115 原住民特考三等 經建行政類科 統計學 考古題詳解

115 年・原住民特考・三等・經建行政類科
試題代碼 統計學

第 一、 題20 分

隨機變數 XX 的機率分布如下：

XX102030
機率 p(X)p(X)18\frac{1}{8}58\frac{5}{8}28\frac{2}{8}

(一) 試求隨機變數 XX 之期望值 E(X)E(X) 為何？（5 分）

(二) 試求隨機變數 XX 之變異數 V(X)V(X) 為何？（5 分）

(三) 函數 f(X)=10−5[X−E(X)]f(X)=10-5[X-E(X)]，試求函數 f(X)f(X) 之期望值與變異數為何？（10 分）

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核心觀念

本題考查離散型隨機變數的：

  • 期望值： E(X)=∑x p(x)E(X)=\sum x\,p(x)
  • 變異數： V(X)=E(X2)−[E(X)]2V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
  • 線性轉換： 若 Y=a+bXY=a+bX，則 E(Y)=a+bE(X),V(Y)=b2V(X)E(Y)=a+bE(X),\qquad V(Y)=b^2V(X)

解題方法

（一）求 E(X)E(X)

E(X)=10(18)+20(58)+30(28)E(X)=10\left(\frac18\right)+20\left(\frac58\right)+30\left(\frac28\right) E(X)=10+100+608=1708=854=21.25E(X)=\frac{10+100+60}{8} =\frac{170}{8} =\frac{85}{4} =21.25

因此，

E(X)=21.25\boxed{E(X)=21.25}

（二）求 V(X)V(X)

先計算 E(X2)E(X^2)：

E(X2)=102(18)+202(58)+302(28)E(X^2)=10^2\left(\frac18\right)+20^2\left(\frac58\right)+30^2\left(\frac28\right) E(X2)=100+2000+18008=39008=487.5E(X^2)=\frac{100+2000+1800}{8} =\frac{3900}{8} =487.5

又因為

V(X)=E(X2)−[E(X)]2V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

所以

V(X)=487.5−(21.25)2V(X)=487.5-(21.25)^2 V(X)=487.5−451.5625=35.9375=57516V(X)=487.5-451.5625 =35.9375 =\frac{575}{16}

因此，

V(X)=35.9375=57516\boxed{V(X)=35.9375=\frac{575}{16}}

（三）求 f(X)f(X) 的期望值與變異數

題目給定

f(X)=10−5[X−E(X)]f(X)=10-5[X-E(X)]

代入 E(X)=21.25E(X)=21.25，可將其整理為：

f(X)=10−5X+5E(X)f(X)=10-5X+5E(X)
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第 二、 題20 分

假設某市政府在前次的民意調查得知，有 55%55\% 的市民贊成蓋大型體育館。若現在再次抽樣調查贊成與否，而由市民中隨機抽取 100100 人，則在此 100100 人中贊成蓋大型體育館的比例在 55%55\% 至 60%60\% 間的機率為何？（20 分）

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核心觀念

本題考查樣本比例的抽樣分配與二項分配常態近似。設每位市民贊成蓋大型體育館的機率為 p=0.55p=0.55，隨機抽取 n=100n=100 人，令 XX 為其中贊成的人數，則

X∼Binomial⁡(100,0.55),p^=X100.X\sim\operatorname{Binomial}(100,0.55),\qquad \hat p=\frac{X}{100}.

題目所求為

P(0.55≤p^≤0.60)=P(55≤X≤60).P(0.55\leq\hat p\leq0.60)=P(55\leq X\leq60).

解題方法

因為 np=55np=55、n(1−p)=45n(1-p)=45 都足夠大，可用常態分配近似二項分配：

X≈N(np,np(1−p))=N(55,24.75),X\approx N\bigl(np,np(1-p)\bigr)=N(55,24.75),

因此 p^\hat p 的近似抽樣分配為

p^≈N(0.55,0.55(0.45)100),\hat p\approx N\left(0.55,\frac{0.55(0.45)}{100}\right),

標準誤為

σp^=0.55(0.45)100≈0.04975.\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{0.55(0.45)}{100}}\approx0.04975.

將上下界標準化：

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第 三、 題20 分

應用下列資料探討運動量（區分為高、中、低三等級運動量）和肥胖症之關聯性研究，試問在 α=0.05\alpha=0.05 顯著水準下，探討運動量和肥胖症是否無關。（20 分）

低運動量中運動量高運動量
肥胖症213630
非肥胖症482619
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核心觀念

本題考驗「列聯表的卡方獨立性檢定」，用來判斷「運動量」與「肥胖症」兩個類別變數是否具有關聯。

設：

  • H0H_0：運動量與肥胖症相互獨立，即兩者無關。
  • H1H_1：運動量與肥胖症不相互獨立，即兩者有關。

顯著水準為 α=0.05\alpha=0.05。

卡方檢定統計量為：

χ2=∑(O−E)2E\chi^2=\sum\frac{(O-E)^2}{E}

其中 OO 為觀察次數，EE 為在獨立性假設下的期望次數。

自由度為：

df=(r−1)(c−1)=(2−1)(3−1)=2df=(r-1)(c-1)=(2-1)(3-1)=2

解題方法

一、計算邊際合計

低運動量中運動量高運動量列合計
肥胖症21363087
非肥胖症48261993
欄合計696249180

二、計算期望次數

期望次數公式為：

Eij=(第 i 列合計)(第 j 欄合計)總人數E_{ij}=\frac{(\text{第 }i\text{ 列合計})(\text{第 }j\text{ 欄合計})}{\text{總人數}}

