107 原住民特考三等 測量製圖 大地測量（包括測量平差法） 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗全球衛星定位系統（GPS）之空間段訊號架構與微波傳播物理特性，涉及以下核心觀念與定義：

1. 基本振盪頻率（Fundamental Frequency, $f_0$）與倍頻架構： GPS 衛星上配置高精度銫／銣原子鐘，其名義基準頻率為 $f_0 = 10.23\text{ MHz}$。所有衛星載波訊號、測距碼（PRN codes）及導航電文速率均由此基頻整數倍或整數除頻衍生產生。
2. 載波頻率與波長關係： 電磁波在真空中的傳播速度為 $c \approx 2.99792458 \times 10^8\text{ m/s}$，頻率 $f$ 與波長 $\lambda$ 符合： $\lambda = \frac{c}{f}$
3. 電離層色散（Ionospheric Dispersion）與一階折射效應： 電磁波穿透電離層時，其一階群延遲（Group Delay）與相速度提前（Phase Advance）與載波頻率平方成反比： $\Delta t_{\text{iono}} \propto \frac{1}{f^2}$
4. 大氣傳輸窗口（Radio Atmospheric Window）： 大氣層中水氣、氧氣對不同頻率電磁波之吸收與雨衰（Rain Attenuation）特性。
5. 天線物理尺寸與波長比例關係： 全向性或微帶貼片天線（Microstrip Patch Antenna）的實體幾何尺寸與工作波長 $\lambda$ 成正比（通常為 $\lambda/2$ 或 $\lambda/4$）。

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解題方法

本題為典型的雙核心申論題，答題時應分為「頻率大小之數值與推導」與「採用高頻率（L 頻段微波）之物理與工程原因」兩大部分作答。

一、GPS $L1/L2$ 訊號之頻率大小

GPS 衛星發射之載波訊號位於特高頻（UHF）至超高頻（SHF）之間的 L 頻段（L-band, 1～2 GHz），兩者頻率大小及計算推導如下：

1. 基準頻率（$f_0$）： 衛星原子鐘之名義基準頻率為： $f_0 = 10.23\text{ MHz}$ (註：為抵消廣義與狹義相對論效應引起的時鐘變快，衛星發射前實際微調設定為 $10.22999999543\text{ MHz}$，在地表觀測時名義值仍為 $10.23\text{ MHz}$)。
2. $L1$ 載波頻率與波長： $L1$ 訊號為基準頻率之 $154$ 倍頻： $f_{L1} = 154 \times f_0 = 154 \times 10.23\text{ MHz} = 1575.42\text{ MHz}$ 對應之空間波長 $\lambda_1$： $\lambda_1 = \frac{c}{f_{L1}} \approx \frac{2.99792458 \times 10^8\text{ m/s}}{1575.42 \times 10^6\text{ Hz}} \approx 0.1903\text{ m} \approx 19.0\text{ cm}$
3. $L2$ 載波頻率與波長： $L2$ 訊號為基準頻率之 $120$ 倍頻： $f_{L2} = 120 \times f_0 = 120 \times 10.23\text{ MHz} = 1227.60\text{ MHz}$ 對應之空間波長 $\lambda_2$： $\lambda_2 = \frac{c}{f_{L2}} \approx \frac{2.99792458 \times 10^8\text{ m/s}}{1227.60 \times 10^6\text{ Hz}} \approx 0.2442\text{ m} \approx 24.4\text{ cm}$

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二、採用此等高頻率（L 頻段微波）之原因

GPS 訊號選擇約 $1.2 \sim 1.6\text{ GHz}$ 之高頻率，是綜合考慮大氣物理傳播特性、天線工程製造、測量精度與通訊展頻技術後的最佳化選擇：

