111 原住民特考四等 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

111 年・原住民特考・四等・土木工程
試題代碼 工程力學概要

第 一 題25 分

圖一所示為空間平行力系，各力均與 zz 軸平行，求此空間平行力系之合力 F⃗R\vec{F}_R。若此力系之合力 F⃗R\vec{F}_R 作用位置的坐標為 (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})，求 (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y}) 之值。

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核心觀念

本題考查空間平行力系的合力與合力作用線位置。

所有外力均平行於 zz 軸，因此各力可視為帶正負號的 zz 方向分量。合力為

F⃗R=∑F⃗i\vec F_R=\sum \vec F_i

合力作用位置須滿足力矩等效條件：

M⃗O=r⃗R×F⃗R\vec M_O=\vec r_R\times \vec F_R

其中合力作用點座標為 (xˉ,yˉ)(\bar x,\bar y)，且各力的 zz 座標不影響本題力矩計算。

由圖中每格為 1 m×1 m1\text{ m}\times1\text{ m}，各力作用點座標如下：

力(x,y)（m）Fz（kN）3 kN(0,−2)+34 kN(1,−2)+412 kN(0,1)+126 kN，向下(1,1)−6\begin{array}{c|c|c} \text{力} & (x,y)\text{（m）} & F_z\text{（kN）}\\ \hline 3\text{ kN} & (0,-2) & +3\\ 4\text{ kN} & (1,-2) & +4\\ 12\text{ kN} & (0,1) & +12\\ 6\text{ kN，向下} & (1,1) & -6 \end{array}

解題方法

1. 求空間平行力系之合力

取向上為 +z+z 方向：

FR=3+4+12−6=13 kNF_R=3+4+12-6=13\text{ kN}

因此

F⃗R=13 k kN\boxed{\vec F_R=13\,\mathbf{k}\text{ kN}}

即合力大小為 13 kN13\text{ kN}，方向沿 +z+z 軸。

2. 求合力作用位置

對任一作用於 (x,y)(x,y) 的垂直力 FzF_z：

r⃗=xi+yj\vec r=x\mathbf{i}+y\mathbf{j} r⃗×Fzk=yFzi−xFzj\vec r\times F_z\mathbf{k} =yF_z\mathbf{i}-xF_z\mathbf{j}

所以：

Mx=∑yFz=yˉFRM_x=\sum yF_z=\bar y F_R My=−∑xFz=−xˉFRM_y=-\sum xF_z=-\bar x F_R

先計算 ∑yFz\sum yF_z：

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第 二 題25 分

圖二之結構，桿件 AC\mathrm{AC} 及 CD\mathrm{CD} 在 C\mathrm{C} 點以鉸接連接，在 B\mathrm{B} 點有半徑為 1 m1\text{ m} 之滑輪。重 300 N300\text{ N} 之物體以繩子掛在桿件 CD\mathrm{CD} 上一點，並通過無摩擦之滑輪 B\mathrm{B}。求系統平衡時，A\mathrm{A} 點及 D\mathrm{D} 點之反力。（略去滑輪 B\mathrm{B}、桿件 AC\mathrm{AC} 及桿件 CD\mathrm{CD} 之重量）。

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核心觀念

本題考查：

  1. 無摩擦滑輪兩側繩張力相等： T=300 NT=300\text{ N}
  2. 滑輪對桿件 ACAC 的作用力，可分解為互相垂直的兩個張力：
  • 水平向右 300 N300\text{ N}
  • 垂直向下 300 N300\text{ N}
  1. CC 點為鉸接，故可分別對桿件 ACAC、CDCD 作受力平衡。
  2. AA 為固定支承，具有 AxA_x、AyA_y 及固定端力矩 MAM_A；DD 為靠垂直牆面的滾輪支承，僅有水平反力 DxD_x。

由滑輪半徑 1 m1\text{ m}，繩子的水平段作用於桿件 CDCD 上距離 CC 點 1 m1\text{ m} 的位置。

解題方法

取向右、向上及逆時針分別為正。

一、分析桿件 CDCD

桿件 CDCD 受力如下：

  • CC 點鉸接力：設由 ACAC 作用於 CDCD 的分量為 Cx′C_x'、Cy′C_y'
  • 繩張力：在距離 CC 點 1 m1\text{ m} 處水平向左 300 N300\text{ N}
  • DD 點滾輪反力：水平反力 DxD_x