因此：

低運動量中運動量高運動量
肥胖症87(69)180=33.317\frac{87(69)}{180}=33.31787(62)180=29.967\frac{87(62)}{180}=29.96787(49)180=23.683\frac{87(49)}{180}=23.683
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第 四、 題20 分

某工廠有兩條生產線，經理想要比較兩條生產線不良率之差異，因此由甲生產線之零件中隨機抽查 100100 件，得不良品 77 件。另由乙生產線之零件中隨機抽查 150150 件，得不良品 99 件。請問在 95%95\% 信心水準下，甲生產線之零件不良率會高於乙生產線之零件不良率之機率為何？（20 分）

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核心觀念

本題比較兩條生產線的不良率，屬於兩母體比例差的估計與信賴區間。令甲、乙生產線的不良率分別為 pAp_A、pBp_B，題目要判斷的是 pA−pBp_A-p_B 的 95% 信賴區間是否全大於 00，並據此回答甲的不良率高於乙的信心水準。

解題方法

兩組樣本的不良品數與樣本數為：

p^A=7100=0.07,p^B=9150=0.06\hat p_A=\frac{7}{100}=0.07,\qquad \hat p_B=\frac{9}{150}=0.06

因此樣本比例差為：

p^A−p^B=0.07−0.06=0.01\hat p_A-\hat p_B=0.07-0.06=0.01

以兩母體比例差的常態近似信賴區間計算，未合併的標準誤為：

SE=p^A(1−p^A)nA+p^B(1−p^B)nBSE= \sqrt{\frac{\hat p_A(1-\hat p_A)}{n_A} +\frac{\hat p_B(1-\hat p_B)}{n_B}}

代入數值：

SE=0.07(0.93)100+0.06(0.94)150≈0.0323SE= \sqrt{\frac{0.07(0.93)}{100} +\frac{0.06(0.94)}{150}} \approx 0.0323
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第 五、 題20 分

某班 55 個學生的數學成績（XX）與化學成績（YY）如下表，探討 XX 與 YY 之間的關聯性。

XX5575908075
YY7565809080

(一) 計算 ∑i=1nXi\sum_{i=1}^{n}X_i、∑i=1nYi\sum_{i=1}^{n}Y_i、∑i=1nXiYi\sum_{i=1}^{n}X_iY_i、∑i=1nXi2\sum_{i=1}^{n}X_i^2、∑i=1nYi2\sum_{i=1}^{n}Y_i^2 等數值，其中 $n=5。（10 分）

(二) 皮爾森積差相關係數（Pearson product-moment correlation coefficient）為何？（10 分）

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核心觀念

本題考查兩個觀念：

  1. 敘述統計量的加總計算

∑Xi,∑Yi,∑XiYi,∑Xi2,∑Yi2\sum X_i,\quad \sum Y_i,\quad \sum X_iY_i,\quad \sum X_i^2,\quad \sum Y_i^2

  1. 皮爾森積差相關係數

用來衡量數學成績 XX 與化學成績 YY 之間線性關聯的方向與程度，公式為：

r=n∑XiYi−(∑Xi)(∑Yi)[n∑Xi2−(∑Xi)2][n∑Yi2−(∑Yi)2]r=\frac{n\sum X_iY_i-\left(\sum X_i\right)\left(\sum Y_i\right)} {\sqrt{\left[n\sum X_i^2-\left(\sum X_i\right)^2\right] \left[n\sum Y_i^2-\left(\sum Y_i\right)^2\right]}}

解題方法

（一）計算各項加總

將資料逐筆計算：

XiX_iYiY_iXiYiX_iY_iXi2X_i^2Yi2Y_i^2
55754,1253,0255,625
75654,8755,6254,225
90807,2008,1006,400
80907,2006,4008,100
75806,0005,6256,400

因此：

∑i=15Xi=55+75+90+80+75=375\sum_{i=1}^{5}X_i =55+75+90+80+75 =375 ∑i=15Yi=75+65+80+90+80=390\sum_{i=1}^{5}Y_i =75+65+80+90+80 =390 ∑i=15XiYi=4,125+4,875+7,200+7,200+6,000=29,400\sum_{i=1}^{5}X_iY_i =4,125+4,875+7,200+7,200+6,000 =29,400 ∑i=15Xi2=3,025+5,625+8,100+6,400+5,625=28,775\sum_{i=1}^{5}X_i^2 =3,025+5,625+8,100+6,400+5,625 =28,775 ∑i=15Yi2=5,625+4,225+6,400+8,100+6,400=30,750\sum_{i=1}^{5}Y_i^2 =5,625+4,225+6,400+8,100+6,400 =30,750

（二）計算皮爾森積差相關係數

題目給定 n=5n=5，代入公式：

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