107 原住民特考三等 測量製圖 平面測量學(包括地籍測量) 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗極坐標觀測（光線法／輻射法）之誤差傳播定律與點位誤差橢圓（Error Ellipse）​之幾何特性。主要核心理論與公式包含：

1. 光線法平面坐標推算模型： 設測站坐標為 $(X_0, Y_0)$，觀測至現況點之方位角為 $\alpha$、平距為 $S$，則待測點之坐標為： $X = X_0 + S \cos \alpha$ $Y = Y_0 + S \sin \alpha$
2. 非線性函數之誤差傳播定律： 設觀測量向量為 $L = \begin{bmatrix} S \\ \alpha \end{bmatrix}$，坐標向量為 $X = \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix}$，協方差矩陣關係式為： $\Sigma_{XX} = J \Sigma_{LL} J^T$ 其中 $J$ 為雅可比矩陣（Jacobian Matrix），$\Sigma_{LL}$ 為觀測量之協方差矩陣。
3. 誤差橢圓之成因與主軸： 在光線法中，點位誤差可正交分解為兩個互為獨立的幾何分量：

• 縱向誤差（徑向，沿視線方向）：完全由測距誤差 $\sigma_S$ 決定。
• 橫向誤差（切向，垂直視線方向）：由測角誤差 $\sigma_\alpha$ 經距離 $S$ 放大之弧長決定，即 $\sigma_t = S \cdot \sigma_\alpha$（$\sigma_\alpha$ 須為弧度制）。

4. 誤差圓條件： 當誤差橢圓之長半軸 $a$ 與短半軸 $b$ 相等（$a = b$）時，橢圓退化為圓，亦即在各方向上之點位位移誤差皆均等。

解題方法

步驟一：建立微分關係式與雅可比矩陣

對坐標推算公式進行全微分： $dX = \cos \alpha \, dS - S \sin \alpha \, d\alpha$ $dY = \sin \alpha \, dS + S \cos \alpha \, d\alpha$

以矩陣形式表示： $\begin{bmatrix} dX \\ dY \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -S \sin \alpha \\ \sin \alpha & S \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dS \\ d\alpha \end{bmatrix} = J \begin{bmatrix} dS \\ d\alpha \end{bmatrix}$

步驟二：應用誤差傳播定律求解坐標協方差矩陣

題目假設測距與測角觀測量彼此獨立不相關，故協方差 $\sigma_{S\alpha} = 0$，觀測量協方差矩陣為： $\Sigma_{LL} = \begin{bmatrix} \sigma_S^2 & 0 \\ 0 & \sigma_\alpha^2 \end{bmatrix}$ 其中 $\sigma_S$ 為測距中誤差，$\sigma_\alpha$ 為測角中誤差（單位：$\text{rad}$）。

計算坐標協方差矩陣 $\Sigma_{XX}$： $\Sigma_{XX} = J \Sigma_{LL} J^T = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -S \sin \alpha \\ \sin \alpha & S \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_S^2 & 0 \\ 0 & \sigma_\alpha^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -S \sin \alpha & S \cos \alpha \end{bmatrix}$

乘積展開後可得各項元素： $\sigma_X^2 = \sigma_S^2 \cos^2 \alpha + S^2 \sigma_\alpha^2 \sin^2 \alpha$ $\sigma_Y^2 = \sigma_S^2 \sin^2 \alpha + S^2 \sigma_\alpha^2 \cos^2 \alpha$ $\sigma_{XY} = (\sigma_S^2 - S^2 \sigma_\alpha^2) \sin \alpha \cos \alpha$

步驟三：推導誤差橢圓退化為誤差圓之充要條件

誤差橢圓的兩主軸半徑平方即為協方差矩陣 $\Sigma_{XX}$ 的特徵值（Eigenvalues）。欲使誤差橢圓兩主軸半徑相等（即退化為圓），協方差矩陣必須為標量矩陣（即對角線元素相等且非對角線協方差為零）： $\sigma_X^2 = \sigma_Y^2 \quad \text{且} \quad \sigma_{XY} = 0$

將式子代入：

1. $\sigma_X^2 - \sigma_Y^2 = (\sigma_S^2 - S^2 \sigma_\alpha^2)(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$
2. $\sigma_{XY} = (\sigma_S^2 - S^2 \sigma_\alpha^2) \sin \alpha \cos \alpha = 0$

