109 原住民特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

全測站儀以正鏡、倒鏡觀測同一水平角，可藉兩次讀數取平均，降低度盤偏心及部分儀器誤差的影響。正倒鏡讀數的平均值為水平角；兩讀數差的一半，則可作為單次觀測角值的誤差估計。

量距精度 $1/30000$ 可換算成相對應的角度精度：小角度以弧度表示時，角度誤差約等於其正切值，因此目標角度中誤差為 $1/30000$ 弧度。

解題方法

正倒鏡讀數分別為：

$$\beta_1=68^\circ43'40'',\qquad \beta_2=68^\circ43'56''$$

水平角取兩讀數平均：

$$\bar{\beta} =\frac{\beta_1+\beta_2}{2} =68^\circ43'48''$$

兩讀數相差 $16''$，因此單次觀測角值的誤差估計為差值的一半：

$$e=\frac{|\beta_2-\beta_1|}{2} =\frac{16''}{2} =8''$$

再將量距精度換算為角度精度。因 $1$ 弧度約為 $206265''$，故目標角度中誤差為：

核心觀念

本題考查由已知點的平面坐標，利用方位角與水平距離推算另一點坐標，並以誤差傳播求新點坐標的中誤差。

採用測量學常用的北、東坐標增量公式。方位角自北方向起算，順時針增加，因此：

$$\Delta N=S\cos\alpha,\qquad \Delta E=S\sin\alpha$$

其中 $S$ 為距離，$\alpha$ 為方位角。故：

$$N_B=N_A+\Delta N,\qquad E_B=E_A+\Delta E$$

解題方法

已知：

$$N_A=2,652,000\ \mathrm{m},\quad E_A=140,456\ \mathrm{m}$$ $$S=177.34\ \mathrm{m},\quad \alpha=101^\circ51'27''$$

先將方位角換算為十進位角：

$$\alpha=101+\frac{51}{60}+\frac{27}{3600} =101.8575^\circ$$

計算坐標增量：

$$\Delta N=177.34\cos(101.8575^\circ) =-36.427\ \mathrm{m}$$ $$\Delta E=177.34\sin(101.8575^\circ) =173.558\ \mathrm{m}$$

因此：

$$N_B=2,652,000-36.427 =2,651,963.573\ \mathrm{m}$$ $$E_B=140,456+173.558 =140,629.558\ \mathrm{m}$$

所以點 $B$ 的坐標約為：

$$\boxed{(N_B,E_B)=(2,651,963.573\ \mathrm{m},\ 140,629.558\ \mathrm{m})}$$

坐標中誤差

以距離精度 $1/10000$ 表示距離中誤差：

$$m_S=\frac{S}{10,000} =\frac{177.34}{10,000} =0.017734\ \mathrm{m}$$

測角誤差 $20''$ 換算為弧度：

$$m_\alpha=20''\times\frac{\pi}{180\times3600} =9.6963\times10^{-5}\ \mathrm{rad}$$

由

核心觀念

本題考查導線測量中，量距精度與測角閉合差限度的配合。若量距相對精度為 $1/M$，則與其相配合的單角誤差可用弧度表示為 $1/M$。換算成角秒：

$$m_\beta=\frac{206\,265''}{M}$$

$N$ 個導線點的角度誤差視為彼此獨立時，測角閉合差限度按均方根累積，為：

$$f_{\beta,\max}=\pm m_\beta\sqrt{N} =\pm\frac{206\,265''}{M}\sqrt{N}$$

解題方法

依題目列出的量距精度，逐一代入上式：

量距精度	單角相配精度 $m_\beta$	測角閉合差限制
$1/30\,000$	$206\,265''/30\,000=6.88''$	$\pm6.88''\sqrt{N}\approx\pm7''\sqrt{N}$
$1/15\,000$	$206\,265''/15\,000=13.75''$	$\pm13.75''\sqrt{N}\approx\pm14''\sqrt{N}$
$1/7\,000$	$206\,265''/7\,000=29.47''$	$\pm29.47''\sqrt{N}\approx\pm30''\sqrt{N}$

核心觀念

本題考查高程基準面的差異，以及 GNSS 高程與水準測量高程的性質。

• 橢球高 $h$：地面點沿參考橢球法線方向，到參考橢球面的距離。GNSS 以衛星定位取得的高度，通常是相對於所採用參考橢球的橢球高。
• 正高 $H$：地面點沿鉛垂線方向，到大地水準面的距離。水準測量以重力方向為基礎，並連結至高程基準，所得高程屬於正高系統。

解題方法

以大地水準面作為橢球面與正高系統之間的轉換基準。大地水準面相對於參考橢球面的起伏量稱為大地起伏 $N$，其定義關係為：

$$h = H + N$$

因此，橢球高換算為正高時：

$$H = h - N$$

反向換算則為：

$$h = H + N$$