111 原住民特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

此題考查：

• 懸臂構架的整體平衡。
• 固定端可提供水平反力、垂直反力及固定端彎矩。
• 桿件 $bc$ 受端點集中載重時，剪力為常數，彎矩呈線性變化。
• 全構架視為剛體，使用靜力平衡方程式：

圖中 $bc=4\text{ m}$，$ab=5\text{ m}$，集中載重為 $8\text{ kN}$，方向鉛直向下。

一、固定端反力及彎矩

將整個構架 $abc$ 視為自由體，固定端 $a$ 的反力設為：

• 水平反力：$A_x$
• 垂直反力：$A_y$
• 固定端反力矩：$M_a$

1. 水平力平衡

外力沒有水平方向分量，因此：

2. 垂直力平衡

取鉛直向上為正：

因此固定端垂直反力為 $8\text{ kN}$，方向向上。

3. 取 $a$ 點力矩平衡

$8\text{ kN}$ 載重作用線至 $a$ 點的水平距離為 $4\text{ m}$，其對 $a$ 點產生順時針力矩：

取逆時針為正：

固定端反力矩方向為逆時針。

因此：

二、$bc$ 桿件剪力圖

在 $bc$ 桿件任意位置取剖面，右側部分僅受到端點向下的 $8\text{ kN}$ 集中力。

因此桿件剪力大小處處相同：

若採用「左側剖面向上為正剪力」的慣例，則：

所以剪力圖為全長固定值的矩形：

• $b$ 點至 $c$ 點：$V=-8\text{ kN}$
• $c$ 點受集中力 $8\text{ kN}$，剪力圖回到零

示意如下：

核心觀念

本題考查平面桁架的：

• 支承反力計算
• 整體結構平衡方程式
• 節點法求桿件軸力
• 桿件受拉、受壓的判定

平面結構靜力平衡條件為：

圖中：

• $b$ 點為滾支承，只提供鉛直反力 $B_y$
• $c$ 點為鉸支承，提供水平反力 $C_x$ 與鉛直反力 $C_y$
• $e$ 點受水平向右 $25\ \text{kN}$ 外力
• $bc=5\ \text{m}$，$ce=4\ \text{m}$

