109 原住民特考四等 土木工程 結構學概要與鋼筋混凝土學概要 考古題詳解

核心觀念

$c$ 點為內鉸，彎矩不能傳遞，但可傳遞剪力與軸力。利用內鉸將梁分成左右兩段，先由靜力平衡求支承反力；再把右段視為懸臂梁，以自由端受力求出 $c$ 點垂直位移。

解題方法

取左段 $a$ 至 $c$，長度為 $5\,\mathrm{m}$。令 $c$ 點作用於左段的鉛直力為 $C_y$，向上為正。對 $a$ 點取力矩：

因此

再由鉛直力平衡：

依作用與反作用，$c$ 點對右段施加 $6\,\mathrm{kN}$ 向下的力。右段 $c$ 至 $d$ 長 $4\,\mathrm{m}$，視為固定端在 $d$、自由端在 $c$ 的懸臂梁。

由右段的力平衡與對 $d$ 點取矩：

核心觀念

本題考查靜定桁架的節點法與虛功法（單位力法）。

• 桿件軸力以拉力為正、壓力為負。
• 桁架各節點須滿足 $\sum F_x=0$、$\sum F_y=0$。
• 桁架節點的水平位移可用單位力法計算：

$\delta_x=\sum_i\frac{N_i n_i L_i}{EA}$

其中 $N_i$ 是實際荷重下第 $i$ 桿的軸力，$n_i$ 是在欲求位移方向施加單位力時該桿的軸力，$L_i$ 是桿長。

解題方法

由圖可讀得節點座標：$a(0,0)$、$b(4,0)$、$d(8,0)$、$c(4,3)$。因此：

$L_{ab}=L_{bd}=4\text{ m},\qquad L_{bc}=3\text{ m},\qquad L_{ac}=L_{cd}=5\text{ m}$

斜桿的方向比例為水平 $4/5$、垂直 $3/5$。$c$ 點受 $8\text{ kN}$ 向左荷重。

一、求各桿軸力

先看無外力的 $d$ 點。$bd$ 為水平桿、$cd$ 為斜桿，兩桿方向不平行；節點平衡可得：

$N_{bd}=N_{cd}=0$

在 $c$ 點取拉力為正，列水平與垂直平衡：

$-\frac45N_{ac}-8=0$

$-\frac35N_{ac}-N_{bc}=0$

解得：

$N_{ac}=-10\text{ kN},\qquad N_{bc}=6\text{ kN}$

因此 $ac$ 桿受壓 $10\text{ kN}$，$bc$ 桿受拉 $6\text{ kN}$。

在 $a$ 點列水平平衡：

$N_{ab}+\frac45N_{ac}=0$

代入 $N_{ac}=-10\text{ kN}$：

$N_{ab}=8\text{ kN}$

因此各桿軸力為：

核心觀念

本題考懸臂梁在指定斷面的剪力需求與剪力強度：

• 設計剪力 $V_u$：由斷面外側的均佈設計載重合力求得。
• 名目剪力強度 $V_n$：由混凝土剪力強度 $V_c$ 與箍筋剪力強度 $V_s$ 相加。
• 安全檢核：以剪力強度折減係數 $\phi=0.75$ 計算 $\phi V_n$，確認是否滿足 $\phi V_n\ge V_u$。

圖示為雙肢 D13 垂直肋筋，因此每一組肋筋的總剪力鋼筋面積為 $A_v=2A_b$。

解題方法

1. 求 $e$ 點斷面的設計剪力 $V_u$

懸臂全長為 $3\ \mathrm{m}$，$e$ 點距固定端 $0.6\ \mathrm{m}$，所以 $e$ 點外側至自由端的長度為

取 $e$ 點外側梁段作自由體，均佈載重的合力即為該斷面的剪力：

2. 求混凝土剪力強度 $V_c$

依題目給定公式：

代入 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$b=40\ \mathrm{cm}$、$d=53.5\ \mathrm{cm}$：

3. 求肋筋剪力強度 $V_s$

雙肢 D13 肋筋的總面積為

垂直肋筋的剪力強度為

核心觀念

本題考查矩形梁的應變相容、拉力鋼筋是否降伏，以及名義彎矩強度與設計彎矩的檢核。

極限狀態下混凝土極纖維壓應變為 $\varepsilon_c=0.003$，依平截面假設，距壓力面深度為 $d$ 的拉力鋼筋應變為：

混凝土等值矩形壓力塊深度為 $a=\beta_1c$。本題 $f'_c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，取 $\beta_1=0.85$。若拉力鋼筋已降伏，名義彎矩強度為：

設計彎矩以靜載重與活載重組合計算：

解題方法

先由應變分布求拉力鋼筋應變，再與鋼筋降伏應變比較。鋼筋彈性模數取 $E_s=2.04\times10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$，降伏應變為：

由題給 $d=53\ \mathrm{cm}$、$c=12.05\ \mathrm{cm}$：

因 $\varepsilon_t>\varepsilon_y$，拉力鋼筋已降伏，可取拉力 $T=A_sf_y$。且 $\varepsilon_t>0.005$，屬受拉控制斷面，彎矩強度折減係數取 $\phi=0.90$。

等值矩形壓力塊深度為：