核心觀念

本題評量衛星定位測量（GNSS）的兩種基本運作模式——「單點定位（絕對定位）」與「相對定位」之測量幾何原理、誤差消除機制以及坐標基準傳播理論：

1. 單點定位（Single Point Positioning, SPP）：基於空間距離後方交會（Spatial Resection）原理。利用單部接收儀接收衛星發射之虛擬亂數碼（PRN Code），解算「三維坐標」與「接收儀鐘差」共 4 個未知參數，至少需同時觀測 4 顆衛星。
2. 相對定位（Relative Positioning）：利用兩部（或多部）接收儀同時觀測相同的衛星群，透過差分（Differencing，尤其是雙差 Double Difference）技術消弭共模誤差（Common-Mode Errors），精確解算兩測站間的「基線向量」（Baseline Vector, $\Delta X, \Delta Y, \Delta Z$）。
3. 絕對坐標獲取條件：相對定位所得成果本質為測站間的「坐標差（相對向量）」，必須仰賴至少一個已知坐標的基準點作為起始錨定點（Datum Anchor），經由向量平移或拘束網平差傳遞坐標基準。

解題方法

本題為標準的觀念申論題，答題架構應條理分明、層次遞進：

1. 子題 (一) 單點定位原理：

• 點明物理幾何本質（空間距離後方交會）。
• 列出虛擬距（偽距）觀測方程式，說明觀測量與各項幾何距離、誤差項。
• 明確交代未知數（$X, Y, Z, \delta t_r$）共 4 個，推導出至少需同時追蹤 4 顆衛星之幾何必要條件。

2. 子題 (二) 相對定位原理、優勢與絕對坐標獲取條件：

• 定位原理：說明多部儀器同步觀測，採用載波相位（Carrier Phase）建立單差、雙差模型，求解測站間之三維空間空間基線向量 $(\Delta X, \Delta Y, \Delta Z)$ 與整數週波未定值（Integer Ambiguity, $N$）。
• 核心優勢：分項條列（消弭共模誤差、毫米級高精度、不受接收儀時鐘品質限制）。
• 獲取絕對坐標之基本條件：說明基線向量缺乏絕對原點，必須提供已知基準站（Base Station）坐標，並經由單基線向量累加或整體拘束平差（Constrained Adjustment）轉換為特定大地坐標系統（如 TWD97）。

申論答題要點評析

本題屬非選擇題之典型申論題型，答題時應避免以下常見缺失：

1. 單點定位衛星數交代不全：若僅回答「空間交會需要 3 顆衛星」，未提及接收儀使用廉價石英鐘所產生的「接收儀鐘差（Receiver Clock Bias）」亦為未知數，將嚴重失分；必須強調「3 個坐標未知數 + 1 個鐘差未知數 = 4 個未知數」。
2. 相對定位混淆「基線」與「絕對位置」：相對定位直接求得的只是向量差值，若未明確說明「必須聯測已知控制點」或「由基準站引測」，即無法回答「獲取絕對坐標值之基本條件」。
3. 優勢論述過於空泛：不可僅寫「精度高」，應指明是透過「雙差（Double Difference）」消弭了衛星鐘差、接收儀鐘差，並大幅減弱對流層與電離層延遲等「空間相關共模誤差」。

解題技巧與陷阱提示

1. 方程式列式要乾淨精確：寫出單點定位偽距方程式 $P = \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) + I + T$ 能讓閱卷老師一眼看出考生的數理基礎紮實。
2. 圖象思考法：

• 單點定位：以衛星為球心、以偽距為半徑的多球交會。
• 相對定位：起算點（已知）＋基線向量 $\to$ 待測點（未知），即 $\mathbf{X}_B = \mathbf{X}_A + \Delta \mathbf{X}_{AB}$。

3. 法規與實務聯結：在測量實務上，地籍圖重測或控制測量若使用相對定位（靜態測量或 RTK），均須聯測國家基本控制點（一、二、三等控制點或 e-GPS 基準站），這正是獲取絕對坐標的實務體現。

