113 原住民特考三等 土木工程 土壤力學 考古題詳解

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核心觀念

本題考察**單向度壓密理論（One-Dimensional Consolidation Theory）**兩大核心公式：

1. 主要壓密沉陷量公式（由孔隙比變化推導）： $S_c = H \cdot \frac{\Delta e}{1+e_0} = H \cdot \frac{e_0 - e}{1+e_0}$

其物理意義：土體體積之減少，來自孔隙比的減少，且土粒體積（固體骨架）不變，故取「單位固體體積」為基準推導出上式。

2. 壓密時間公式（時間因子 Terzaghi 理論）： $T_v = \frac{C_v \cdot t}{H_{dr}^2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{T_v \cdot H_{dr}^2}{C_v}$

其中 $H_{dr}$ 為最大排水距離，是本題的關鍵：

• 單向排水（僅一面可排水）：$H_{dr} = H$
• 雙向排水（上下兩面皆可排水）：$H_{dr} = H/2$

本題第(二)小題明確指出「雙向排水」，故必須將 $H_{dr}$ 取半層厚，這是命題設陷阱之處，考生常忘記除以 2。

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解題方法

(一) 主要壓密沉陷量 $S_c$

已知：

• $H = 7.4\ \mathrm{m} = 740\ \mathrm{cm}$
• $e_0 = 0.988$（初始孔隙比）
• $e = 0.942$（加載後孔隙比）

代入公式： $S_c = H \cdot \frac{e_0 - e}{1+e_0} = 740 \times \frac{0.988 - 0.942}{1 + 0.988}$

逐步計算：

分子：$e_0 - e = 0.988 - 0.942 = 0.046$

分母：$1 + e_0 = 1.988$

比值： $\frac{0.046}{1.988} = 0.023139$

$S_c = 740 \times 0.023139 \approx 17.12\ \mathrm{cm}$

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(二) 達 90% 壓密度所需時間

Step 1：確定最大排水距離 $H_{dr}$

題目說明黏土層「雙向排水」，代表上下兩面均可自由排水，孔隙水最遠只需排到層厚一半處，故： $H_{dr} = \frac{H}{2} = \frac{740}{2} = 370\ \mathrm{cm}$

Step 2：取用對應之時間因子

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核心觀念

本題考察三個緊密相關的夯實 (Compaction) 基本觀念：

1. 相對夯實度 (Relative Compaction, R.C.)

$$R.C. = \frac{\gamma_{d(\text{field})}}{\gamma_{d(\max)}} \times 100\%$$

其中 $\gamma_{d(\max)}$ 為室內標準夯實試驗（Standard Proctor Test）所得之最大乾密度，$\gamma_{d(\text{field})}$ 為工地實測乾密度。R.C. 是工程規範（如「95% R.C.」）用來判定現場回填是否達到夯實要求的指標。

2. 夯實曲線 (Compaction Curve) 的家族性質：夯實曲線是「乾密度 $\gamma_d$ 對含水量 $w$」的關係曲線，其形狀與位置取決於夯實功能（單位體積輸入的夯實能量）。夯實功愈大，曲線會整體上移且峰值左移——即 $\gamma_{d(\max)}$ 增大、最佳含水量 (O.M.C.) 減小。這是解釋「為何現場乾密度會超過室內標準夯實曲線之最大值」的關鍵。

3. 夯實（緻密度）與剪力強度的關係：對於砂土（粒狀土）而言，乾密度愈高代表孔隙比 $e$ 愈小、相對密度 $D_r$ 愈高，依 Mohr–Coulomb 摩擦型破壞準則

$$\tau_f = \sigma' \tan\phi'$$

內摩擦角 $\phi'$ 隨 $D_r$ 增加而增加，故緻密砂土之抗剪強度較鬆砂為高，且剪切時傾向產生**剪脹（dilation）**行為。

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解題方法

(一) 相對夯實度計算

依定義直接代入：

$$R.C. = \frac{\gamma_{d(\text{field})}}{\gamma_{d(\max)}}\times100\% = \frac{18.5}{17.5}\times100\% = 105.7\%$$

【答案】R.C. ≈ 105.7%（已超過 100%）。

(二) 以夯實曲線說明成因與對剪力強度之影響

Step 1：反算現場含水量，確認落點位置

由 $\gamma = \gamma_d(1+w)$：

$$w_{\text{field}} = \frac{\gamma}{\gamma_d} - 1 = \frac{21.8}{18.5} - 1 = 0.1784 = 17.84\% \approx 17.8\%$$