1. 穿透電離層（穿透能力強）： 頻率低於臨界頻率（Critical Frequency，通常約 $30\text{ MHz}$ 以下的高頻 HF 波段）的電磁波會被地球電離層反射回地表（短波天波通訊即利用此原理）。GPS 訊號必須自 20,200 公里高空穿透電離層到達地表，其工作頻率必須遠大於電離層電漿頻率（Plasma Frequency），故必須採用大於 $100\text{ MHz}$ 以上的超高頻訊號。
2. 降低並消除電離層延遲誤差（色散效應與雙頻消除技術）：

• 電離層為色散介質，電離層折射延遲量 $\Delta s_{\text{iono}}$ 與頻率平方成反比： $\Delta s_{\text{iono}} \approx \frac{40.3 \times \text{TEC}}{f^2}$

核心觀念

本題旨在測驗考生對衛星導航定位（GNSS）三大核心定位架構之「物理觀測量」、「誤差處理機制」與「幾何解算原理」之掌握程度。評分核心著重於：

1. 觀測量性質：測碼假距（Code Pseudorange）與載波相位（Carrier Phase）之精度特性與觀測方程式。
2. 星曆與鐘差等級：廣播星曆（Broadcast Ephemeris）對比國際 GNSS 服務組織（IGS）之精密星曆（Precise Ephemeris）與精密衛星鐘差。
3. 誤差消除策略：模型修正法（Model Correction）、線性組合消除法（Linear Combination，如無電離層組合）與差分消去法（Differencing Technique，單差、雙差、三差）。
4. 定位成果空間幾何概念：絕對座標（地心坐標系空間距離交會）對比相對基線向量（Baseline Vector $\Delta X, \Delta Y, \Delta Z$）。

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解題方法

回答本題應採取「橫向對比、縱向剖析」之架構，對「一般單點定位」、「精密單點定位」與「相對定位」三者，皆按以下四個邏輯維度展開說明：

• 主要觀測量與使用星曆／鐘差
• 定位數學模式與觀測方程式
• 各項誤差處理方式（電離層、對流層、衛星與接收儀鐘差等）
• 解算未知數、精度等級與成果形式

最後輔以「三種定位模式特性綜合比較表」，使閱卷委員一目了然。

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選項分析（申論重點解析）

本題為申論問答題，評分標準在於三種定位模式之物理機制與數學架構是否交代完整：

1. 一般單點定位（Standard Point Positioning, SPP）之要點：

• 又稱絕對定位（Absolute Positioning）。
• 僅使用「單一接收儀」，以「測碼假距（C/A 碼或 P 碼）」為觀測量。
• 仰賴衛星即時下傳之「廣播星曆（Broadcast Ephemeris）」與衛星時錶修正參數。
• 採「空間距離後方交會法」，單一曆元至少觀測 4 顆衛星，即時求解測站 3D 坐標與接收儀鐘差 $(X, Y, Z, c\delta t_r)$。
• 誤差處理僅賴經驗經驗模型（如 Klobuchar 電離層模型、Saastamoinen 對流層模型），精度受限於廣播星曆誤差、大氣未建模延遲與多路徑效應，單點定位精度約為 $3 \sim 10\text{ m}$ 等級。

2. 精密單點定位（Precise Point Positioning, PPP）之要點：

• 亦為「單一接收儀」作業，但必須採用「雙頻載波相位」與「雙頻測碼假距」為主要觀測量。
• 引入後處理或即時（如 IGS-RTS）之「精密星曆（公分級軌道）」與「高頻精密衛星時錶（次奈秒級）」，將衛星端誤差降至最低。
• 誤差消除關鍵：利用雙頻觀測量構造「無電離層線性組合（Ionosphere-Free Combination, $L_{IF}$ / $P_{IF}$）」，消除一階電離層延遲（約佔 $99.9\%$）；對流層延遲則以先驗乾延遲模型加設「天頂濕延遲（Zenith Wet Delay, ZWD）」為額外未知數，連同測站坐標一併進行動態估計。
• 嚴格修正微小幾何與地球物理效應（如固體潮、海洋潮汐負載、相位纏繞 Phase Wind-up、天線相位中心偏差 PCO/PCV）。
• 需估計未定因子（Ambiguity）。傳統 PPP 之未定因子吸收了硬體相移而呈浮點解（Float Ambiguity），需經歷 15～30 分鐘之「收斂時間」方能達到公分級；現代精密單點定位若配合各類相移產品亦可達成整數解（PPP-AR）。單機精度可達公分級至次分米級。