解題方法：先求支承反力

以整個桁架為自由體圖，取向右、向上為正。

1. 水平方向平衡

因此：

負號表示 $c$ 點水平反力方向向左，即：

2. 取 $b$ 點力矩

取逆時針為正，並以 $b$ 點為力矩中心，可消去 $B_y$。

$C_y$ 與 $b$ 點距離為 $5\ \text{m}$；$e$ 點水平力作用線距離 $b$ 點為 $4\ \text{m}$。

所以：

3. 鉛直方向平衡

負號表示 $b$ 點反力向下：

求 $bc$、$ce$ 桿件軸力

取 $c$ 點作為分析節點。

在 $c$ 點假設桿件均為受拉：

核心觀念

本題考查鋼筋混凝土梁之剪力強度設計，主要使用下列定義：

1. 設計剪力 $V_u$：由強度設計法之載重組合計算，採用命題當年規範之基本重力載重組合：

$V_u=1.2V_D+1.6V_L$

2. 剪力計算強度 $V_n$：混凝土與剪力鋼筋所提供之 nominal shear strength：

$V_n=V_c+V_s$

3. 設計剪力強度 $\phi V_n$：名義剪力強度乘以剪力強度折減係數 $\phi$。剪力構材通常採：

$\phi=0.75$

強度設計法之驗證條件為：

$\phi V_n\ge V_u$

以下均以命題當年（民國111年）法規為準。

解題方法

一、計算設計剪力 $V_u$

已知：

$V_D=10\ \text{tf}$

$V_L=15\ \text{tf}$

依強度設計之重力載重組合：

$V_u=1.2V_D+1.6V_L$

代入數值：

$V_u=1.2(10)+1.6(15)$

$V_u=12+24=36\ \text{tf}$

因此，梁斷面之設計剪力為：

$\boxed{V_u=36\ \text{tf}}$

二、計算斷面剪力計算強度 $V_n$

混凝土與剪力鋼筋共同抵抗剪力，因此：

$V_n=V_c+V_s$

已知：

$V_c=19\ \text{tf},\qquad V_s=30\ \text{tf}$

故：

$V_n=19+30=49\ \text{tf}$

因此，斷面之剪力計算強度為：

$\boxed{V_n=49\ \text{tf}}$

其中，題目所給之 D16 垂直肋筋，屬於剪力鋼筋；由於 $V_s$ 已直接給定，不需再依鋼筋直徑、間距及材料強度重新計算。

三、計算設計剪力強度 $\phi V_n$

剪力折減係數採：

$\phi=0.75$

因此：

$\phi V_n=0.75(49)$

核心觀念

以命題當年（民國 111 年）法規為準，本題考查極限強度設計中「計算強度、設計強度及強度折減因數」三者的定義與關係。

在鋼筋混凝土構件設計中，依材料強度、構件斷面及受力狀態所計算出的理論承載能力，稱為計算強度，通常以名義強度表示，例如：

• 彎矩計算強度：$M_n$
• 剪力計算強度：$V_n$
• 軸壓計算強度：$P_n$
• 拉力計算強度：$T_n$

但計算強度受到材料強度變異、施工誤差、尺寸偏差、分析假設及破壞模式等因素影響，設計時不能將全部計算強度直接視為可安全使用的承載力，因此須乘以強度折減因數 $\phi$。

三者的關係

設計強度等於計算強度乘以強度折減因數：

以彎矩為例：

以剪力為例：

以軸力為例：

其中：

• $M_n$、$V_n$、$P_n$：計算強度或名義強度。
• $\phi$：強度折減因數，通常小於或等於 $1$。
• $\phi M_n$、$\phi V_n$、$\phi P_n$：設計強度，亦即設計上可用來抵抗外力的強度。

構件必須符合下列強度設計條件：

其中：

• $R_n$：計算強度。
• $\phi R_n$：設計強度。
• $R_u$：經載重因數放大後的需求強度，例如設計彎矩、設計剪力或設計軸力。

因此，設計強度不是計算強度本身，而是將計算強度經強度折減後所得的值。

強度折減因數的意義

強度折減因數 $\phi$ 是一種安全調整係數，用以反映下列因素：

1. 材料強度的變異 混凝土及鋼筋的實際強度不會完全等於規定強度。

2. 施工及尺寸誤差 包括鋼筋位置偏差、保護層厚度誤差、構件尺寸偏差及施工品質差異。

3. 計算模式的不確定性 理論分析通常建立在若干假設上，實際構件行為可能與理想模型不同。

4. 破壞型態及延展性 延展性良好的破壞模式能在破壞前產生較明顯的預警，因此其折減程度通常較小；脆性破壞則須採取較保守的折減。

5. 構件失效後的危險程度 重要構件或失效後可能造成嚴重後果的構件，設計上須採取較嚴格的安全考量。

因此，$\phi$ 並非任意設定的折扣，而是規範依構件受力型態、破壞模式及延展性所規定的安全係數。

解題方法

本題屬於觀念與定義題，可依下列順序作答：

第一步：先定義計算強度

核心觀念

本題考查單筋矩形梁之：

• 有效深度 $d$
• 拉力鋼筋比 $\rho$
• 撓曲構件最少拉力鋼筋量 $A_{s,\min}$

以命題當年（民國111年）法規及題目所給公式為準。有效深度是由壓力側最外緣量至拉力鋼筋群重心的距離，因此須扣除保護層、肋筋直徑及拉力鋼筋半徑。

解題方法

一、計算梁有效深度 $d$

由圖可知，梁頂為壓力側，梁底配置4根D25拉力鋼筋，外側有D16垂直肋筋。

因此：

代入數值：

故梁有效深度為：

二、計算拉力鋼筋總面積

每根D25鋼筋面積為 $5.067\text{ cm}^2$，共配置4根：

三、計算拉力鋼筋比 $\rho$

拉力鋼筋比定義為：

代入：

因此：

以百分比表示：

四、檢核最少拉力鋼筋量

題目給定：

且須大於等於：

第一項限制