取 CC 點力矩

∑MC=0\sum M_C=0

水平繩張力作用線距離 CC 點 1 m1\text{ m}，產生逆時針力矩；DxD_x 作用線距離 CC 點 4 m4\text{ m}，產生順時針力矩：

300(1)−Dx(4)=0300(1)-D_x(4)=0

因此

Dx=75 ND_x=75\text{ N}

方向為向右。

垂直方向平衡

DD 為垂直牆面的滾輪，沒有垂直反力，因此：

∑Fy=0\sum F_y=0 Cy′=0C_y'=0

水平方向平衡

∑Fx=0\sum F_x=0 Cx′+75−300=0C_x'+75-300=0 Cx′=225 NC_x'=225\text{ N}

此為桿件 CDCD 在 CC 點所受的向右鉸接力。因此，桿件 ACAC 在 CC 點所受反力為向左 225 N225\text{ N}。

二、分析桿件 ACAC

桿件 ACAC 受力如下：

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第 三 題25 分

圖三所示之線彈性實心圓桿 ABC\mathrm{ABC}，是由相同材料之 AB\mathrm{AB} 桿及 BC\mathrm{BC} 桿所組成，AB\mathrm{AB} 桿直徑為 50 mm50\text{ mm}，長 500 mm500\text{ mm}；BC\mathrm{BC} 桿直徑為 30 mm30\text{ mm}，長 500 mm500\text{ mm}。圓桿 ABC\mathrm{ABC} 受 100 kN100\text{ kN} 之拉力作用後，經測得 AB\mathrm{AB} 桿之長度增加 1 mm1\text{ mm}，直徑減短 0.028 mm0.028\text{ mm}，則圓桿 ABC\mathrm{ABC} 之剪力模數（shear modulus）G=?G = ? 又，pqpq 截面上的正向應力（normal stress）σn\sigma_n 及剪應力 τ\tau 各為多少？

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核心觀念

本題考查：

  • 軸向正應力：σ=P/A\sigma=P/A
  • 軸向應變：ε=ΔL/L\varepsilon=\Delta L/L
  • 泊松比：ν=−ε橫/ε縱\nu=-\varepsilon_{\text{橫}}/\varepsilon_{\text{縱}}
  • 虎克定律：E=σ/εE=\sigma/\varepsilon
  • 彈性常數關係式： G=E2(1+ν)G=\frac{E}{2(1+\nu)}
  • 單軸應力作用下之斜截面應力轉換。

一、求材料的泊松比與楊氏係數

AB 桿截面積為

AAB=π4(50)2=1963.50 mm2A_{AB}=\frac{\pi}{4}(50)^2=1963.50\ \text{mm}^2

AB 桿所受軸向應力：

σAB=1000001963.50=50.93 MPa\sigma_{AB} =\frac{100000}{1963.50} =50.93\ \text{MPa}

縱向應變為

εx=ΔLL=1500=0.002\varepsilon_x=\frac{\Delta L}{L} =\frac{1}{500} =0.002

直徑方向應變為

εy=Δdd=−0.02850=−0.00056\varepsilon_y=\frac{\Delta d}{d} =\frac{-0.028}{50} =-0.00056

因此泊松比為

ν=−εyεx=−−0.000560.002=0.28\nu=-\frac{\varepsilon_y}{\varepsilon_x} =-\frac{-0.00056}{0.002} =0.28

由虎克定律：

E=σABεx=50.930.002=25464.8 MPaE=\frac{\sigma_{AB}}{\varepsilon_x} =\frac{50.93}{0.002} =25464.8\ \text{MPa}

即

E≈25.46 GPaE\approx25.46\ \text{GPa}

二、求剪力模數 GG

同一材料之 EE 與 ν\nu 可用下式求剪力模數：

G=E2(1+ν)G=\frac{E}{2(1+\nu)}

代入：

G=25464.82(1+0.28)=25464.82.56=9947.2 MPaG=\frac{25464.8}{2(1+0.28)} =\frac{25464.8}{2.56} =9947.2\ \text{MPa}

所以

G≈9.95 GPa\boxed{G\approx9.95\ \text{GPa}}

三、求 pqpq 斜截面上的正應力與剪應力

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第 四 題25 分

圖四所示之懸臂梁，長度為 LL、截面為每邊長為 bb 之正方形，軸力 PP 作用於 y=ey=e 處（即截面的 C\mathrm{C} 點），使得截面上 A\mathrm{A} 點的軸向應力大小為 σA\sigma_A，截面上 B\mathrm{B} 點的軸向應力大小為 σB\sigma_B。假設 e=0.2be=0.2b，則 σAσB=?\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = ?

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核心觀念

本題考查「偏心軸力」造成的截面應力。軸力 PP 作用線偏離截面形心，截面同時承受：

  1. 直接軸力 PP；
  2. 彎矩 M=PeM=Pe。

截面任一位置 yy 的軸向應力為

σ(y)=PA+MyI=PA+PeyI.\sigma(y)=\frac{P}{A}+\frac{My}{I} =\frac{P}{A}+\frac{Pey}{I}.

其中：

A=b2,I=b412.A=b^2,\qquad I=\frac{b^4}{12}.

解題方法

圖中 A 點位於截面上緣，B 點位於截面下緣，因此

yA=+b2,yB=−b2.y_A=+\frac{b}{2},\qquad y_B=-\frac{b}{2}.

偏心距為

e=0.2b.e=0.2b.

A 點應力：

σA=Pb2+P(0.2b)(b/2)b4/12.\sigma_A =\frac{P}{b^2} +\frac{P(0.2b)(b/2)}{b^4/12}.

整理彎曲應力項：

P(0.2b)(b/2)b4/12=1.2Pb2.\frac{P(0.2b)(b/2)}{b^4/12} =\frac{1.2P}{b^2}.

所以

σA=2.2Pb2.\sigma_A=\frac{2.2P}{b^2}.

B 點應力：

σB=Pb2−1.2Pb2=−0.2Pb2.\sigma_B =\frac{P}{b^2} -\frac{1.2P}{b^2} =-\frac{0.2P}{b^2}.
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