3. 相對定位（Relative Positioning）之要點：

• 必須使用「兩部（含）以上接收儀」，於兩測站同步觀測相同衛星群。
• 以高精度「載波相位觀測量」為主（若僅用測碼假距差分則稱為 DGPS）。
• 核心原理在於「空間相關性」：在一定基線長度內，兩測站受到的衛星軌道誤差、衛星鐘差、大氣延遲（電離層與對流層）極度相似。
• 採用「雙差（Double Difference, DD）」技術：
• 先對兩測站求「單差」，消去衛星鐘差；
• 再對兩衛星求「雙差」，進一步完全消去接收儀鐘差，並大幅減弱大氣與軌道誤差。
• 最關鍵特性：雙差觀測方程式完整保留了載波相位未定因子的「整數特性（Integer Ambiguity, $\nabla\Delta N \in \mathbb{Z}$）」，可透過演算法（如 LAMBDA 法）快速固定，解得高精度基線向量 $(\Delta X, \Delta Y, \Delta Z)$。
• 精度達毫米至公分級（靜態測量可達數毫米，即時動態定位 RTK 為公分級）。

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解題技巧

1. 破題四構面：閱卷給分皆採採分點機制，每說明一種定位，必須依序交代：觀測量種類、星曆品質、誤差處理方式、精度等級與定位產物。
2. 公式點睛：非計算題亦應寫出代表性之「觀測方程式」，如 SPP 之假距方程式與相對定位之雙差載波方程式，能顯著提升作答專業度。
3. 避免混淆名詞：

• 嚴禁將「PPP」與「相對定位」混為一談：PPP 是單機作業，絕不需要基準站，依靠的是事後/即時的外部精密星曆與衛星時錶。
• 嚴禁將「相對定位」寫成「單純差分」：必須強調相對定位的核心成果是「基線向量」，且載波雙差能完全消除接收儀鐘差與衛星鐘差並保持未定因子之「整數性」。

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【答案】

一、全球定位系統（GPS）三種定位原理詳述

（一）一般單點定位（Standard Point Positioning, SPP）

1. 定位原理與幾何架構： 一般單點定位（亦稱絕對定位）係利用單部接收儀，接收 GPS 衛星所發射之測距碼（C/A 碼或 P 碼）信號，量測衛星至接收儀間之傳播時間以求算「測碼假距（Pseudorange）」。由於衛星空間坐標可由其下傳之廣播星曆計算求得，故其定位本質為空間三維的「距離後方交會法」。
2. 觀測方程式： 第 $i$ 顆衛星至測站 $r$ 之測碼假距 $P_r^i$ 觀測方程式為： $P_r^i = \rho_r^i + c(\delta t_r - \delta t^i) + I_r^i + T_r^i + \epsilon_P$ 其中：

• $\rho_r^i = \sqrt{(X^i - X_r)^2 + (Y^i - Y_r)^2 + (Z^i - Z_r)^2}$ 為衛星至測站之幾何距離。
• $c$ 為光速；$\delta t_r$ 為接收儀鐘差；$\delta t^i$ 為衛星鐘差。
• $I_r^i$ 為電離層延遲；

核心觀念

本題考查旋轉橢球面上之微分幾何與曲線弧長計算，涉及以下核心觀念與定義：

1. 平行圈（緯圈）半徑 $r$： 在地球旋轉橢球面上，橢球面上任一點至旋轉軸（地軸）的垂直距離稱為該緯度之平行圈半徑 $r$。其與卯酉圈曲率半徑 $N$、大地緯度 $\phi$ 的幾何關係為： $r(\phi) = N(\phi) \cos\phi = \frac{a \cos\phi}{\sqrt{1 - e^2 \sin^2\phi}}$ 其中 $a$ 為橢球長半軸，$e$ 為橢球第一偏心率。

