108 年原住民特考四等土木工程考古題與詳解

Question 1

桿件 $DE$ 在 $D$ 點為鉸接，而在 $E$ 點由三條繩索拉住，且外力

\vec{P}=(1\vec{i}+1\vec{j}+2\vec{k})\ \mathrm{kN}

作用於 $E$ 點，如圖（一）所示。

$A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $E$ 點的座標分別為

A=(-4\,\mathrm{m},-4\,\mathrm{m},0\,\mathrm{m}),

B=(5\,\mathrm{m},-5\,\mathrm{m},0\,\mathrm{m}),

C=(0\,\mathrm{m},8\,\mathrm{m},0\,\mathrm{m}),

E=(0\,\mathrm{m},0\,\mathrm{m},15\,\mathrm{m}).

求：

$\overrightarrow{EA}$ 線及 $\overrightarrow{EB}$ 線的夾角。
外力 $\vec{P}$ 對 $BC$ 線的力矩大小 $M_{BC}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 兩個向量的夾角由內積求得： $$ \cos	heta=\frac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|} $$ 外力對指定軸線的力矩大小，則取力矩向量在該軸方向的投影： $$ M{BC}=\left|\hat{\boldsymbol e}{BC}\cdot(\vec r	imes\vec P)ight| $$ 其中 $\hat{\boldsymbol e}{BC}$ 是沿 $B$ 至 $C$ 方向的單位向量，$\vec r$ 是從軸上任一點指向力作用點的向量。 解題方法 1. 求 $\overrightarrow{EA}$ 與 $\overrightarrow{EB}$ 的夾角 以 $E$ 點為起點： $$ \overrightarrow{EA}=A-E=(-4,-4,-15)\ \mathrm m $$ $$ \overrightarrow{EB}=B-E=(5,-5,-15)\ \mathrm m $$ 內積與長度為： $$ \overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EB} =(-4)(5)+(-4)(-5)+(-15)(-15)=225 $$ $$ |\overrightarrow{EA}|=\sqrt{257},\qquad |\overrightarrow{EB}|=\sqrt{275} $$ 因此： $$ \cos	heta =\frac{225}{\sqrt{257}\sqrt{275}} $$ $$ 	heta=\cos^{-1}\left(\frac{225}{\sqrt{70675}}ight) \approx 32.18^\circ $$ 2. 求外力對 $BC$ 線的力矩大小

Question 2

如圖（二）所示，均質桿件 $AB$ 長度為 $6\,\mathrm{m}$，重量為 $20\,\mathrm{kN}$。桿件 $AB$ 以繩子 $BC$ 拉住，繩子與桿件 $AB$ 之角度為 $\alpha$。 系統平衡時，桿件 $AB$ 與水平線夾角保持在 $60^\circ$。欲使繩子張力 $T$ 為最小，之角度 $\alpha$ 為多少？此時，最小之繩子拉力 $T{\min}$ 為多少？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 桿件處於平衡時，對支點 $A$ 的合力矩為零。均質桿的重量作用於中點；繩張力對 $A$ 的力矩大小為「張力 × 桿長 × 張力與桿件的夾角正弦」。 解題方法 以 $A$ 點取矩，可消去支承反力。桿長 $AB=6\,\mathrm{m}$，桿件與水平線夾角為 $60^\circ$，重量 $W=20\,\mathrm{kN}$。 重量作用於桿件中點，其對 $A$ 的力矩臂為中點的水平距離： $$ \frac{6}{2}\cos 60^\circ=1.5\,\mathrm{m}. $$ 張力 $T$ 作用於 $B$ 點，且與桿件夾角為 $\alpha$，其力矩大小為 $6T\sin\alpha$。由力矩平衡：

