $B=L=10\ \mathrm{m}$ 下方的應力增量為

初始有效應力則為

下表列出各薄層中心的計算值；沉陷以 $S_i=\dfrac{0.65}{1+1.12}\log_{10}(1+\Delta\sigma_i/\sigma'_{0i})$ 計算。