2. 平行圈弧長 $S$： 同緯度 $\phi$ 上經度差為 $\Delta\lambda$（單位以弧度計）的平行圈弧長為： $S(\phi) = r(\phi) \cdot \Delta\lambda = N(\phi) \cos\phi \cdot \Delta\lambda$

3. 子午圈曲率半徑 $M$ 與微分幾何關係： 子午圈曲率半徑定義為： $M(\phi) = \frac{a(1 - e^2)}{(1 - e^2 \sin^2\phi)^{3/2}}$ 由橢球面幾何可證得平行圈半徑隨緯度之變化率滿足經典微分關係： $\frac{dr}{d\phi} = -M(\phi) \sin\phi$

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解題方法

題目原卷文字缺漏處為平行圈弧長之符號設定，合理設該平行圈弧長為 $S$。本題需推導 $S$ 與 $\phi$ 之解析關係式，並透過極值、一階導數論述 $\phi$ 由 $0^\circ$ 變至 $90^\circ$ 時之變化行為。

1. 建立弧長與大地緯度 $\phi$ 的函數關係式

兩點 $P$、$Q$ 位於同緯度 $\phi$ 之平行圈上，經度差 $\Delta\lambda = 1^\circ = \frac{\pi}{180}\text{ rad}$。 將平行圈半徑 $r(\phi)$ 代入弧長公式，得： $S(\phi) = \frac{a \cos\phi}{\sqrt{1 - e^2 \sin^2\phi}} \cdot \frac{\pi}{180}$

2. 端點極值分析（$\phi = 0^\circ$ 與 $\phi = 90^\circ$）

• 赤道處（$\phi = 0^\circ$）： $\sin 0^\circ = 0$、$\cos 0^\circ = 1$，$N(0^\circ) = a$。 此時平行圈半徑最大，$r(0^\circ) = a$。 $S(0^\circ) = a \cdot \frac{\pi}{180}$ 在此處弧長達到全域最大值（若以 GRS80 橢球 $a = 6378137\text{ m}$ 計算，約為 $111.319\text{ km}$）。

• 極點處（$\phi = 90^\circ$）： $\sin 90^\circ = 1$、$\cos 90^\circ = 0$。 此時平行圈收縮為一點，半徑 $r(90^\circ) = 0$。 $S(90^\circ) = 0$ 在此處弧長達到全域最小值（弧長為零）。

3. 單調性推導（一階微分）

對平行圈弧長 $S(\phi)$ 針對緯度 $\phi$ 進行微分： $\frac{dS}{d\phi} = \frac{\pi}{180} \cdot \frac{d}{d\phi} \left[ a \cos\phi (1 - e^2 \sin^2\phi)^{-1/2} \right]$

利用乘法與連鎖規則微分： $\frac{dr}{d\phi} = a \left[ -\sin\phi (1 - e^2 \sin^2\phi)^{-1/2} + \cos\phi \left( -\frac{1}{2} \right) (1 - e^2 \sin^2\phi)^{-3/2} (-2e^2 \sin\phi \cos\phi) \right]$

核心觀念

本題屬於測量平差法中之間接觀測平差法（觀測方程式平差法，Adjustment of Indirect Observations），求解未知數之最或是值（Best Estimate / Most Probable Value）與其標準差（精度評估）。核心觀念與公式如下：