可見現場含水量幾乎恰等於室內試驗所得之 O.M.C.（17.8%），但現場乾密度（18.5 kN/m³）卻高於室內標準夯實試驗曲線的峰值（17.5 kN/m³）。

Step 2：在夯實曲線圖上標定此點，說明矛盾之處

若將現場點 $(w=17.8\%,\ \gamma_d=18.5)$ 畫在室內標準夯實曲線上，會發現此點落在標準夯實曲線峰值的正上方——也就是「同一含水量、卻比標準夯實曲線所能達到的最大乾密度還高」。在標準夯實曲線本身的能量水準下，這是不可能發生的（曲線本身已經是該能量下所有含水量對應乾密度的上包絡線，峰值即為最大值）。

Step 3：以「夯實功能不同會產生不同曲線族」解釋

夯實試驗結果並非唯一曲線，而是隨**夯實功（compactive effort）**大小構成一族曲線：

• 夯實功愈大 → 曲線整體上移（$\gamma_{d(\max)}$ 變大）且左移（O.M.C. 變小）；

核心觀念

本題考的是**三軸壓密不排水試驗（CU Test）**的資料分析，重點在於：

1. 總應力分析 vs. 有效應力分析：CU 試驗雖然壓密階段排水、但剪切階段不排水，故破壞當下會產生孔隙水壓 $u_f$。因此同一組試驗資料可以分別用「總應力莫爾圓」與「有效應力莫爾圓」畫出兩條不同的破壞包絡線，對應到兩個不同的摩擦角：

• $\phi_{CU}$：總應力包絡線的摩擦角（Consolidated-Undrained，總應力法）
• $\phi_{CD}$（即有效應力摩擦角 $\phi'$）：有效應力包絡線的摩擦角，其物理意義等同於 CD 試驗會得到的排水摩擦角，因為土壤的有效應力強度參數與排水路徑無關，只要是同一種土、同樣的壓密狀態，CU 與 CD 試驗換算出的有效應力包絡線理論上會重合。

2. 正常壓密黏土（Normally Consolidated Clay, NC Clay）的關鍵假設： NC 黏土因為從未受過大於現有覆土壓力的預壓，其莫爾庫倫破壞包絡線會通過原點，也就是 $c = 0 \quad (\text{總應力凝聚力}), \qquad c' = 0 \quad (\text{有效應力凝聚力})$ 這是本題能夠只用一組（單一圍壓）試驗資料就求出摩擦角的必要前提；若是過壓密黏土（OC Clay），則 $c, c' \neq 0$，必須用兩組以上試驗資料連線才能求包絡線斜率。

3. 莫爾圓與包絡線相切的幾何關係： 當破壞包絡線通過原點時，莫爾圓圓心到原點的距離 $d = \dfrac{\sigma_1+\sigma_3}{2}$，圓半徑 $R=\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}$，包絡線與圓相切的條件為 $\sin\phi = \frac{R}{d} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{\sigma_1+\sigma_3}$ 這是本題計算摩擦角的核心公式（僅適用於 $c=0$ 或 $c'=0$ 的情形）。

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解題方法

Step 1：求破壞時之總應力大主應力與小主應力

已知圍壓即小主應力： $\sigma_3 = 48\ \mathrm{kN/m^2}$

軸差應力（Deviator Stress）定義為 $\Delta\sigma_f = \sigma_1-\sigma_3$，故： $\sigma_1 = \sigma_3 + \Delta\sigma_f = 48+50 = 98\ \mathrm{kN/m^2}$

Step 2：總應力法求 $\phi_{CU}$

因為是正常壓密黏土，總應力包絡線通過原點（$c=0$），代入前述公式： $\sin\phi_{CU} = \frac{\sigma_1-\sigma_3}{\sigma_1+\sigma_3} = \frac{98-48}{98+48} = \frac{50}{146} = 0.3425$

$\boxed{\phi_{CU} = \sin^{-1}(0.3425) \approx 20.0^\circ}$

Step 3：由總應力換算有效應力

破壞時測得之孔隙水壓 $u_f = 18\ \mathrm{kN/m^2}$，依據有效應力原理 $\sigma' = \sigma - u$：

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(一) 液性限度（Liquid Limit）之試驗方法

核心觀念

阿太堡限度（Atterberg Limits）將細粒土依含水量分為四種狀態：固態→半固態（縮限 SL）→塑性狀態（塑限 PL）→液態（液限 LL）。液性限度（LL）定義為土壤由「塑性狀態」轉變為「液態」的含水量分界點，也可理解為土壤抗剪強度趨近於某一極小標準值（約 2.7 kPa）時之含水量。

