112 原住民特考四等 土木工程 工程力學概要 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 簡支梁的靜力平衡。
2. 集中力與集中力偶矩對支承反力的影響。
3. 兩層梁之間的力傳遞：上層梁 $AB$ 的支承反力，會成為下層梁 $CD$ 於 $B$ 點所承受的集中力。
4. 使用平衡方程式：

圖示彎矩 $PL/2$ 為順時針方向。

一、求梁 $AB$ 在 $B$ 點的反力

設 $A$ 點反力為 $A_x,A_y$，$B$ 點反力為 $B_y$。因梁上沒有水平外力：

對 $A$ 點取力矩，逆時針為正：

集中力 $P$ 作用於 $AB$ 中點，距離 $A$ 為 $L/2$；順時針力偶矩為 $PL/2$，因此：

整理得：

因此，上層梁 $AB$ 受到 $B$ 點向上的反力 $P$。

由垂直力平衡：

代入 $B_y=P$：

依作用力與反作用力，梁 $AB$ 對下層梁 $CD$ 在 $B$ 點施加向下集中力 $P$。

二、求梁 $CD$ 在 $C、D$ 點的反力

由圖可知：

核心觀念

本題考查平面桁架的：

• 支承反力計算
• 節點法
• 零力桿判定
• 桿件受拉、受壓之判別

桁架各桿件皆視為二力桿，桿力方向沿桿件軸線。計算時假設桿力皆為拉力，若結果為負值，表示該桿件實際受壓。

設：

• $A$ 點為鉸支承，反力為 $A_x,A_y$
• $B$ 點為靠垂直牆之滾支承，反力為水平反力 $B_x$
• $D$ 點承受向下 $10\ \mathrm{kN}$ 載重

一、求支承反力

整體桁架取平衡。

水平方向：

鉛直方向：

因此：

取 $A$ 點力矩：

$B_x$ 與 $A$ 點的垂直距離為 $L$，載重 $10\ \mathrm{kN}$ 與 $A$ 點的水平距離為 $L$，故：

由水平方向平衡：

即 $A$ 點反力為向左 $10\ \mathrm{kN}$。

二、利用零力桿判定

$E$ 節點

$E$ 節點沒有外力或支承反力，且僅連接 $CE$、$DE$ 兩支不共線桿件。

依零力桿判定：

$C$ 節點

因為 $F_{CE}=0$，$C$ 節點只剩 $AC$、$CD$ 兩支不共線桿件，且無外力作用。

因此：

三、利用 $D$ 節點求主要桿力

$D$ 點連接 $AD$、$BD$、$CD$、$DE$，並承受向下 $10\ \mathrm{kN}$ 載重。

由前述零力桿結果：

桿件 $AD$ 的水平、鉛直投影相等，因此與水平夾角為 $45^\circ$。

假設 $AD$ 受拉，則在 $D$ 節點：

鉛直方向平衡：

核心觀念

本題求的是組合面積對形心軸的面積慣性矩。斜線區域可視為：

矩形對通過自身形心之軸的面積慣性矩公式為：

• 對水平形心軸 $x$：

• 對垂直形心軸 $y$：

其中 $b$ 為水平寬度，$h$ 為垂直高度。

解題方法

外矩形尺寸為：

中間矩形孔洞尺寸為：

由於孔洞上下各距離 $2$、左右各距離 $2$，孔洞與外矩形的形心重合。因此斜線區域的形心位於外矩形中央，且兩個形心軸均可直接使用「外矩形慣性矩減去孔洞慣性矩」，不需使用平行軸定理。

一、對形心 $x$ 軸的面積慣性矩

外矩形：

孔洞：

所以斜線面積對 $x$ 軸的面積慣性矩為：

核心觀念

本題考查懸臂梁在集中力與均佈載重作用下的剪力圖（SFD）與彎矩圖（BMD）。

設均佈載重強度為 $W$，單位為力／長度；座標 $x$ 自固定端 $A$ 向右量測，$0\le x\le L$。採用：

• 剪力圖：向上為正。
• 彎矩圖：下凹（sagging）為正，因此本題懸臂梁產生負彎矩（上凹、hogging）。

均佈載重 $W$ 作用於全長，其合力為 $WL$，作用位置在距 $A$ 為 $L/2$ 處。

解題方法

先求固定端 $A$ 的支承反力：

因此

對 $A$ 點取力矩：

固定端反力矩大小為

其方向為逆時針，以抵抗外力造成的順時針力矩。

一、剪力圖

在距固定端 $A$ 為 $x$ 處切開梁段，取右側梁段分析。右側梁段包含：

• 端點集中力 $P$；
• 長度 $(L-x)$ 上的均佈載重，其合力為 $W(L-x)$。

故截面剪力為

整理得

主要控制點如下：

在固定端 $A$：

在集中力作用前的 $B$ 端：

在 $B$ 端外側，集中力 $P$ 使剪力圖向上跳升 $P$，因此

所以剪力圖為：

• 從 $A$ 點的 $-(P+WL)$ 開始；
• 受均佈載重影響呈直線上升；
• 到 $B$ 點左側為 $-P$；
• 經過端點集中力 $P$ 後跳升至 $0$。

示意如下：

二、彎矩圖

在距固定端 $A$ 為 $x$ 處切開，取右側梁段對切面取矩。右側集中力 $P$ 的力臂為 $(L-x)$，均佈載重合力 $W(L-x)$ 的作用點距切面為 $(L-x)/2$。

因此截面彎矩為