【答案】

(一) 說明其單點定位原理

1. 幾何定位本質： 單點定位（Single Point Positioning, SPP）亦稱絕對定位（Absolute Positioning），其幾何本質為空間距離後方交會法（Spatial Resection）。利用單部 GNSS 接收儀接收衛星廣播之測距碼（C/A Code 或 P Code），量測衛星至接收儀間的訊號傳播時間，進而計算測站至各衛星間的「虛擬距（Pseudorange, $P$）」。

2. 觀測方程式與未知參數： 令第 $i$ 顆衛星之空間坐標為 $(X^s_i, Y^s_i, Z^s_i)$，接收儀待測點坐標為 $(X, Y, Z)$，則其偽距觀測方程式可表示為： $P_i = \rho_i + c \cdot (\delta t_r - \delta t^s_i) + I_i + T_i + \epsilon_i$ 其中：

核心觀念

1. 水準測量單測站觀測幾何關係： 水準測量每一測站由後視標尺與前視標尺組成。若前視距離與後視距離均設為 $D$ 公尺，則每一測站前進之路線水平長度為 $S = D + D = 2D$ 公尺。
2. 單測站高差之偶然誤差傳播： 每一測站測得之高差為後視讀數減去前視讀數（$\Delta h_i = a_i - b_i$）。若標尺讀數之偶然誤差相互獨立且標準誤差均為 $\pm E$ 公厘，則依獨立變數之偶然誤差傳播定律： $\sigma_{\Delta h_i}^2 = \left(\frac{\partial \Delta h_i}{\partial a_i}\right)^2 \sigma_{a_i}^2 + \left(\frac{\partial \Delta h_i}{\partial b_i}\right)^2 \sigma_{b_i}^2 = (1)^2 E^2 + (-1)^2 E^2 = 2E^2$ $\sigma_{\Delta h_i} = \sqrt{2}E \text{ (公厘)}$
3. 連續水準路線之偶然誤差傳播： 全線總高差為各測站高差之代數和，各測站偶然誤差視為互相獨立。若全線共有 $n$ 個測站，則累積高差（或閉合差）之標準誤差為： $\sigma = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sigma_{\Delta h_i}^2} = \sqrt{n \cdot 2E^2} = E\sqrt{2n}$

解題方法

步驟一：計算全線總測站數 $n$

• 路線往返總長度：依題意「一往返共長 $K$ 公里」，換算為公尺為 $1000K$ 公尺。
• 每測站涵蓋長度：後視距 $D$ 公尺加上前視距 $D$ 公尺，即 $2D$ 公尺。
• 往返施測之全線總測站數 $n$： $n = \frac{1000K}{2D} = \frac{500K}{D}$

步驟二：計算單一測站高差之標準誤差 $\sigma_{\Delta h_i}$ 設後視讀數為 $a_i$、前視讀數為 $b_i$，高差為 $\Delta h_i = a_i - b_i$。 已知 $\sigma_{a_i} = \sigma_{b_i} = E$ 公厘，依誤差傳播定律： $\sigma_{\Delta h_i} = \sqrt{\sigma_{a_i}^2 + \sigma_{b_i}^2} = \sqrt{E^2 + E^2} = \sqrt{2}E \text{ (公厘)}$

