112 原住民特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

112 年・原住民特考・四等・土木工程
試題代碼 結構學概要與鋼筋混凝土學概要

第 一 題25 分

如圖 1 所示簡支梁，AA 點為鉸支承，BB 點為滾支承，受均佈載重 w=4.8 tf/mw=4.8\ \text{tf/m}，外加 CC 點承受垂直集中載重 P=32 tfP=32\ \text{tf}。試求支承反力，並繪製剪力圖及彎矩圖。

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（25 分）

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核心觀念

本題考查簡支梁在均佈載重與集中載重作用下的：

  • 支承反力計算
  • 剪力圖（SFD）
  • 彎矩圖（BMD）
  • 剪力為零處的最大彎矩判定

取梁長：

L=AC+CB=2+3=5 mL=AC+CB=2+3=5\text{ m}

均佈載重作用於全跨，故其合力為：

W=wL=4.8(5)=24 tfW=wL=4.8(5)=24\text{ tf}

作用位置在全跨中央，距離 AA 點 2.5 m2.5\text{ m}。

支承反力

設鉸支承 AA 的反力為 Ax,AyA_x,A_y，滾支承 BB 的反力為 ByB_y。

因為外力均為垂直力：

Ax=0A_x=0

對 AA 點取力矩平衡：

∑MA=0\sum M_A=0 By(5)−24(2.5)−32(2)=0B_y(5)-24(2.5)-32(2)=0 5By=60+64=1245B_y=60+64=124 By=24.8 tf\boxed{B_y=24.8\text{ tf}}

再由垂直方向力平衡：

∑V=0\sum V=0 Ay+By−24−32=0A_y+B_y-24-32=0 Ay=56−24.8A_y=56-24.8 Ay=31.2 tf\boxed{A_y=31.2\text{ tf}}

因此支承反力為：

Ax=0,Ay=31.2 tf↑,By=24.8 tf↑\boxed{A_x=0,\qquad A_y=31.2\text{ tf}\uparrow,\qquad B_y=24.8\text{ tf}\uparrow}

剪力圖

令 xx 自 AA 點向右量，剪力正號取截面左側向上。

1. AA 至 CC 區段：0≤x<20\leq x<2

V(x)=Ay−wxV(x)=A_y-wx V(x)=31.2−4.8xV(x)=31.2-4.8x

在 AA 點右側：

VA+=31.2 tfV_{A^+}=31.2\text{ tf}

在 CC 點左側：

VC−=31.2−4.8(2)=21.6 tfV_{C^-}=31.2-4.8(2)=21.6\text{ tf}

2. 通過 CC 點

集中載重 P=32 tfP=32\text{ tf} 使剪力向下跳躍 32 tf32\text{ tf}：

VC+=21.6−32=−10.4 tfV_{C^+}=21.6-32=-10.4\text{ tf}

3. CC 至 BB 區段：2<x≤52<x\leq5

V(x)=31.2−4.8x−32V(x)=31.2-4.8x-32

在 BB 點左側：

VB−=31.2−4.8(5)−32=−24.8 tfV_{B^-}=31.2-4.8(5)-32=-24.8\text{ tf}

通過 BB 點後，受到 By=24.8 tfB_y=24.8\text{ tf} 向上反力，剪力跳回零：

VB+=−24.8+24.8=0V_{B^+}=-24.8+24.8=0

剪力圖主要數值如下：

位置剪力
A+A^++31.2 tf+31.2\text{ tf}
C−C^-+21.6 tf+21.6\text{ tf}
C+C^+−10.4 tf-10.4\text{ tf}
B−B^-−24.8 tf-24.8\text{ tf}
B+B^+00

剪力圖為：

  • AA 至 CC：由 +31.2+31.2 線性下降至 +21.6+21.6
  • CC 點：向下跳 3232，降至 −10.4-10.4
  • CC 至 BB：線性下降至 −24.8-24.8
  • BB 點：向上跳 24.824.8 回到零

彎矩圖

簡支梁兩端彎矩為零：

MA=MB=0M_A=M_B=0
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第 二 題25 分

承第一題，若簡支梁斷面配筋如圖 2，寬 40 cm40\ \text{cm}，有效深度 d=53.5 cmd=53.5\ \text{cm}，底層筋為 5 支 D29 鋼筋，拉力鋼筋面積 AsA_s 為 32.345 cm232.345\ \text{cm}^2，忽略壓力鋼筋貢獻，假設混凝土抗壓強度 fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\ \text{kgf/cm}^2，鋼筋降伏強度 fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\ \text{kgf/cm}^2。試求梁斷面之設計彎矩強度 ϕMn\phi M_n，檢核 ϕMn\phi M_n 是否足以承受圖 1 之載重？