解題方法（試驗原理與操作步驟）

液性限度是以**卡沙格蘭德液限儀（Casagrande Liquid Limit Device）**求得，屬於 ASTM D4318（我國對應 CNS 12455）規範之標準試驗：

1. 儀器組成：黃銅碗（Brass cup）以樞軸固定於硬橡膠底座上，凸輪轉動可使黃銅碗以固定高度（1 cm）自由落下敲擊底座；另配備標準溝槽刀（grooving tool，Casagrande 型或 ASTM 型）。
2. 試體製備：取通過 No.40 篩之土樣，加水調製成均勻土膏，填入黃銅碗中，表面刮平，厚度約 1 cm。
3. 開溝槽：以溝槽刀沿碗中心線劃出寬 2 mm、深 8 mm 之標準 V 形溝槽，將土樣分成兩半。
4. 敲擊試驗：以每秒 2 轉之速率轉動搖柄，使碗反覆自由落下敲擊底座，記錄溝槽底部兩側土樣**閉合長度達 1/2 英吋（約 12.7 mm）**時所需之落下次數 $N$。
5. 重複試驗：調整含水量（乾濕交替嘗試），至少取得 4 組落下次數分別落在 $N=15\sim35$ 範圍內之數據點（習慣上取涵蓋 $N=25$ 附近之高低含水量各二點）。
6. 繪製流動曲線（Flow Curve）：以含水量 $w$（%）為縱軸（算術座標）、落下次數 $N$ 為橫軸（對數座標）繪點，連成一條直線（半對數座標下近似直線）。
7. 判讀液限：由流動曲線讀出 $N=25$ 次時對應之含水量，此即為液性限度 $LL$。

$LL = w \Big|_{N=25}$

解題技巧

• 常見陷阱：勿與**塑性限度（PL，滾搓法，土條斷裂成 3 mm 碎段時之含水量）或縮限（SL）**混淆，三者試驗方法完全不同（PL 用玻璃板滾搓法，SL 用體積-含水量收縮法）。
• 液限儀之敲擊次數規範為 15～35 次，超出此範圍之數據不可外插使用。
• 亦可用單點法（僅一次落下次數配合經驗修正公式）快速估算，但正式試驗仍以流動曲線法（多點法）為準。

【答案】液性限度係利用**卡沙格蘭德液限儀（Casagrande Liquid Limit Device）配合標準溝槽刀之敲擊試驗（ASTM D4318 / CNS 12455）**求得，取落下次數 $N=25$ 次對應之含水量即為 $LL$。

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(二) USCS 中塑性圖之使用情況

核心觀念

美國統一土壤分類法（Unified Soil Classification System, USCS）以No.200 篩（0.075 mm）通過率作為第一層分類依據：

• 通過率 < 50% → 粗粒土（Coarse-grained soil，G 礫石或 S 砂），以粒徑分佈曲線（$D_{10}, D_{30}, D_{60}$、$C_u$、$C_c$）判定，不需使用塑性圖。
• 通過率 ≥ 50% → 細粒土（Fine-grained soil，M 粉土、C 黏土、O 有機土），此類土壤粒徑分析已無意義，必須改用阿太堡限度（LL、PI）搭配塑性圖來進一步分類。

解題方法（塑性圖架構與判讀）

塑性圖橫軸為液性限度 $LL$，縱軸為塑性指數 $PI = LL - PL$，圖上有兩條關鍵界線：

$\text{A 線：} \quad PI = 0.73(LL - 20)$ $\text{U 線：} \quad PI = 0.9(LL - 8)$

塑性圖之使用情況（用途）如下：

1. 區分無機黏土（C）與無機粉土／有機土（M、O）：資料點落在 A 線之上者判為黏土（CL 或 CH）；落在 A 線之下者判為粉土或有機土（ML、MH、OL、OH）。
2. 區分低塑性（L）與高塑性（H）：以 $LL = 50$ 為界，$LL<50$ 為低塑性（CL、ML、OL），$LL \geq 50$ 為高塑性（CH、MH、OH）。
3. 判別 CL-ML 過渡區：當 $PI$ 落在 4～7 且緊鄰 A 線兩側之窄帶區域內，土壤歸類為過渡性之 CL-ML。
4. 區分有機土（O）與無機土（M、C）：需先量測原土樣液限 $LL$，再將土樣以 105°C 烘乾後重測液限 $LL_{oven}$，若 $LL_{oven}/LL < 0.75$ 則判為有機土（此步驟仍須配合塑性圖上之座標位置综合判定其為 OL 或 OH）。
5. U 線代表天然土壤 $PI$-$LL$ 關係之經驗上限，可作為試驗數據合理性之檢核。