1. 觀測方程式矩陣形式： 若觀測量個數為 $n$，獨立未知數個數為 $u$，觀測方程式可表示為： $V = AX - L$ 其中 $V$ 為殘差向量（$n \times 1$），$A$ 為係數矩陣（設計矩陣，$n \times u$），$X$ 為未知數向量（$u \times 1$），$L$ 為觀測量常數向量（$n \times 1$）。
2. 最小二乘法原理（Principle of Least Squares）： 當各觀測值精度相同（等權，權矩陣 $P = I$）時，平差準則為殘差平方和最小： $\Phi = V^T P V = V^T V = \min$
3. 法方程式（Normal Equations）： 對未知數求極值導出法方程式： $N\hat{X} = U$ 其中法方程式係數矩陣 $N = A^T P A$、常數向量 $U = A^T P L$。 未知數之最或是值為： $\hat{X} = N^{-1} U$
4. 精度評估公式：

• 多餘觀測數（自由度）$r = n - u$。
• 單位權標準差（單位權中誤差）： $\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\frac{V^T P V}{n - u}}$
• 未知數之協變方差矩陣（Covariance Matrix）： $\Sigma_{\hat{X}\hat{X}} = \hat{\sigma}_0^2 Q_{\hat{X}\hat{X}} = \hat{\sigma}_0^2 N^{-1}$ 未知數 $\hat{x}_i$ 之標準差為： $\hat{\sigma}_{\hat{x}_i} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{q_{ii}}$ 其中 $q_{ii}$ 為權逆矩陣 $Q_{\hat{X}\hat{X}} = N^{-1}$ 的主對角線第 $i$ 個元素。

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解題方法

步驟一：建立矩陣形式之觀測方程式

題目給定三條線性觀測方程式： $x + 2y = 40.5 + v_1 \implies v_1 = x + 2y - 40.5$ $2x - 3y = -4.5 + v_2 \implies v_2 = 2x - 3y - (-4.5)$ $2x - y = 20.0 + v_3 \implies v_3 = 2x - y - 20.0$

觀測值數量 $n = 3$，未知數數量 $u = 2$（即 $x, y$）。 由於題目指出單位皆為 $\mathrm{m}$ 且未特別指定權，視為等精度獨立觀測，取權矩陣 $P = I_{3 \times 3}$。 將方程式寫為 $V = AX - L$： $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}, \quad L = \begin{bmatrix} 40.5 \\ -4.5 \\ 20.0 \end{bmatrix}$

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步驟二：組立法方程式並求解未知數最或是值

1. 計算法方程式矩陣 $N = A^T A$： $N = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1^2 + 2^2 + 2^2 & 1(2) + 2(-3) + 2(-1) \\ 2(1) + (-3)2 + (-1)2 & 2^2 + (-3)^2 + (-1)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -6 \\ -6 & 14 \end{bmatrix}$

2. 計算右端常數向量 $U = A^T L$： $U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 40.5 \\ -4.5 \\ 20.0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(40.5) + 2(-4.5) + 2(20.0) \\ 2(40.5) - 3(-4.5) - 1(20.0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 40.5 - 9.0 + 40.0 \\ 81.0 + 13.5 - 20.0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 71.5 \\ 74.5 \end{bmatrix}$

3. 計算 $N$ 之行列式值及逆矩陣 $N^{-1}$： $\det(N) = (9)(14) - (-6)(-6) = 126 - 36 = 90$ $Q_{\hat{X}\hat{X}} = N^{-1} = \frac{1}{90} \begin{bmatrix} 14 & 6 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$

4. 求解未知數最或是值 $\hat{X} = N^{-1} U$： $\hat{X} = \frac{1}{90} \begin{bmatrix} 14 & 6 \\ 6 & 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 71.5 \\ 74.5 \end{bmatrix} = \frac{1}{90} \begin{bmatrix} 14(71.5) + 6(74.5) \\ 6(71.5) + 9(74.5) \end{bmatrix} = \frac{1}{90} \begin{bmatrix} 1001 + 447 \\ 429 + 670.5 \end{bmatrix} = \frac{1}{90} \begin{bmatrix} 1448 \\ 1099.5 \end{bmatrix}$ $\hat{x} = \frac{1448}{90} = \frac{724}{45} \approx 16.089\text{ m}$