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核心觀念

本題考查矩形鋼筋混凝土梁之 nominal flexural strength MnM_n、強度折減係數 ϕ\phi，以及簡支梁受均布載重與集中載重時之最大彎矩比較。

依題意忽略壓力鋼筋貢獻，採用等效矩形壓力應力塊：

a=Asfy0.85fc′ba=\frac{A_s f_y}{0.85f'_c b} Mn=Asfy(d−a2)M_n=A_s f_y\left(d-\frac{a}{2}\right)

當拉力鋼筋為拉力控制斷面時，取：

ϕ=0.90\phi=0.90

本題依命題當年（民國112年）法規與考試慣例計算。

一、圖1載重之支承反力與最大彎矩

梁長：

L=2+3=5 mL=2+3=5\ \text{m}

均布載重：

w=4.8 tf/mw=4.8\ \text{tf/m}

集中載重：

P=32 tfP=32\ \text{tf}

均布載重總合為：

wL=4.8(5)=24 tfwL=4.8(5)=24\ \text{tf}

對 A 點取力矩：

RB(5)=24(2.5)+32(2)R_B(5)=24(2.5)+32(2) RB=60+645=24.8 tfR_B=\frac{60+64}{5}=24.8\ \text{tf}

垂直力平衡：

RA+RB=24+32=56R_A+R_B=24+32=56 RA=56−24.8=31.2 tfR_A=56-24.8=31.2\ \text{tf}

集中載重作用於 C 點，且 AC=2 mAC=2\ \text{m}。C 點左側彎矩為：

MC=RA(2)−w(2)22M_C=R_A(2)-\frac{w(2)^2}{2} MC=31.2(2)−4.8(2)22M_C=31.2(2)-\frac{4.8(2)^2}{2} MC=62.4−9.6=52.8 tf⋅mM_C=62.4-9.6=52.8\ \text{tf}\cdot\text{m}

C 點左側剪力：

VC−=RA−w(2)=31.2−9.6=21.6 tfV_{C^-}=R_A-w(2)=31.2-9.6=21.6\ \text{tf}

C 點右側剪力：

VC+=21.6−32=−10.4 tfV_{C^+}=21.6-32=-10.4\ \text{tf}

剪力在集中載重處由正變負，因此最大正彎矩發生於 C 點：

Mmax⁡=52.8 tf⋅mM_{\max}=52.8\ \text{tf}\cdot\text{m}

二、梁斷面之設計彎矩強度

1. 等效壓力應力塊深度

已知：

b=40 cmb=40\ \text{cm} d=53.5 cmd=53.5\ \text{cm} As=32.345 cm2A_s=32.345\ \text{cm}^2 fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\ \text{kgf/cm}^2 fy=4200 kgf/cm2f_y=4200\ \text{kgf/cm}^2

先求等效壓力矩形深度 aa：

a=32.345(4200)0.85(280)(40)a=\frac{32.345(4200)} {0.85(280)(40)} a=1358499520=14.27 cma=\frac{135849}{9520} =14.27\ \text{cm}

2. 標稱彎矩強度 MnM_n

Mn=Asfy(d−a2)M_n=A_s f_y\left(d-\frac{a}{2}\right)
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第 三 題25 分

承第一題及第二題，試設計 AA 點到 CC 點間之箍筋間距 ss，如圖 2 所示斷面限用 D10 閉合箍筋，已知混凝土抗壓強度 fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\ \text{kgf/cm}^2，D10 鋼筋單肢截面積 0.71 cm20.71\ \text{cm}^2，降伏強度 fyt=4200 kgf/cm2f_{yt}=4200\ \text{kgf/cm}^2，剪力設計臨界斷面位於距離 AA 點一倍有效深度 dd 處，規範對於一般梁剪力鋼筋間距之規定請參閱下表。

