110 原住民特考四等 測量製圖 測量平差法概要 考古題詳解

110 年・原住民特考・四等・測量製圖
試題代碼 測量平差法概要

第 一 題25 分

以測量儀器重複觀測目標 AA 的垂直角 α\alpha 共 4 次，其觀測結果分別為 15∘26′32.6′′15^\circ26'32.6''、15∘26′33.1′′15^\circ26'33.1''、15∘26′31.2′′15^\circ26'31.2'' 及 15∘26′32.8′′15^\circ26'32.8''。試求垂直角 α\alpha 的算術平均值 αˉ\bar{\alpha} 及其中誤差。

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核心觀念

本題考重複觀測同一角度時，如何以算術平均值作為最或然值，以及如何由觀測殘差計算平均值的中誤差。

設 nn 次觀測值為 LiL_i，算術平均值為 Lˉ\bar L，則各觀測值的殘差為 vi=Li−Lˉv_i=L_i-\bar L。在各次觀測等精度且相互獨立的前提下，平均值的中誤差為

mLˉ=∑vi2n(n−1).m_{\bar L}=\sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n(n-1)}}.

解題方法

角度的度、分、秒部分相同，只需將秒數取平均：

αˉ=15∘26′(32.6′′+33.1′′+31.2′′+32.8′′4)=15∘26′32.425′′.\bar{\alpha} =15^\circ26'\left(\frac{32.6''+33.1''+31.2''+32.8''}{4}\right) =15^\circ26'32.425''.

各次觀測的殘差如下：

觀測秒數殘差 viv_i（秒）vi2v_i^2（平方秒）
32.6′′32.6''0.175′′0.175''0.0306250.030625
33.1′′33.1''0.675′′0.675''0.4556250.455625
31.2′′31.2''−1.225′′-1.225''1.5006251.500625
32.8′′32.8''0.375′′0.375''0.1406250.140625
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第 二 題25 分

假設 yy 與 x1x_1、x2x_2、x3x_3 皆為觀測量，彼此間的函數關係為：

y=x1+2x2+3x3y=x_1+2x_2+3x_3

若已知：

x1=100 m±0.01 mx_1=100\ \mathrm{m}\pm0.01\ \mathrm{m}

x2=150 m±0.02 mx_2=150\ \mathrm{m}\pm0.02\ \mathrm{m}

x3=200 m±0.03 mx_3=200\ \mathrm{m}\pm0.03\ \mathrm{m}

試求 yy 值及其中誤差；並說明上述四種觀測量（yy 與 x1x_1、x2x_2、x3x_3）中，何者為直接觀測量？何者為間接觀測量？

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核心觀念

本題考查觀測量的函數傳播與直接、間接觀測量的判別。

若各觀測量彼此不相關，且 y=f(x1,x2,x3)y=f(x_1,x_2,x_3)，則 yy 的變異數可依誤差傳播定律計算：

σy2=(∂y∂x1)2σx12+(∂y∂x2)2σx22+(∂y∂x3)2σx32\sigma_y^2= \left(\frac{\partial y}{\partial x_1}\right)^2\sigma_{x_1}^2+ \left(\frac{\partial y}{\partial x_2}\right)^2\sigma_{x_2}^2+ \left(\frac{\partial y}{\partial x_3}\right)^2\sigma_{x_3}^2

其中 σ\sigma 表示中誤差。題目未提供觀測量間的相關資訊，依一般考題慣例，視為彼此不相關。

直接觀測量是由儀器直接觀測取得的量；間接觀測量則是由其他觀測量經函數計算所得的量。

解題方法

由題目函數關係：

y=x1+2x2+3x3y=x_1+2x_2+3x_3

代入觀測值，可得：

y=100+2(150)+3(200)=1000 my=100+2(150)+3(200)=1000\ \mathrm{m}

對 yy 分別取偏導數：

∂y∂x1=1,∂y∂x2=2,∂y∂x3=3\frac{\partial y}{\partial x_1}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial x_2}=2,\qquad \frac{\partial y}{\partial x_3}=3

已知各觀測量的中誤差為：

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第 三 題25 分

有兩個水準點 AA 及 BB，若 AA 點的高程已知為 23.000 m23.000\ \mathrm{m}，BB 點的高程未知。若欲求得 BB 點的高程，從 AA 至 BB 以直接水準測量方法，經由 4 條不同長度（分別為 1.0 km1.0\ \mathrm{km}、1.5 km1.5\ \mathrm{km}、2.0 km2.0\ \mathrm{km} 及 2.5 km2.5\ \mathrm{km}）的水準路線，測量 AA、BB 兩點間的高程差 hABh_{AB}，其觀測結果分別為 +12.351 m+12.351\ \mathrm{m}、+12.413 m+12.413\ \mathrm{m}、+12.338 m+12.338\ \mathrm{m}、+12.318 m+12.318\ \mathrm{m}。

