110 原住民特考四等 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

面積慣性矩是面積相對於指定軸的幾何性質。矩形對自身形心軸的面積慣性矩為

各部分形心軸與整體形心軸平行時，使用平行軸定理：

其中 $A$ 為該部分面積，$d$ 為兩軸間距。

解題方法

依圖一將斷面分成上翼板、腹板、下翼板。尺寸為：上翼板 $6\times4$ cm、腹板 $2\times6$ cm、下翼板 $6\times2$ cm。斷面左右對稱，因此形心位於水平中線上，亦即 $Y$ 軸通過各矩形的形心。

取斷面底部為高度基準，各部分面積與形心高度如下：

整體形心高度為

因此，通過形心的 $X$ 軸距底部 $6.5$ cm。

計算 $I_{xx}$

核心觀念

桁架各桿件視為兩端鉸接的二力構件，支承反力先由整體平衡求得，再以節點法求桿件軸力。桿件軸力以拉離節點為正；若計算結果為負，表示受壓。

依圖，桿件 $a$、$b$、$c$ 均為斜桿；每層高 $2L$，全寬 $2L$，斜桿的水平投影為 $L$，故斜桿長為 $\sqrt{5}L$，其方向餘弦為

解題方法

取整座桁架為自由體。三個水平力各為 $2P$，作用高度依序為 $2L$、$4L$、$6L$。鉸支承 A 有水平、垂直反力，滾支承 B 僅有垂直反力。

以 A 點取矩：

因此

垂直力平衡給出

所以 A 點垂直反力為向下 $12P$，B 點垂直反力為向上 $12P$。

核心觀念

本題考靜定梁的支承反力，以及剪力圖、彎矩圖的建立。均布載重可換成作用於載重段中點的合力；集中力偶會使彎矩圖跳躍，但不會使剪力圖跳躍。

取 $A$ 點為 $x=0$，則 $B,C,D,E$ 依序位於 $x=2L,4L,6L,8L$。圖示 $C$ 點的力偶為順時針，大小 $2PL$。$AB$、$DE$ 兩段的均布載重各長 $2L$，且 $w=P/(2L)$，所以每段載重的合力均為 $P$。

解題方法

令支承反力向上為正，並以逆時針力矩為正。由垂直力平衡：

兩段均布載重的合力分別作用於距 $A$ 點 $L$ 與 $7L$ 處。對 $A$ 點取力矩：

因此：

以下取剪力正向為左截面向上、彎矩正向為正彎矩（下緣受拉）。以 $x$ 表示距 $A$ 點的水平座標，剪力圖為：

在 $C$ 點，外加力偶不改變剪力。剪力圖的主要數值為：

• $A^+$：$3P/4$
• $B$：$-P/4$
• $C^-$、$C^+$、$D$：$-P/4$
• $E^-$：$-5P/4$；經 $E$ 點向上反力跳升 $5P/4$ 後回到 $0$

核心觀念

本題是剛性桿件與彈簧組成的機構之屈曲問題。臨界載重可由總位能判斷：若存在一個微小變形，使彈簧不變形、但載重作用點下降，則任何正載重都會使總位能降低，結構的臨界載重便為零。

解題方法

考慮左右兩根柱的中間鉸點 $B、E$ 同時向右移動相同距離 $u$。此為允許的對稱變形：上端 $C、D$ 受垂直導向限制水平位移，下端 $A、F$ 固定，而各段剛性桿仍維持長度 $L$。

每根柱的兩段長度皆為 $L$，水平偏移後，柱頂與柱底的垂直距離由 $2L$ 變為

因此，頂部剛性桿 $CD$ 及載重 $P$ 的作用點向下移動