110 原住民特考四等 土木工程 測量學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考察地形圖比例尺與量距中誤差的換算。比例尺 $1:5000$ 表示圖上長度每 $1$ 單位，相當於實地長度 $5000$ 個相同單位；因此，圖上距離及其量距中誤差都乘以 $5000$，即可換算為實地距離及其中誤差。

解題方法

圖上量得距離為 $d=57.4\ \mathrm{mm}$，比例尺分母為 $M=5000$。實際距離為：

圖上量距的中誤差為 $\pm0.1\ \mathrm{mm}$，換算至實地：

核心觀念

全測站儀量得斜距 $S$ 與天頂距 $Z$，可將斜距分解為平距 $D$ 與高差：

天頂距自鉛垂向上方向起算，因此 $Z<90^\circ$ 時，視線向上，$\Delta H$ 為正。本題另須將儀器高、稜鏡高納入高程計算，並依題給公式修正地球曲率與大氣折光的合成影響。

解題方法

已知：

先換算角度：

（一）計算 $AB$ 平距

（二）計算視線高差

此高差是儀器中心至稜鏡中心的高差。未計修正前，$B$ 點高程為：

核心觀念

本題考垂足投影：$B$ 是點 $P$ 在直線 $QR$ 上的垂足，因此 $B$ 必須在 $QR$ 上，且 $\overrightarrow{PB}$ 與 $\overrightarrow{QR}$ 垂直。可用向量內積求出垂足位置，再計算 $PB$ 長度。

解題方法

先求直線方向向量及 $QP$ 向量：

設 $B=Q+t\overrightarrow{QR}$。因為 $\overrightarrow{PB}\perp\overrightarrow{QR}$，故 $(\overrightarrow{QP}-t\overrightarrow{QR})\cdot\overrightarrow{QR}=0$，因此

代回求 $B$ 點坐標：

核心觀念

GNSS（全球衛星導航系統）利用已知軌道與位置的衛星，發射帶有時間與衛星識別資訊的無線電訊號。接收儀根據訊號傳播時間求得自身到衛星的距離，再以多顆衛星的距離觀測，解算接收儀的位置。

解題方法：由測距建立定位方程式

衛星訊號以電磁波傳播。若接收儀能得知訊號從衛星發射到接收所經過的時間 $\Delta t$，則衛星至接收儀的距離可表示為：

其中 $\rho$ 為測得的距離，$c$ 為光速。接收儀以多顆衛星的位置作為已知點，將各衛星至接收儀的距離觀測聯立，求得接收儀的三維座標。

理想情形下，三顆衛星的距離球面交會可提供三維位置；但接收儀時鐘通常無法與衛星原子鐘完全同步，因此還須一併求解接收儀時鐘誤差。故實際上至少需要四顆衛星的觀測，聯立求解三個位置分量及一個時鐘誤差。

以第 $i$ 顆衛星為例，觀測方程式可寫為：