剪力適用條件檢核項目
低0.5ϕVc<Vu≤ϕVc0.5\phi V_c<V_u\leq\phi V_cAv,min⁡A_{v,\min}、s≤d2s\leq\frac{d}{2}、s≤60 cms\leq60\ \text{cm}
中ϕVc<Vu≤ϕ(Vc+1.06fc′bwd)\phi V_c<V_u\leq\phi\left(V_c+1.06\sqrt{f'_c}b_wd\right)Av,min⁡A_{v,\min}、s≤d2s\leq\frac{d}{2}、s≤60 cms\leq60\ \text{cm}；s≤ϕAvfytdVu−ϕVcs\leq\frac{\phi A_vf_{yt}d}{V_u-\phi V_c}
高ϕ(Vc+1.06fc′bwd)<Vu≤ϕ(Vc+2.12fc′bwd)\phi\left(V_c+1.06\sqrt{f'_c}b_wd\right)<V_u\leq\phi\left(V_c+2.12\sqrt{f'_c}b_wd\right)Av,min⁡A_{v,\min}（不控制，可略）；s≤d4s\leq\frac{d}{4}、s≤30 cms\leq30\ \text{cm}；s≤ϕAvfytdVu−ϕVcs\leq\frac{\phi A_vf_{yt}d}{V_u-\phi V_c}

其中，

Av,min⁡=max⁡(0.2fc′bwsfyt,3.5bwsfyt)A_{v,\min}=\max\left(\frac{0.2\sqrt{f'_c}b_ws}{f_{yt}},\frac{3.5b_ws}{f_{yt}}\right)

上述公式單位系統為 kgf-cm\text{kgf-cm}。

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核心觀念

本題考查一般梁箍筋間距設計，必須依剪力設計值 VuV_u 與混凝土剪力強度 ϕVc\phi V_c 的關係，判定剪力等級，再依該等級檢核：

  1. 最小剪力鋼筋量 Av,min⁡A_{v,\min}。
  2. 規範限制間距。
  3. 箍筋所能提供的剪力強度。

剪力臨界斷面位於距離 AA 點一倍有效深度 dd 處，因此應採用該位置的剪力設計值 VuV_u。

本題以命題當年（民國 112 年）法規及題目所附規定為準。

解題方法

一、箍筋剪力鋼筋面積

D10 單肢截面積為：

AD10=0.71 cm2A_{D10}=0.71\ \text{cm}^2

閉合箍筋通常有兩個平行於剪力方向的肢，因此：

Av=2(0.71)=1.42 cm2A_v=2(0.71)=1.42\ \text{cm}^2

二、判定剪力等級

由第一、二題所得之 VuV_u、VcV_c，依下列條件判定：

低剪力

0.5ϕVc<Vu≤ϕVc0.5\phi V_c<V_u\leq \phi V_c

中剪力

ϕVc<Vu≤ϕ(Vc+1.06fc′bwd)\phi V_c<V_u \leq \phi\left(V_c+1.06\sqrt{f'_c}b_wd\right)

高剪力

ϕ(Vc+1.06fc′bwd)<Vu≤ϕ(Vc+2.12fc′bwd)\phi\left(V_c+1.06\sqrt{f'_c}b_wd\right) <V_u \leq \phi\left(V_c+2.12\sqrt{f'_c}b_wd\right)

本題：

fc′=280 kgf/cm2f'_c=280\ \text{kgf/cm}^2

因此：

fc′=280=16.733\sqrt{f'_c}=\sqrt{280}=16.733

三、檢核最小箍筋量

題目給定：

Av,min⁡=max⁡(0.2fc′bwsfyt,3.5bwsfyt)A_{v,\min} = \max\left( \frac{0.2\sqrt{f'_c}b_ws}{f_{yt}}, \frac{3.5b_ws}{f_{yt}} \right)

比較兩項係數：

0.2280=0.2(16.733)=3.347<3.50.2\sqrt{280} =0.2(16.733) =3.347<3.5

所以第二項控制：

Av,min⁡=3.5bwsfytA_{v,\min} = \frac{3.5b_ws}{f_{yt}}

設計要求為：

Av≥Av,min⁡A_v\geq A_{v,\min}

代入 Av=1.42 cm2A_v=1.42\ \text{cm}^2、fyt=4200 kgf/cm2f_{yt}=4200\ \text{kgf/cm}^2：

1.42≥3.5bws42001.42 \geq \frac{3.5b_ws}{4200}

故：

s≤1.42(4200)3.5bw=1704bw cms\leq \frac{1.42(4200)}{3.5b_w} = \frac{1704}{b_w} \ \text{cm}

因此，最小箍筋量所限制的間距為：

s≤1704bw cm\boxed{s\leq \frac{1704}{b_w}\ \text{cm}}

四、依剪力等級求最大間距

（一）低剪力區

低剪力須檢核：

s≤d2s\leq\frac{d}{2} s≤60 cms\leq60\ \text{cm}

以及最小箍筋量：

s≤1704bws\leq\frac{1704}{b_w}

因此：

smax⁡=min⁡(1704bw,d2,60)\boxed{ s_{\max} = \min\left( \frac{1704}{b_w}, \frac d2, 60 \right) }