步驟三：計算往返施測之標準誤差 實務與國家考試題意對「往返施測之標準誤差」通常有以下兩種評估標的，依題意推導定案如下：

1. 往返觀測總高差（閉合差）之標準誤差 $\sigma_{\text{往返}}$： 此即往返全程共 $n$ 站之各站觀測值連續累積之標準誤差：

核心觀念

本題屬於測量平差與誤差理論之核心題型，主要考核下列觀念與公式：

1. 最或是值（Most Probable Value）：獨立觀測量函數之最或是值，可直接將各觀測量之最或是值代入函數關係式中求得。
2. 獨立觀測量之誤差傳播定律（Law of Propagation of Errors）： 設函數 $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$，且觀測量 $x_i$ 互相獨立（不相關，即協方差 $\sigma_{x_i x_j} = 0, i \neq j$），則函數之方差為： $\sigma_y^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 \sigma_{x_i}^2$
3. 協方差傳播定律（Law of Propagation of Covariance）： 若兩函數 $y_1 = f_1(X)$ 與 $y_2 = f_2(X)$ 含有共同觀測量，即使原始觀測量互相獨立，衍生函數間亦會產生相關性。矩陣形式為 $\Sigma_{YY} = J \Sigma_{XX} J^T$，其協方差為： $\sigma_{y_1 y_2} = \operatorname{Cov}(y_1, y_2) = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f_1}{\partial x_i}\right)\left(\frac{\partial f_2}{\partial x_i}\right) \sigma_{x_i}^2$
4. 相關係數（Correlation Coefficient）： $\rho_{y_1 y_2} = \frac{\sigma_{y_1 y_2}}{\sigma_{y_1} \sigma_{y_2}} = \frac{\operatorname{Cov}(y_1, y_2)}{\sqrt{\sigma_{y_1}^2 \sigma_{y_2}^2}}$

解題方法

圖形幾何配置與觀測量關係說明

兩相鄰矩形建物 $\mathrm{A}$ 與 $\mathrm{B}$ 共享相鄰邊（共用邊）：

• 建物 $\mathrm{A}$ 之長度為 $a$、寬度（共用邊）為 $b$。
• 建物 $\mathrm{B}$ 之長度為 $c$、寬度（共用邊）為 $b$。
• 觀測量已知數值：
• $a = 20.00\ \mathrm{m}$，$\sigma_a = 0.05\ \mathrm{m}$，$\sigma_a^2 = 0.0025\ \mathrm{m^2}$
• $b = 15.00\ \mathrm{m}$，$\sigma_b = 0.04\ \mathrm{m}$，$\sigma_b^2 = 0.0016\ \mathrm{m^2}$
• $c = 12.00\ \mathrm{m}$，$\sigma_c = 0.03\ \mathrm{m}$，$\sigma_c^2 = 0.0009\ \mathrm{m^2}$
• 觀測量相互獨立：$\sigma_{ab} = \sigma_{bc} = \sigma_{ac} = 0$。

(一) 計算兩建物各自之周長及面積之最或是值與標準誤差

1. 建物 A 之周長 $P_A$ 與面積 $S_A$

• 周長最或是值 $\hat{P}_A$： $\hat{P}_A = 2(a + b) = 2(20.00 + 15.00) = 70.00\ \mathrm{m}$

• 周長標準誤差 $\sigma_{P_A}$： 對 $P_A = 2a + 2b$ 進行偏微分： $\frac{\partial P_A}{\partial a} = 2, \quad \frac{\partial P_A}{\partial b} = 2$ 依誤差傳播定律： $\sigma_{P_A} = \sqrt{2^2 \sigma_a^2 + 2^2 \sigma_b^2} = 2\sqrt{\sigma_a^2 + \sigma_b^2} = 2\sqrt{0.0025 + 0.0016} = 2\sqrt{0.0041} \approx 0.128\ \mathrm{m}$

• 面積最或是值 $\hat{S}_A$： $\hat{S}_A = a \cdot b = 20.00 \times 15.00 = 300.00\ \mathrm{m^2}$

• 面積標準誤差 $\sigma_{S_A}$： 對 $S_A = a \cdot b$ 進行偏微分： $\frac{\partial S_A}{\partial a} = b = 15.00\ \mathrm{m}, \quad \frac{\partial S_A}{\partial b} = a = 20.00\ \mathrm{m}$ 依誤差傳播定律： $\sigma_{S_A} = \sqrt{b^2 \sigma_a^2 + a^2 \sigma_b^2} = \sqrt{(15.00)^2(0.05)^2 + (20.00)^2(0.04)^2}$ $\sigma_{S_A} = \sqrt{(0.75)^2 + (0.80)^2} = \sqrt{0.5625 + 0.6400} = \sqrt{1.2025} \approx 1.097\ \mathrm{m^2}$

2. 建物 B 之周長 $P_B$ 與面積 $S_B$

• 周長最或是值 $\hat{P}_B$： $\hat{P}_B = 2(b + c) = 2(15.00 + 12.00) = 54.00\ \mathrm{m}$
• 周長標準誤差 $\sigma_{P_B}$： 對 $P_B = 2b + 2c$ 進行偏微分： $\frac{\partial P_B}{\partial b} = 2, \quad \frac{\partial P_B}{\partial c} = 2$ 依誤差傳播定律：