114 原住民特考三等 經建行政類科 統計學 考古題詳解

114 年・原住民特考・三等・經建行政類科
試題代碼 統計學

第 一 題20 分

某大型消費用品公司推出香皂的電視廣告（稱為 A 廣告），並以此進行一項調查。調查結果得知：有 30%30\% 的消費者購買此商品，40%40\% 的消費者看過此廣告，20%20\% 的消費者購買此商品且看過此商品的電視廣告。

(一) 已知消費者看過此廣告，請問其購買此商品的機率是多少？（5 分）

(二) 已知消費者購買此商品，請問其看過此廣告的機率是多少？（5 分）

(三) 該公司也推出另一支廣告（B 廣告），調查得知 30%30\% 的消費者看過此廣告，10%10\% 的消費者購買此商品且看過此商品的電視廣告。請問哪一支廣告的效果比較好？（10 分）

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核心觀念

本題考查聯合機率與條件機率。令 PP 表示消費者購買香皂，AA 表示消費者看過 A 廣告，則：

P(P)=0.30,P(A)=0.40,P(P∩A)=0.20.P(P)=0.30,\qquad P(A)=0.40,\qquad P(P\cap A)=0.20.

條件機率的定義為：

P(P∣A)=P(P∩A)P(A),P(A∣P)=P(P∩A)P(P).P(P\mid A)=\frac{P(P\cap A)}{P(A)},\qquad P(A\mid P)=\frac{P(P\cap A)}{P(P)}.

分母是「已知的條件事件」機率；分子是兩事件同時發生的機率。

解題方法

（一）已知消費者看過 A 廣告，求其購買香皂的機率：

P(P∣A)=P(P∩A)P(A)=0.200.40=0.50.P(P\mid A) =\frac{P(P\cap A)}{P(A)} =\frac{0.20}{0.40} =0.50.

因此，看過 A 廣告的消費者中，有 50%50\% 購買香皂。

（二）已知消費者購買香皂，求其看過 A 廣告的機率：

P(A∣P)=P(P∩A)P(P)=0.200.30=23≈0.6667.P(A\mid P) =\frac{P(P\cap A)}{P(P)} =\frac{0.20}{0.30} =\frac{2}{3} \approx 0.6667.

因此，購買香皂的消費者中，約有 66.67%66.67\% 看過 A 廣告。

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第 二 題25 分

一家公司想要檢定新的製造流程是否可以降低作業員的操作時間，隨機抽取了 8 位作業員，並要求這 8 位作業員利用新的流程與舊的流程各操作一次，得到以下數據：

作業員12345678
舊流程81081111101012
新流程7889108119

(一) 該檢定的虛無假設和對立假設應為何？（10 分）

(二) 在 α=0.05\alpha=0.05 之下，請檢定新的製造流程是否可以降低作業員的操作時間？（15 分）

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核心觀念

同一批 8 位作業員分別使用新、舊流程，兩種操作時間具有配對關係，應採用成對樣本 tt 檢定，而非將兩組資料視為互相獨立。

令每位作業員的時間差為「舊流程時間減新流程時間」：

Di=X舊,i−X新,iD_i=X_{\text{舊},i}-X_{\text{新},i}

若新流程能降低操作時間，則平均差應大於 0。

解題方法

（一）設定假設

令 μD\mu_D 為母體平均配對差。以「舊減新」定義差值，假設為：

H0:μD≤0,H1:μD>0H_0:\mu_D\leq 0,\qquad H_1:\mu_D>0

計算檢定統計量時，虛無假設的邊界值採 μD=0\mu_D=0。等價地，以新流程減舊流程定義差值時，對立假設應為平均差小於 0。

（二）計算檢定統計量

各作業員的配對差為：

Di=(1,2,0,2,1,2,−1,3)D_i=(1,2,0,2,1,2,-1,3)

樣本平均差：

Dˉ=1+2+0+2+1+2−1+38=108=1.25\bar D=\frac{1+2+0+2+1+2-1+3}{8} =\frac{10}{8}=1.25

樣本差值平方和為 2424，故樣本變異數與標準差為：

sD2=∑i=18(Di−Dˉ)28−1=24−8(1.25)27=2314s_D^2=\frac{\sum_{i=1}^8(D_i-\bar D)^2}{8-1} =\frac{24-8(1.25)^2}{7} =\frac{23}{14}
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第 三 題25 分

在一項農業研究中，研究者探討施用 3 家廠商的氮肥對生菜產量的影響。該研究採用完全隨機設計（completely randomized design）進行實驗，將 3 家廠商的氮肥各施用於 4 個農地。研究者最後每塊農地收穫的生菜數量如下表：

廠商生菜數量
A20、25、26、21
B25、26、30、27
C20、20、25、23

(一) 請建立變異數分析（ANOVA）表。（15 分）

(二) 請在 α=0.05\alpha=0.05 的顯著水準下，檢定 3 家廠商的氮肥對生菜平均產量是否相同？（10 分）

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核心觀念

本題考單因子變異數分析（one-way ANOVA）。因為研究採完全隨機設計，唯一的分組因子是氮肥廠商，共有 A、B、C 三組，每組 4 個觀測值。

檢定三組母體平均產量是否相同：

H0:μA=μB=μC,H1:至少有一家廠商的平均產量不同。H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C,\qquad H_1:\text{至少有一家廠商的平均產量不同。}

ANOVA 將總平方和分解為組間平方和與組內平方和：

SST=SS組間+SS組內,F=MS組間MS組內.SS_T=SS_{\text{組間}}+SS_{\text{組內}}, \qquad F=\frac{MS_{\text{組間}}}{MS_{\text{組內}}}.