Question 3

如圖（三）所示之圓桿，其截面積 $$ A=200\,\mathrm{mm}^2 $$ 長度 $$ L=500\,\mathrm{mm}, $$ 圓桿之應力—應變關係如圖（三 b）所示。 此圓桿之另一端連接彈力常數 $$ k=112\,\mathrm{kN/m} $$ 之彈簧。施加外力 $F$，直到彈簧的伸長量為 $$ 100\,\mathrm{mm} $$ 時，再完全卸載。求卸載後圓桿的長度。 圖（三 b）為應力 $\sigma$（$\mathrm{MPa}$）與應變 $\varepsilon$ 的關係圖，圖中標示數值包括： $$ \sigma=28\,\mathrm{MPa},\quad \sigma=47\,\mathrm{MPa},\quad \sigma=56\,\mathrm{MPa}, $$ 以及 $$ \varepsilon=0.0015,\quad \varepsilon=0.0022,\quad \varepsilon=0.0045,\quad \varepsilon=0.0088。 $$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查非線性材料卸載後的永久應變。載重時，圓桿與彈簧串聯，因此兩者受力相同；完全卸載後，圓桿沿應力—應變圖中的卸載直線回復，留下的應變就是永久應變。 解題方法 彈簧伸長量為 $100\,\mathrm{mm}=0.1\,\mathrm{m}$，故彈簧力為 $$ F=k\deltas =(112\,\mathrm{kN/m})(0.1\,\mathrm{m}) =11.2\,\mathrm{kN}. $$ 圓桿與彈簧串聯，圓桿承受相同的軸力，因此最大應力為 $$ \sigma{\max} =\frac{F}{A} =\frac{11\,200\,\mathrm{N}}{200\,\mathrm{mm}^2} =56\,\mathrm{MPa}. $$

Question 4

如圖（四）中的桁架，桿件 $AB$ 及桿件 $BC$ 交於 $B$ 點，兩桿件之截面積均為 $A$ ，楊氏模數均為 $E$ 。在 $B$ 點有垂直力 $P$ 及水平力 $Q$ 。

若桿件 $AB$ 長度為 $L$ ，求此結構之應變能 $U$ ，以及 $B$ 點的水平位移 $\delta_{BH}$ 、垂直位移 $\delta_{BV}$ 。

其中，桿件 $AB$ 與桿件 $BC$ 的夾角為 $30^\circ$ ，桿件 $BC$ 為水平桿件。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考桁架桿件的軸力、軸向應變能，以及用卡氏定理求節點位移。桿件只承受軸力時， $$ U=\sumi\frac{Ni^2Li}{2AE}, \qquad \delta=\frac{\partial U}{\partial F} $$ 其中拉力取正；若所求位移方向與外力方向相反，位移符號也相反。 解題方法 令 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上，並令 $N{AB}$、$N{BC}$ 拉力為正。由圖可知 $AB$ 與水平線夾角為 $30^\circ$，且 $BC$ 為水平桿。兩桿左端位於同一垂直支承線上，因此 $$ L{AB}=L,\qquad L{BC}=L\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}L $$ 在節點 $B$ 列平衡式： $$ \sum Fy=0:\quad N{AB}\sin30^\circ-P=0 $$ $$ N{AB}=2P $$ $$ \sum Fx=0:\quad Q-N{AB}\cos30^\circ-N{BC}=0 $$ $$ N{BC}=Q-\sqrt3P $$ 若 $N{BC}<0$，表示桿件 $BC$ 受壓。代入應變能公式： $$ U=\frac{1}{2AE}\left[(2P)^2L+(Q-\sqrt3P)^2\frac{\sqrt3}{2}L\right] $$ 因此， $$ \boxed{U=\frac{L}{2AE}\left[4P^2+\frac{\sqrt3}{2}(Q-\sqrt3P)^2\right]} $$ 依卡氏定理，對水平力 $Q$ 微分，得到向右為正的水平位移：

108 原住民特考四等土木工程工程力學概要考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

核心觀念

解題方法

第四題25 分

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土木工程《工程力學概要》其他年度

108 原住民特考四等 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

第 一 題25 分

第 二 題25 分

第 三 題25 分