109 原住民特考四等 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考複合斷面的形心與平行軸定理。先將斷面分成數個矩形，以面積加權平均求形心；再把各矩形對自身形心軸的慣性矩，利用平行軸定理移至合成斷面的形心軸：

其中 $d_i$ 是各部分形心至合成形心軸的距離。求垂直形心軸的慣性矩時，若各部分左右對稱且中心線重合，則直接加總各部分對自身垂直形心軸的慣性矩。

解題方法

取下方 I 形斷面的最底面為 $y=0$。依圖，上方 $18\times4$ 矩形與 I 形斷面上翼板之間相距 $2\ \mathrm{cm}$。將斷面分成下翼板、腹板、上翼板及上方矩形：

因此，合成斷面形心為

即形心距下方最底面 $14\ \mathrm{cm}$。

對水平形心軸 $x_c$，各部分矩形的自身形心慣性矩使用 $I_x=bh^3/12$，再加上平行軸項：

核心觀念

本題考查平面桁架的支承反力與桿件內力。先用整體平衡求支承反力，再以節點法逐點求桿件內力。各桿件先假設為張力；計算值為正表示張力，為負表示壓力，零表示零力桿件。

解題方法

取 $A$ 點為水平座標原點，桁架跨距為 $16\text{ m}$，向下集中力 $4P$ 作用於距 $A$ 點 $4\text{ m}$ 處。

一、求支承反力

$A$ 為滾支承，只有垂直反力 $A_y$；$B$ 為鉸接支承，有 $B_x、B_y$。

水平方向沒有外力，因此：

二、由右端節點求桿件 $c$

在 $B$ 點，外側斜桿的水平、垂直方向比為 $4:8$，其單位方向分量為 $(-1/\sqrt5,\ 2/\sqrt5)$。以張力為正：

所以外側斜桿為壓力。再由水平方向平衡，底部桿件 $BI$ 為張力：

在節點 $I$，兩底部桿件共線，故垂直桿 $IH$ 為零力桿件，且：

在節點 $J$，由平衡可得：

在節點 $H$，$IH=0$。斜桿 $HG$ 的方向分量為 $(-2/\sqrt{13},\ 3/\sqrt{13})$；桿件 $c=FH$ 的方向分量為 $(-2/\sqrt5,\ -1/\sqrt5)$。因此：

解得：

故桿件 $c$ 為張力。

核心觀念

剪力圖與彎矩圖須先由平衡條件求出支承反力。圖三標示 A 為鉸支承、B、D、F 為滾支承，E 為內鉸，C、G 各有向下集中力 $P$。由於沒有水平外力，A 點水平反力為零；未知的垂直反力為 $A_y、B_y、D_y、F_y$。

內鉸 E 可提供一項額外的獨立平衡條件，因此整體仍有一個未知反力無法僅靠靜力平衡決定。這與題幹所稱「靜定梁結構」不符。

解題方法

令各反力向上為正。對全梁取垂直力平衡及以 A 點取矩：

再以 E 點內鉸切開，取 E–G 段。E 至 F、E 至 G 的距離分別為 $L/2$、$L$，故：

核心觀念

本題考查剛性柱的挫屈臨界條件。柱繞底端 $A$ 產生微小轉角時，各水平彈簧提供回復力矩；軸壓力 $P$ 則因柱頂側移而產生使側移增大的力矩。臨界狀態下，兩者的力矩剛好平衡。

解題方法

令剛性柱繞 $A$ 轉動微小角度 $\theta$。柱長為 $3L$，三根彈簧的位置距 $A$ 分別為 $L$、$2L$、$3L$。

距 $A$ 為 $y$ 的彈簧，其水平位移約為 $y\theta$，彈簧力大小為 $k_s y\theta$，對 $A$ 的回復力矩為 $k_s y^2\theta$。三根彈簧的回復力矩總和為