（二）中剪力區

中剪力除上述三項外，還須檢核箍筋剪力強度：

ϕAvfytds≥Vu−ϕVc\phi A_vf_{yt}\frac d s \geq V_u-\phi V_c

整理得：

s≤ϕAvfytdVu−ϕVcs\leq \frac{\phi A_vf_{yt}d}{V_u-\phi V_c}

代入 Av=1.42 cm2A_v=1.42\ \text{cm}^2、fyt=4200 kgf/cm2f_{yt}=4200\ \text{kgf/cm}^2：

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第 四 題25 分

如圖 3 之平面桁架結構，AA 點為鉸支承，BB 點為滾支承，CC、DD、EE 點為鉸接，EE 點承受垂直集中力 PP。試求支承反力及各桿件軸力，反力應標示方向，軸力應註明拉力或壓力。

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核心觀念

本題為平面桁架，採用：

  • 桁架各桿件只承受軸力。
  • 各節點均為鉸接，可對各節點使用 ∑Fx=0\sum F_x=0、∑Fy=0\sum F_y=0。
  • AA 點為鉸支承，具有水平、垂直反力；BB 點為靠垂直牆面的滾支承，反力為水平方向。
  • 桿件軸力設拉力為正，計算結果為正表示拉力，負表示壓力。

取座標：

A(0,0),B(0,4),C(4,3),D(4,0),E(8,0)A(0,0),\quad B(0,4),\quad C(4,3),\quad D(4,0),\quad E(8,0)

其中：

BC=17,AC=CE=5BC=\sqrt{17},\qquad AC=CE=5

一、支承反力

設 AA 點反力為 Ax,AyA_x,A_y，BB 點水平反力為 BxB_x。

對整體桁架列平衡方程式。

垂直力平衡：

∑Fy=0:Ay−P=0\sum F_y=0:\qquad A_y-P=0

因此：

Ay=PA_y=P

取 AA 點力矩：

∑MA=0:−4Bx−8P=0\sum M_A=0:\qquad -4B_x-8P=0 Bx=−2PB_x=-2P

負號表示 BB 點反力方向向左。

水平力平衡：

∑Fx=0:Ax+Bx=0\sum F_x=0:\qquad A_x+B_x=0 Ax=2PA_x=2P

因此支承反力為：

  • Ax=2PA_x=2P，方向向右。
  • Ay=PA_y=P，方向向上。
  • Bx=2PB_x=2P，方向向左。

二、由 EE 節點求 CE、DECE、DE

設桿件均為拉力，節點受力方向由節點向外。

在 EE 節點，CECE 的方向向左上，其方向餘弦為：

(−45,35)\left(-\frac45,\frac35\right)

DEDE 為水平桿。

垂直力平衡：

∑Fy=0:35FCE−P=0\sum F_y=0:\qquad \frac35F_{CE}-P=0 FCE=53PF_{CE}=\frac53P

故 CECE 為拉力。

水平力平衡：

∑Fx=0:−FDE−45FCE=0\sum F_x=0:\qquad -F_{DE}-\frac45F_{CE}=0 FDE=−45(53P)=−43PF_{DE}=-\frac45\left(\frac53P\right) =-\frac43P

故 DEDE 為壓力，大小為 43P\frac43P。

三、由 DD 節點求 AD、CDAD、CD

在 DD 節點：

∑Fy=0:FCD=0\sum F_y=0:\qquad F_{CD}=0

因此：

FCD=0F_{CD}=0

再列水平方向平衡：

∑Fx=0:−FAD+FDE=0\sum F_x=0:\qquad -F_{AD}+F_{DE}=0

代入 FDE=−43PF_{DE}=-\frac43P：

−FAD−43P=0-F_{AD}-\frac43P=0 FAD=−43PF_{AD}=-\frac43P

故 ADAD 為壓力，大小為 43P\frac43P。

四、由 CC 節點求 BC、ACBC、AC

BCBC 由 CC 指向 BB 的方向餘弦為：

(−417,117)\left(-\frac4{\sqrt{17}},\frac1{\sqrt{17}}\right)

ACAC 由 CC 指向 AA 的方向餘弦為：

(−45,−35)\left(-\frac45,-\frac35\right)

已知：

FCE=53P,FCD=0F_{CE}=\frac53P,\qquad F_{CD}=0

垂直力平衡：

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