試求對應上述 4 個高程差 hABh_{AB} 的權、hABh_{AB} 的最或是值（加權平均值）、BB 點的高程及其中誤差。

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核心觀念

直接水準測量中，觀測高程差的精度通常與水準路線長度有關：路線愈長，累積誤差愈大。若各路線的單位長度觀測精度相同，則高程差的變異數與路線長度 LL 成正比，權與變異數成反比：

p∝1Lp \propto \frac{1}{L}

因此，本題以各路線長度的倒數作為相對權，再以加權平均求 hABh_{AB} 的最或是值。已知 AA 點高程後，即可由 HB=HA+hABH_B=H_A+h_{AB} 求出 BB 點高程。

解題方法

1. 求各高程差的權

四條路線長度依序為 1.01.0、1.51.5、2.02.0、2.5 km2.5\ \mathrm{km}，所以相對權為：

pi∝1Lip_i \propto \frac{1}{L_i}

取便於計算的整數比例，將倒數權同乘 3030：

路線長度 LiL_i（km）觀測高程差 hih_i（m）相對權 pip_i
1.01.012.35112.3513030
1.51.512.41312.4132020
2.02.012.33812.3381515
2.52.512.31812.3181212

權值只表示相對大小，故使用 1/Li1/L_i 或表列整數比例，所得加權平均相同。

2. 求 hABh_{AB} 的最或是值

加權平均公式為：

h^AB=∑pihi∑pi\hat h_{AB} = \frac{\sum p_i h_i}{\sum p_i}

代入數值：

h^AB=30(12.351)+20(12.413)+15(12.338)+12(12.318)30+20+15+12=951.67677=12.35943 m\hat h_{AB} = \frac{30(12.351)+20(12.413)+15(12.338)+12(12.318)} {30+20+15+12} = \frac{951.676}{77} = 12.35943\ \mathrm{m}

3. 求 BB 點高程

題目所給高程差為由 AA 至 BB 的 hABh_{AB}，故：

H^B=HA+h^AB=23.000+12.35943=35.35943 m\hat H_B = H_A+\hat h_{AB} = 23.000+12.35943 = 35.35943\ \mathrm{m}

4. 求 BB 點高程的中誤差

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第 四 題25 分

有一個平面直角三角形 ABCABC（如下圖所示），∠ABC\angle ABC 為直角，ABAB 及 BCBC 為兩個互相正交的直角邊，ACAC 為斜邊。

若 ABAB 邊長已知為 40.000 m40.000\ \mathrm{m}（假設無誤差），ACAC 邊的觀測量及其中誤差分別為 50.030 m±0.005 m50.030\ \mathrm{m}\pm0.005\ \mathrm{m}，∠CAB\angle CAB 的觀測量及其中誤差分別為 36∘52′11.50′′±20′′36^\circ52'11.50''\pm20''。試以間接觀測平差法，求 BCBC 邊長及其中誤差。

直角三角形 ABCABC 示意圖。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查間接觀測平差：以未知數 BC=xBC=x 為參數，將斜邊長 ACAC 與角度 ∠CAB\angle CAB 寫成 xx 的函數，再依兩項觀測的中誤差加權平差。

假設兩項觀測互相獨立，觀測方程為

AC=AB2+x2,θ=∠CAB=tan⁡−1 ⁣(xAB)AC=\sqrt{AB^2+x^2},\qquad \theta=\angle CAB=\tan^{-1}\!\left(\frac{x}{AB}\right)

觀測權數與觀測中誤差平方成反比。平差所得未知數中誤差，可由參數的協因數計算。

解題方法

令 x=BCx=BC，已知 AB=40.000 mAB=40.000\ \mathrm{m}。取 x0=30.000 mx_0=30.000\ \mathrm{m} 作為線性化起始值，則

AC0=402+302=50.000 mAC_0=\sqrt{40^2+30^2}=50.000\ \mathrm{m} θ0=tan⁡−1 ⁣(3040)=36∘52′11.631′′\theta_0=\tan^{-1}\!\left(\frac{30}{40}\right) =36^\circ52'11.631''

因此，觀測值與起始計算值之差為

lAC−AC0=50.030−50.000=0.030 ml_{AC}-AC_0=50.030-50.000=0.030\ \mathrm{m} lθ−θ0=36∘52′11.50′′−36∘52′11.631′′=−0.131′′=−6.35×10−7 radl_\theta-\theta_0 =36^\circ52'11.50''-36^\circ52'11.631'' =-0.131'' =-6.35\times10^{-7}\ \mathrm{rad}

對兩個觀測方程微分：

∂AC∂x=xAB2+x2⟹∂AC∂x∣x0=0.600\frac{\partial AC}{\partial x} =\frac{x}{\sqrt{AB^2+x^2}} \quad\Longrightarrow\quad \left.\frac{\partial AC}{\partial x}\right|_{x_0}=0.600
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