在虛無假設成立時，FF 統計量服從自由度為 (k−1,N−k)(k-1,N-k) 的 FF 分配；本題 k=3k=3、N=12N=12。

解題方法與計算

先計算各組樣本數、總和與平均數：

廠商樣本數 nin_i總和 TiT_i平均數 xˉi\bar{x}_i
A49223
B410827
C48822
合計1228824

總平均數為 xˉ..=288/12=24\bar{x}_{..}=288/12=24。

1. 組間平方和

SS組間=∑i=13ni(xˉi−xˉ..)2=4(23−24)2+4(27−24)2+4(22−24)2=56.SS_{\text{組間}} =\sum_{i=1}^{3}n_i(\bar{x}_i-\bar{x}_{..})^2 =4(23-24)^2+4(27-24)^2+4(22-24)^2 =56.

2. 組內平方和

各組內的離均差平方和為：

SSA=(20−23)2+(25−23)2+(26−23)2+(21−23)2=26,SSB=(25−27)2+(26−27)2+(30−27)2+(27−27)2=14,SSC=(20−22)2+(20−22)2+(25−22)2+(23−22)2=18.\begin{aligned} SS_A&=(20-23)^2+(25-23)^2+(26-23)^2+(21-23)^2=26,\\ SS_B&=(25-27)^2+(26-27)^2+(30-27)^2+(27-27)^2=14,\\ SS_C&=(20-22)^2+(20-22)^2+(25-22)^2+(23-22)^2=18. \end{aligned}

因此：

SS組內=26+14+18=58,SST=56+58=114.SS_{\text{組內}}=26+14+18=58, \qquad SS_T=56+58=114.
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第 四 題30 分

在生產過程中，組合生產線之前進速度（呎／每分鐘）被認為是影響檢查過程中發現瑕疵品數目的重要因素。為了測試此理論，管理當局讓生產線在不同的前進速度下，檢查相同批量之產品，所得資料如下表所示。

（每小題 10 分，共 30 分）

前進速度瑕疵品數目
2022
2020
4016
3017
6015
4018

(一) 試建立描述生產線前進速度對發現瑕疵品數目的估計迴歸方程式。

(二) 請在 0.050.05 的顯著水準下，檢定生產線前進速度與被發現之瑕疵品數目間是否存在顯著相關？

(三) 請問此估計迴歸方程式是否為此資料提供良好的配適？

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核心觀念

本題考驗簡單線性迴歸與相關性檢定。令前進速度為自變數 XX，瑕疵品數目為應變數 YY，以最小平方法估計：

Y^=b0+b1X,b1=SxySxx,b0=Yˉ−b1Xˉ.\hat Y=b_0+b_1X,\qquad b_1=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\qquad b_0=\bar Y-b_1\bar X.

檢定速度與瑕疵品數目是否有線性相關，等同檢定迴歸斜率是否為零：

H0:β1=0,H1:β1≠0.H_0:\beta_1=0,\qquad H_1:\beta_1\ne 0.

配適程度則以決定係數 R2R^2 衡量；R2R^2 越接近 1，表示迴歸線解釋樣本中 YY 變異的比例越高。

（一）估計迴歸方程式

整理資料得 n=6n=6，且

∑Xi=210,∑Yi=108,∑Xi2=8700,∑XiYi=3520.\sum X_i=210,\quad \sum Y_i=108,\quad \sum X_i^2=8700,\quad \sum X_iY_i=3520.

因此

Xˉ=35,Yˉ=18.\bar X=35,\qquad \bar Y=18.

計算離均差平方和與乘積和：

Sxx=∑Xi2−(∑Xi)2n=8700−21026=1350,S_{xx}=\sum X_i^2-\frac{(\sum X_i)^2}{n} =8700-\frac{210^2}{6}=1350, Sxy=∑XiYi−(∑Xi)(∑Yi)n=3520−210(108)6=−260.S_{xy}=\sum X_iY_i-\frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{n} =3520-\frac{210(108)}{6}=-260.

故斜率與截距為

b1=−2601350=−0.1926,b0=18−(−0.1926)(35)=24.7407.b_1=\frac{-260}{1350}=-0.1926,\qquad b_0=18-(-0.1926)(35)=24.7407.

估計迴歸方程式為

Y^=24.7407−0.1926X.\boxed{\hat Y=24.7407-0.1926X}.

斜率為負，表示在此線性模型下，前進速度每增加 1 呎／分鐘，預測發現的瑕疵品數目平均減少約 0.1930.193 件。

（二）檢定是否存在顯著相關

檢定統計量可由斜率的 tt 檢定計算。先求迴歸平方和與誤差平方和：

SSR=b1Sxy=(−260)21350=50.0741,SSR=b_1S_{xy}=\frac{(-260)^2}{1350}=50.0741,
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